تبسيط الدوال العكسية المثلثية

بسّط التعابير التالية:

1. $\sin(\arcsin(x))$ و $\arcsin(\sin(x))$
2. $\cos(\arccos(x))$ و $\arccos(\cos(x))$
3. $\tan(\arctan(x))$ و $\arctan(\tan(x))$

الحل:

1. الجيب (الساين) ومعكوس الجيب هما دالتان عكسيتان لبعضهما البعض. لذلك، يمكن استخدام خصائص الدوال العكسية كتابةً:

   $$ \sin(\arcsin(x)) = x, \quad \text{for } -1 \leq x \leq 1 $$
   $$ \arcsin(\sin(x)) = x, \quad \text{for } x \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] $$

   ملاحظة: إذا لم يكن $x$ في $\arcsin(\sin(x))$ ضمن الفترة $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$، فأوجد $\theta$ في الفترة $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ بحيث تكون $\sin(x) = \sin(\theta)$ ثم بسّط: $\arcsin(\sin(x)) = \theta$

2. جيب التمام (الكوساين) ومعكوس جيب التمام هما دالتان عكسيتان لبعضهما البعض:

   $$ \cos(\arccos(x)) = x, \quad \text{for } -1 \leq x \leq 1 $$
   $$ \arccos(\cos(x)) = x, \quad \text{for } x \in [0, \pi] $$

   ملاحظة: إذا لم يكن $x$ في $\arccos(\cos(x))$ ضمن الفترة $[0, \pi]$، فأوجد $\theta$ في الفترة $[0, \pi]$ بحيث تكون $\cos(x) = \cos(\theta)$، ثم بسّط $\arccos(\cos(x)) = \theta$.

3. الظل (التان) ومعكوس الظل هما دالتان عكسيتان لبعضهما البعض:

   $$ \tan(\arctan(x)) = x $$
   $$ \arctan(\tan(x)) = x \quad \text{for } x \in \left( -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right) $$

   ملاحظة: إذا لم يكن $x$ في $\arctan(\tan(x))$ ضمن الفترة $\left( -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right)$، فأوجد $\theta$ في الفترة $\left( -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right)$ بحيث تكون $\tan(x) = \tan(\theta)$ ثم بسّط $\arctan(\tan(x)) = \theta$

عبر عن التعابير التالية كتعبيرات جبرية:

الحل:

ليكن $A = \arccos(x)$. إذن،

استخدم مثلثاً قائم الزاوية بزاوية $A$ بحيث تكون $\cos(A) = x$ (أو $\dfrac{x}{1}$). أوجد الضلع الثاني واحسب $\sin(A)$ و $\tan(A)$.

عبر عن التعابير التالية كتعبيرات جبرية:

الحل:

ليكن $A = \arcsin(x)$. إذن،

استخدم مثلثاً قائم الزاوية بزاوية $A$ بحيث تكون $\sin(A) = x$ (أو $\dfrac{x}{1}$)، وأوجد الضلع الثاني واحسب $\cos(A)$ و $\tan(A)$.

عبر عن التعابير التالية كتعبيرات جبرية:

الحل:

ليكن $A = \arctan(x)$. إذن،

استخدم مثلثاً قائم الزاوية بزاوية $A$ بحيث تكون $\tan(A) = x$ (أو $\dfrac{x}{1}$). أوجد الوتر واحسب $\sin(A)$ و $\cos(A)$.

بسّط التعابير التالية:

1. $\arccos(0)$، $\arcsin(-1)$، $\arctan(-1)$
2. $\sin(\arcsin(-1/2))$، $\arccos(\cos(\pi/2))$، $\arccos(\cos(-\pi/2))$
3. $\cos(\arcsin(-1/2))$، $\arcsin(\sin(\pi/3))$، $\arcsin(\tan(3\pi/4))$
4. $\arccos(\tan(7\pi/4))$، $\arcsin(\sin(13\pi/3))$، $\arctan(\tan(-17\pi/4))$، $\arcsin(\sin(9\pi/5))$

الحل:

