تطبيقات واقعية للدوال الجيبية مع الحلول

يتم سحب كتلة متصلة بزنبرك نحو الأرض بحيث يصبح ارتفاعها عن الأرض 10 مم (مليمتر). ثم يتم تحرير الكتلة وتبدأ في التحرك لأعلى ولأسفل لتصل إلى أقصى وأدنى ارتفاع لها وهو 20 و 10 مم على التوالي، في دورة تستغرق 0.8 ثانية.

1. افترض أن ارتفاع الكتلة $h(t)$ هو دالة جيبية، حيث $t$ هو الزمن بالثواني. ارسم منحنى $h$ من $t = 0$ إلى $t = 0.8$ ثانية. $t = 0$ هو وقت تحرير الكتلة.
2. أوجد الدالة الجيبية للارتفاع $h(t)$.
3. كم ثانية يكون فيها ارتفاع الكتلة أعلى من 17 مم خلال دورة واحدة؟

الحل

1. تُحرر الكتلة عند $t = 0$ عندما يكون الارتفاع $h$ في أدنى قيمة له. بعد نصف دورة، يصل $h$ إلى أقصى قيمة له، وبعد نصف دورة أخرى يعود إلى أدنى قيمة مرة أخرى. ومن ثم، خلال دورة واحدة، يتغير $h$ مع الزمن $t$ كما يلي:

   

2. بناءً على الرسم البياني الذي تم الحصول عليه في الجزء أ)، يمكن نمذجة $h(t)$ بدالة جيب التمام (cosine) مزاحة عمودياً لأعلى وأفقياً لليمين. ومن ثم

   $$ h(t) = a \cos[ b(t - d) ] + c $$

   ليكن $h_{\text{max}}$ هو القيمة العظمى لـ $h$ و $h_{\text{min}}$ هو القيمة الصغرى لـ $h$. ومن ثم

   $$ |a| = \dfrac{h_{\text{max}} - h_{\text{min}}}{2} = \dfrac{20 - 10}{2} = 5 , \quad a = \pm 5 $$
   $$ c = \dfrac{h_{\text{max}} + h_{\text{min}}}{2} = \dfrac{20 + 10}{2} = 15 $$
   $$ \text{Period} = \dfrac{2\pi}{|b|} = 0.8 \Rightarrow b = \pm 2.5\pi $$

   نستخدم $a = 5$ و $b = 2.5\pi$. إزاحة دالة جيب التمام تكون لليمين وتساوي نصف دورة. ومن ثم $d = 0.4$

   $$ h(t) = 5 \cos[ 2.5\pi(t - 0.4) ] + 15 $$

   للتحقق من أن $h$ لها قيمة صغرى عند $t = 0$:

   $$ h(0) = 5 \cos[ 2.5\pi(0 - 0.4) ] + 15 = 5 \cos( -\pi ) + 15 = 10 $$

   للتحقق من أن $h$ لها قيمة عظمى عند $t = 0.4$:

   $$ h(0.4) = 5 \cos[ 2.5\pi(0.4 - 0.4) ] + 15 = 5 \cos( 0 ) + 15 = 20 $$

3. يوضح الشكل أدناه منحنى $y = h(t)$ والمستقيم $y = 17$. نحتاج أولاً لإيجاد $t_1$ و $t_2$ وهي قيم $t$ التي عندها $h(t) = 17$ من خلال حل المعادلة

   

   $$ 5 \cos[ 2.5\pi(t - 0.4) ] + 15 = 17 $$
   $$ \cos[ 2.5\pi(t - 0.4) ] = \dfrac{17 - 15}{5} = 0.4 $$
   $$ 2.5\pi(t - 0.4) = \arccos(0.4) $$
   $$ t = \dfrac{\arccos(0.4)}{2.5\pi} + 0.4 = 0.547 \text{ seconds} $$

   الحل $t$ الذي تم إيجاده أعلاه أكبر من $0.4$، وهو موقع القيمة العظمى، وأصغر من $0.8$ ولذلك فهو يتوافق مع $t_2$. ومن ثم

   $$ t_2 = \dfrac{\arccos(0.4)}{2.5\pi} + 0.4 = 0.547 \text{ seconds} $$

   يتم إيجاد $t_1$ باستخدام تماثل الحلين بالنسبة لموقع القيمة العظمى عند $t = 0.4$. ومن ثم

   $$ t_1 = 0.4 - (0.547 - 0.4) = 0.252 \text{ seconds} $$

   يكون ارتفاع الكتلة أكثر من 17 مم لمدة

   $$ t_2 - t_1 = 0.547 - 0.252 = 0.295 \text{ seconds} $$

يُعطى عدد ساعات ضوء النهار $H$ في منطقة معينة تقريبًا بالدالة

حيث $H$ بالساعات و $t$ بالأيام، والدالة لها دورة مدتها سنة واحدة (365 يومًا).

1. أوجد $b$ (حيث $b > 0$) و $d$ إذا كان $H$ في أقصى قيمة له في 21 يونيو (شهر فبراير به 28 يومًا).
2. أي يوم هو الأقصر (يحتوي على أقل عدد من ساعات ضوء النهار)؟

الحل

1. بما أن الدورة معروفة وتساوي 365 يومًا، نستخدم الصيغة:

   $$ 365 = \dfrac{2\pi}{b} \quad \Rightarrow \quad b = \dfrac{2\pi}{365} $$

   إذا وضعنا $d = 0$ في الدالة

   $$ H(t) = 2.5 \cos[b(t - d)] + 11.5 $$

   تصبح

   $$ H(t) = 2.5 \cos(bt) + 11.5 $$

   والتي لها قيمة عظمى عند $t = 0$.

   في مسألتنا، تحدث القيمة العظمى في 21 يونيو، والذي يتوافق مع

   $$ t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 21 = 172 $$

   (الأيام من 1 يناير إلى 21 يونيو).

   لذلك، الإزاحة الأفقية هي 172 وحدة لليمين، و $d = 172$. ومن ثم،

   $$ H(t) = 2.5 \cos\left[\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right] + 11.5 $$

2. يتوافق اليوم الأقصر مع قيمة $t$ التي تعطي القيمة الصغرى لـ $H$، وهي:

   $$ 11.5 - 2.5 = 9 $$

   نحل المعادلة:

   $$ 2.5 \cos\left[\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right] + 11.5 = 9 $$
   $$ \cos\left[\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right] = \dfrac{9 - 11.5}{2.5} = -1 = \cos(\pi) $$

   والتي تعطي

   $$ \dfrac{2\pi}{365}(t - 172) = \pi $$
   $$ t = \dfrac{365\pi}{2\pi} + 172 = 354.5 \text{ days} $$

   ملاحظة: يمكننا أيضًا تحديد ذلك من خلال إدراك أن الوقت من القيمة العظمى إلى القيمة الصغرى التالية في دالة جيب التمام يساوي نصف الدورة. لذلك، تحدث القيمة الصغرى عند:

   $$ t = 172 + \dfrac{1}{2}(365) = 354.5 \text{ days} $$

   لحساب عدد الأيام من يناير حتى نوفمبر:

   $$ t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 + 30 = 334 $$

   ثم، عدد الأيام في ديسمبر هو:

   $$ 354.5 - 334 = 20.5 $$

   والذي يتوافق تقريبًا مع 21 ديسمبر.

يمكن تقريب متوسط درجة الحرارة الشهرية $T$ (بـ $^{\circ} \mathrm{C}$) في مدينة معينة بواسطة

حيث $t$ هو الزمن بالأشهر، ويتوافق $t = 0$ مع 1 يناير، ونفترض أن الدالة $T(t)$ لها دورة مدتها 12 شهرًا.

1. أوجد $a$، $b$ (حيث $b > 0$)، $c$، و $d$ إذا كان لـ $T$ قيمة عظمى تبلغ $22.4^{\circ} \mathrm{C}$ في منتصف يوليو ($t = 6.5$) وقيمة صغرى تبلغ $-10^{\circ} \mathrm{C}$.
2. في أي شهر تكون $T$ في أدنى مستوياتها؟
3. لكم عدد الأشهر التي تكون فيها $T$ أكبر من $18^{\circ} \mathrm{C}$؟

الحل

1. تسمح لنا القيمتان الصغرى والعظمى لـ $T$، واللتان يُرمز لهما بـ $T_{\text{max}}$ و $T_{\text{min}}$ على التوالي، بإيجاد $a$ و $c$ كالتالي:

   لدينا المعطيات:

   $$ T_{\text{max}} = 22.4 \quad \text{and} \quad T_{\text{min}} = -10 $$
   $$ c = \dfrac{T_{\text{max}} + T_{\text{min}}}{2} = 6.2 $$
   $$ |a| = \dfrac{T_{\text{max}} - T_{\text{min}}}{2} = 16.2 \quad \text{(we take } a > 0 \text{)} $$

   الرسم البياني لـ $T$ هو لدالة جيب التمام $a \cos(bt)$ مزاحة 6.5 وحدة لليمين. ومن ثم،

   $$ T(t) = 16.2 \cos[ b(t - 6.5) ] + 6.2 $$

   نستخدم الآن الدورة لإيجاد $b$. الدورة هي 12، وبما أن

   $$ \text{Period} = \dfrac{2\pi}{b} = 12 , \quad \text{we get } b = \dfrac{\pi}{6} $$

   وبالتالي، فإن دالة درجة الحرارة هي

   $$ T(t) = 16.2 \cos\left[ \dfrac{\pi}{6}(t - 6.5) \right] + 6.2 $$

2. لنجد $t$ التي تكون عندها $T$ صغرى. القيمة الصغرى لـ $T$ هي -10. نقوم بحل:

   $$ 16.2 \cos\left[ \dfrac{\pi}{6}(t - 6.5) \right] + 6.2 = -10 $$
   $$ \cos\left[ \dfrac{\pi}{6}(t - 6.5) \right] = -1 = \cos(\pi) $$
   $$ \dfrac{\pi}{6}(t - 6.5) = \pi $$
   $$ t = 12.5 $$

   ملاحظة: كان بإمكاننا الإجابة على هذا باستخدام حقيقة أن المسافة بين القيمة العظمى والقيمة الصغرى التالية في دالة جيبية تساوي نصف الدورة. إذن،

   $$ t = 6.5 + \dfrac{1}{2}(12) = 12.5 \text{ months} $$

   بما أن $t = 12.5$ أكبر قليلاً من دورة واحدة (12 شهرًا)، فإنه يتوافق مع منتصف شهر يناير، مما يعني أن درجة الحرارة تكون في أدنى مستوياتها في ذلك الوقت تقريبًا.

3. نجد الآن الأوقات $t_1$ و $t_2$ التي تكون عندها $T = 18$ من خلال حل المعادلة:

   $$ 16.2 \cos\left[ \dfrac{\pi}{6}(t - 6.5) \right] + 6.2 = 18 $$
   $$ \cos\left[ \dfrac{\pi}{6}(t - 6.5) \right] = \dfrac{18 - 6.2}{16.2} $$
   $$ \dfrac{\pi}{6}(t - 6.5) = \arccos\left( \dfrac{18 - 6.2}{16.2} \right) $$
   $$ t = \dfrac{6}{\pi} \arccos\left( \dfrac{18 - 6.2}{16.2} \right) + 6.5 = 7.94 \text{ months} $$

   من المنحنى البياني لـ $T(t)$ والخط الأفقي $y = 18$، يتوافق الحل $t = 7.94$ مع $t_2 = 7.94$. وبواسطة التماثل،

   $$ t_1 = 6.5 - (t_2 - 6.5) = 6.5 - (7.94 - 6.5) = 5.06 \text{ months} $$

   عدد الأشهر التي تكون فيها $T > 18$ هو:

   $$ t_2 - t_1 = 7.94 - 5.06 = 2.88 \text{ months (approximately 3 months)} $$

يبلغ قطر عجلة فيريس كبيرة 48 مترًا وتستغرق العجلة 2.8 دقيقة لإكمال دورة واحدة. يركب أحد الركاب العجلة عند أدنى نقطة لها والتي تقع على ارتفاع 60 سم فوق سطح الأرض عند $t = 0$.

1. أوجد دالة جيبية $h(t)$ تعطي الارتفاع $h$، بالأمتار، للراكب فوق سطح الأرض كدالة للزمن $t$ بالدقائق.
2. أوجد الفترات الزمنية التي يكون فيها الراكب على ارتفاع أقل من 30 مترًا للفترة الزمنية من $t = 0$ إلى $t = 2.8$ دقيقة.
3. كم دقيقة يستغرقها الراكب، بدءًا من $t = 0$، للوصول إلى أعلى نقطة للمرة الثانية؟

الحل

1. الارتفاع الأدنى $h_{\text{min}}$ فوق سطح الأرض هو 0.6 متر. الارتفاع الأقصى $h_{\text{max}}$ يساوي الارتفاع الأدنى زائد قطر العجلة.

   $$ h_{\text{max}} = 0.6 + 48 = 48.6 $$

   بما أن $h(t)$ تكون صغرى عند $t = 0$، فسيكون من الأسهل نمذجتها بدالة جيب تمام معكوسة (منعكسة). ومن ثم:

   $$ h(t) = a \cos[b(t - d)] + c $$
   $$ |a| = \dfrac{h_{\text{max}} - h_{\text{min}}}{2} = -\dfrac{48.6 - 0.6}{2} = 24 $$

   يوجد حلان لـ $a$ وهما $\pm 24$.

   نختار $a = -24$ حيث تمثل الإشارة السالبة الانعكاس على المحور الأفقي.

   $$ c = \dfrac{h_{\text{max}} + h_{\text{min}}}{2} = \dfrac{48.6 + 0.6}{2} = 24.6 $$

   الدورة هي 2.8، وبما أن:

   $$ \text{period} = \dfrac{2\pi}{b} \Rightarrow b = \dfrac{2\pi}{2.8} $$
   $$ h(t) = -24 \cos\left( \dfrac{2\pi}{2.8} t \right) + 24.6 $$

   للتحقق: عند $t = 0$،

   $$ h(0) = -24 \cos(0) + 24.6 = -24(1) + 24.6 = 0.6 \, \text{m} $$

   عند $t = 1.4$ (بعد نصف دورة)،

   $$ h(1.4) = -24 \cos\left( \dfrac{2\pi}{2.8} \cdot 1.4 \right) + 24.6 = -24 \cos(\pi) + 24.6 = 48.6 \, \text{m} $$

2. نحتاج أولاً لحل المعادلة:

   $$ -24 \cos\left( \dfrac{2\pi}{2.8} t \right) + 24.6 = 30 $$
   $$ \cos\left( \dfrac{2\pi}{2.8} t \right) = \dfrac{30 - 24.6}{-24} $$
   $$ t = \dfrac{2.8}{2\pi} \arccos\left( \dfrac{30 - 24.6}{-24} \right) = 0.8 \, \text{minutes} $$

   يتوافق الحل مع $t_1$، وهو التقاطع الأول لمنحنى $h(t)$ والمستقيم $y = 30$. ومن ثم:

   $$ t_1 = 0.8 \, \text{min}, \quad t_2 = 2.8 - 0.8 = 2 \, \text{min} $$

   $h(t) \lt 30$ من $t = 0$ إلى $t = 0.8$ ومن $t = 2$ إلى $t = 2.8$، بإجمالي 1.6 دقيقة.

3. يصل الراكب إلى القيمة العظمى عند $t = \dfrac{1}{2} \cdot 2.8$ للمرة الأولى، ومرة أخرى عند:

   $$ t = \dfrac{1}{2} \cdot 2.8 + 2.8 = 4.2 \, \text{minutes} $$

   للوصول إلى أقصى ارتفاع للمرة الثانية.

بسبب الجاذبية التي يمارسها القمر والشمس على الأرض، تميل المياه في البحار والمحيطات إلى الارتفاع والانخفاض بشكل دوري وهو ما يُعرف بالمد والجزر. في الحالات النموذجية، يكون الوقت بين عمليتي مد مرتفع (high tides) متتاليتين قريباً من 12 ساعة. في منطقة ساحلية معينة، يمكن تقريب عمق المياه بدالة جيبية على الشكل

حيث $d$ بالأمتار و $t$ بالساعات، ويتوافق $t = 0$ مع الساعة 12 منتصف الليل (12 am).

1. أوجد $b$ (حيث $b > 0$) إذا كان لـ $d$ دورة مدتها 12 ساعة.
2. من $t = 0$ إلى $t = 12$، في أي وقت يكون $d$ أصغر ما يمكن (جزر منخفض) وفي أي وقت يكون أكبر ما يمكن (مد مرتفع)؟
3. من $t = 0$ إلى $t = 12$، ما هي الفترات الزمنية التي يكون فيها عمق المياه 4.5 متر أو أكثر؟

الحل

1. باستخدام الدورة، لدينا

   $$ 12 = \dfrac{2\pi}{b} $$
   $$ b = \dfrac{\pi}{6} $$

2. تُعطى الدالة $d(t)$ الآن بواسطة

   $$ d(t) = -2.5 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3.5 $$

   أصغر قيمة لـ $d$ هي

   $$ -2.5 + 3.5 = 1 $$

   ومن ثم تكون $d$ أصغر ما يمكن عندما تكون $t$ بحيث

   $$ -2.5 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3.5 = 1 $$

   بالحل نحصل على:

   $$ \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) = 1 $$
   $$ \dfrac{\pi}{6}(t - 2) = 0 $$
   $$ t = 2 \quad \text{(corresponding to 2 am)} $$

   أكبر قيمة لـ $d$ هي

   $$ 2.5 + 3.5 = 6 $$

   ومن ثم تكون $d$ أكبر ما يمكن عندما تكون $t$ بحيث

   $$ -2.5 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3.5 = 6 $$

   بالحل نحصل على:

   $$ \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) = -1 $$
   $$ \dfrac{\pi}{6}(t - 2) = \pi $$
   $$ t = 8 \quad \text{(corresponding to 10 am)} $$

   ملاحظة: كان بإمكاننا الإجابة على الجزء ب) باستخدام حقيقة أن المسافة بين القيمة الصغرى والقيمة العظمى التالية في دالة جيبية تساوي نصف دورة. لذلك،

   $$ d \text{ is maximum at } t = 2 + \dfrac{1}{2} \cdot 12 = 8 $$

3. نحتاج أولاً لإيجاد $t$ التي تكون عندها $d(t) = 4.5$ بحل المعادلة

   $$ -2.5 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3.5 = 4.5 $$

   

   والتي يمكن كتابتها على النحو التالي:

   $$ \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) = \dfrac{1}{-2.5} $$

   حل بالنسبة لـ $t$:

   $$ t_1 = \dfrac{6}{\pi}\cdot \arccos\left( -\dfrac{1}{2.5} \right) + 2 = 5.8 \text{ hours} $$
   $$ t_2 = 8 + (8 - 5.8) = 10.2 \text{ hours} \quad \text{(using symmetry with respect to position of maximum)} $$

   إجمالي عدد الساعات التي يكون فيها $d(t) > 4.5 \, \text{م}$ هو:

   $$ 10.2 - 5.8 = 4.4 \text{ hours} $$

بسبب المد والجزر، يمكن التعبير عن عمق المياه $d$ في منطقة ساحلية معينة بواسطة دالة جيبية. يحدث أعلى مد عند الساعة 8 صباحاً ويحدث أدنى جزر بعد ذلك بـ 6 ساعات. أقصى مستوى للمياه هو 2.8 متر وأدنى مستوى للمياه هو 0.4 متر.

1. استخدم الدوال الجيبية لإيجاد عمق المياه $d(t)$، بالأمتار، كدالة للزمن $t$ بالساعات. (افترض أن 8 صباحاً تتوافق مع $t = 0$).
2. أوجد عمق المياه عند الظهيرة.
3. استخدم الرسم البياني لـ $d(t)$ والحسابات التحليلية لحساب الفترة الزمنية التي يكون فيها العمق $d$ أقل من $1.5 \, \text{متر}$ من 12 ظهراً (12 pm) إلى 6 مساءً (6 pm).

الحل

1. لنفترض أن $d(t)$ تُكتب على الشكل

   $$ d(t) = a \cos[b(t - d)] + c $$

   الحد الأدنى $d_{\min}$ والحد الأقصى $d_{\max}$ لـ $d$ هما

   $$ d_{\min} = 0.4 $$
   $$ d_{\max} = 2.8 $$
   $$ c = \dfrac{d_{\max} + d_{\min}}{2} = \dfrac{2.8 + 0.4}{2} = 1.6 $$
   $$ |a| = \dfrac{d_{\max} - d_{\min}}{2} = \dfrac{2.8 - 0.4}{2} = 1.2 $$

   بما أن $d(t)$ لها قيمة صغرى عند $t = 0$ (8 صباحاً)، يمكننا اختيار $a = -1.2$ و $d = 0$

   $$ d(t) = -1.2 \cos(bt) + 1.6 $$

   حيث يسهل التحقق من أن $d = -1.2 + 1.6 = 0.4$ عند $t = 0$.

   نستخدم الآن الدورة لإيجاد $b$ ($b > 0$) كما يلي

   $$ \text{period} = 12 = \dfrac{2\pi}{b} $$
   $$ \Rightarrow b = \dfrac{\pi}{6} $$

   تكتب $d(t)$ الآن على الشكل

   $$ d(t) = -1.2 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}t \right) + 1.6 $$

   حيث يسهل التحقق من أن القيمة العظمى تحدث عند $t = 6$.

2. عند الظهيرة يكون $t = 4$، ومن ثم

   $$ d(4) = -1.2 \cos\left( \dfrac{\pi}{6} \cdot 4 \right) + 1.6 = 2.2 \, \text{m} $$

3. يوضح الشكل أدناه منحنى $d(t)$ مع خطوط عمودية تتوافق مع 12 ظهراً إلى 6 مساءً وخط أفقي يتوافق مع $d = 1.5$. عمق المياه أقل من 1.5 من $t_0$ إلى 6 مساءً ($t = 10$). نحتاج إلى إيجاد $t_0$، وهي نقطة تقاطع $d(t)$ مع $y = 1.5$، عن طريق حل المعادلة

   $$ -1.2 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}t \right) + 1.6 = 1.5 $$
   $$ t = \dfrac{6 \cdot \arccos\left( \dfrac{1.5 - 1.6}{-1.2} \right)}{\pi} \approx 2.84 $$

   يتوافق الحل الذي تم إيجاده مع نقطة التقاطع اليسرى لـ $d(t)$ و $y = 1.5$. يمكن إيجاد النقطة اليمنى $t_0$ باستخدام تماثل المنحنى بالنسبة لنقطة القيمة العظمى. ومن ثم

   $$ t_0 = 6 + (6 - 2.84) = 9.16 \, \text{hours} $$

   تتوافق $0.16$ ساعة مع

   $$ 0.16 \times 60 \, \text{minutes} \approx 10 \text{ minutes} $$

   تتوافق $9.16$ ساعة مع

   $$ \approx 5:10 \, \text{pm} $$

   من 12 ظهراً إلى 6 مساءً، يكون عمق المياه أقل من 1.5 من 5:10 مساءً إلى 6 مساءً.

ينتج نظام ألواح شمسية متوسط طاقة يومي $P$ يتغير خلال العام. يكون الحد الأقصى للطاقة في 21 يونيو (اليوم الذي يحتوي على أكبر عدد من ساعات ضوء النهار) ويساوي $20 \ \text{كيلوواط ساعة/يوم}$. نفترض أن $P$ تتغير مع الزمن $t$ وفقًا للدالة الجيبية:

حيث يتوافق $t = 0$ مع الأول من يناير، و $P$ هي الطاقة بـ كيلوواط ساعة/يوم، وللدالة $P(t)$ دورة مدتها 365 يومًا (28 يومًا في فبراير). القيمة الصغرى لـ $P$ هي $4 \ \text{كيلوواط ساعة/يوم}$.

1. أوجد المعلمات (المتغيرات) $a$، $b$، $c$، و $d$.
2. ارسم منحنى $P(t)$ خلال دورة واحدة من $t = 0$ إلى $t = 365$.
3. متى تكون الطاقة التي ينتجها النظام الشمسي في أدنى مستوياتها؟
4. تكون الطاقة التي ينتجها هذا النظام الشمسي كافية لتشغيل مجموعة من الآلات إذا كانت الطاقة التي ينتجها النظام أكبر من أو تساوي $16 \ \text{كيلوواط ساعة/يوم}$. لِكَم يوماً، في السنة، تكون الطاقة التي ينتجها النظام كافية؟

الحل

1. لنفترض أن $P(t)$ تُكتب على الشكل

   $$ P(t) = a \cos[b(t - d)] + c $$

   الحد الأدنى $P_{\text{min}}$ والحد الأقصى $P_{\text{max}}$ لـ $P(t)$ معطيان كالتالي:

   $$ P_{\text{min}} = 4 $$
   $$ P_{\text{max}} = 20 $$
   $$ c = \dfrac{P_{\text{max}} + P_{\text{min}}}{2} = \dfrac{20 + 4}{2} = 12 $$
   $$ |a| = \dfrac{P_{\text{max}} - P_{\text{min}}}{2} = \dfrac{20 - 4}{2} = 8 $$

   نحتاج الآن لإيجاد عدد الأيام $t$ بعد 1 يناير التي تكون عندها $P(t)$ في أقصى قيمة لها عن طريق عد أيام الأشهر من يناير إلى مايو وإضافة 21 يومًا في يونيو:

   $$ t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 21 = 172 $$

   نستخدم الآن الدورة لإيجاد $b$ (حيث $b > 0$) كما يلي:

   $$ \text{period} = 365 = \dfrac{2\pi}{b} $$
   $$ \Rightarrow b = \dfrac{2\pi}{365} $$

   دالة جيب التمام بدون إزاحة لها قيمة عظمى عند $t = 0$. الدالة $P(t)$ لها قيمة عظمى عند $t = 172$. يمكننا نمذجة $P(t)$ بدالة جيب تمام مزاحة بمقدار 172 وحدة لليمين:

   $$ P(t) = 8 \cos\left(\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right) + 12 $$

   تأكد من أن $P(t)$ عظمى عند $t = 172$:

   $$ P(172) = 8 \cos\left(\dfrac{2\pi}{365}(172 - 172)\right) + 12 = 8 \cos(0) + 12 = 20 $$

2. الرسم البياني لـ $P(t)$ موضح أدناه.

   

3. يوجد فرق قدره نصف دورة بين القيمة العظمى عند $t = 172$ والقيمة الصغرى التي تليها. ومن ثم تكون $P(t)$ صغرى عند

   $$ t = 172 + 0.5(365) = 354.5 $$

   أول 11 شهرًا بها 334 يومًا. وبالتالي، تتوافق 354.5 مع 21 ديسمبر، وهو اليوم الذي تكون فيه $P(t)$ في أدنى مستوياتها.

4. لإيجاد عدد الأيام التي تكون فيها الطاقة المنتجة كافية، نحتاج إلى إيجاد $t_1$ و $t_2$ المتوافقين مع نقاط تقاطع $P(t)$ والمستقيم $y = 16$، كما هو موضح في الرسم البياني، عن طريق حل المعادلة:

   $$ P(t) = 16 $$
   $$ 8 \cos\left(\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right) + 12 = 16 $$
   $$ \cos\left(\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right) = \dfrac{1}{2} $$
   $$ t = 172 + \dfrac{365}{2\pi} \arccos\left(\dfrac{1}{2}\right) = 232.8 $$

   الحل الذي تم إيجاده أعلاه أكبر من 172، وهو يتوافق مع القيمة العظمى. ومن ثم، يتوافق الحل أعلاه مع $t_2$ في الرسم البياني (الحل على الجانب الأيمن). يتم إيجاد الحل على الجانب الأيسر بالتماثل:

   $$ t_1 = 172 - (232.8 - 172) = 111.2 $$
   $$ t_2 - t_1 = 232.8 - 111.2 = 121.6 \text{ days} $$

   ينتج النظام طاقة كافية لمدة 121 يومًا تقريبًا.