1. استخدم التعريفات المباشرة للدوال العكسية:

   $$ \arccos(0) = \dfrac{\pi}{2} \quad \text{because} \quad \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0 \quad \text{and} \quad \dfrac{\pi}{2} \in [0, \pi] $$
   $$ \arcsin(-1) = -\dfrac{\pi}{2} \quad \text{because} \quad \sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = -1 \quad \text{and} \quad -\dfrac{\pi}{2} \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] $$
   $$ \arctan(-1) = -\dfrac{\pi}{4} \quad \text{because} \quad \tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -1 \quad \text{and} \quad -\dfrac{\pi}{4} \in \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right) $$

2. بسّط الدوال الداخلية ثم الخارجية باستخدام التعريفات:

   $$ \sin\left(\arcsin\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right) = \sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2} $$
   $$ \arccos\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right) = \arccos(0) = \dfrac{\pi}{2} $$
   $$ \arccos\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\right) = \arccos(0) = \dfrac{\pi}{2} $$

3. بسّط الدوال الداخلية ثم الخارجية:

   $$ \cos\left(\arcsin\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right) = \cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $$
   $$ \arcsin\left(\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right) = \arcsin\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \dfrac{\pi}{3} $$
   $$ \arcsin\left(\tan\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\right) = \arcsin(-1) = -\dfrac{\pi}{2} $$

4. اضبط الزوايا لتوقَع ضمن الفترات الصحيحة قبل تطبيق الدوال العكسية:

   $$ \arccos\big(\tan(7\pi/4)\big) = \arccos(-1) = \pi $$
   $$ \arcsin\big(\sin(13\pi/3)\big) = \arcsin\big(\sin(4\pi + \pi/3)\big) = \arcsin\big(\sin(\pi/3)\big) = \pi/3 $$
   $$ \arctan\big(\tan(-17\pi/4)\big) = \arctan\big(\tan(-4\pi - \pi/4)\big) = \arctan\big(\tan(-\pi/4)\big) = -\pi/4 $$
   $$ \arcsin\big(\sin(9\pi/5)\big) = \arcsin\big(\sin(2\pi - \pi/5)\big) = \arcsin\big(\sin(-\pi/5)\big) = -\pi/5 $$

ليكن $A = \arcsin(2/3)$ و $B = \arccos(-1/2)$. أوجد القيمة الدقيقة لـ $\sin(A + B)$.

الحل:

استخدم متطابقة مجموع زاويتين:

افرد التعبير المعطى بالتعويض بـ $A$ و $B$:

استخدم متطابقات العكس لتبسيط كل حد على حدة:

• $\sin(\arcsin(\tfrac{2}{3})) = \tfrac{2}{3}$
• $\cos(\arccos(-\tfrac{1}{2})) = -\tfrac{1}{2}$
• $\cos(\arcsin(\tfrac{2}{3})) = \sqrt{1 - \left(\tfrac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{\tfrac{5}{9}} = \tfrac{\sqrt{5}}{3}$
• $\sin(\arccos(-\tfrac{1}{2})) = \sqrt{1 - \left(-\tfrac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\tfrac{3}{4}} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$

عوض بهذه القيم مرة أخرى في المعادلة المفردة واحسب:

اكتب $Y = \sin(2 \arcsin(x))$ كتعبير جبري.

الحل:

ليكن $A = \arcsin(x)$. إذن يمكن كتابة $Y$ كالتالي:

استخدم متطابقة ضعف الزاوية $\sin(2A) = 2 \sin(A) \cos(A)$ لإعادة كتابة $Y$:

طبق المتطابقات القياسية $\sin(\arcsin(x)) = x$ و $\cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1 - x^2}$ لإنتاج التعبير النهائي:

أوجد القيمة الدقيقة لـ $Y = \sin(2 \arctan(3/4))$.

الحل:

ليكن $A = \arctan\left(\dfrac{3}{4}\right)$. إذن يمكن كتابة $Y$ كالتالي:

قيّم الدوال الداخلية باستخدام خصائص التحويل الجبري القياسية لمعكوس الظل:

عوض بهاتين القيمتين في صيغة ضعف الزاوية: