تشرح هذه الصفحة كيفية رسم دالتي القاطع و تمام القاطع التي تأخذ الشكل:
يتم توفير أمثلة مفصلة لتوضيح رسومها البيانية، وتحويلاتها، وخصائصها الرئيسية خطوة بخطوة.
معلمات الرسم البياني للدالتين $y = \sec(x)$ و $y = \csc(x)$
المدى: $$ (-\infty , -1] \cup [1 , +\infty) $$
الدورة: $$ 2\pi $$
خطوط التقارب الرأسية لدالة القاطع: تقع خطوط التقارب الرأسية للدالة $y = \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$ عند أصفار دالة $\cos(x)$، وتُعطى بـ:
خطوط التقارب الرأسية لدالة تمام القاطع: تقع خطوط التقارب الرأسية للدالة $y = \csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}$ عند أصفار دالة $\sin(x)$، وتُعطى بـ:
نصيحة للرسم البياني: لرسم دالتي القاطع وتمام القاطع الأساسيتين بيانيًا، استخدم المتطابقات المقلوبة الخاصة بهما: $y = \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$ و $y = \csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}$. يساعد رسم موجة الجيب أو جيب التمام الأساسية أولاً في تحديد مواقع القمم والقيعان وخطوط التقارب الرأسية بسهولة.
الرسم البياني لـ $y = \sec(x)$
جميع أصفار $\cos(x)$ هي خطوط تقارب رأسية.
الرسم البياني لـ $y = \csc(x)$
جميع أصفار $\sin(x)$ هي خطوط تقارب رأسية.
أمثلة خطوة بخطوة للرسم البياني
المثال 1: رسم دالة قاطع محولة بيانيًا
ارسم الرسم البياني للدالة $y = \sec(2x - \pi/3)$ على مدى دورة واحدة.
الحل:
معلمات الرسم البياني
المدى: $(-\infty , -1] \cup [ 1, +\infty)$
الدورة: احسب باستخدام $\frac{2\pi}{|k|}$:
خطوط التقارب الرأسية: أوجد خطوط التقارب بحل الجزء الداخلي لدالة القاطع لمساواته بأصفار جيب التمام القياسية:
الحل بالنسبة لـ $x$ يعطي:
الإزاحة الأفقية (إزاحة الطور): بسبب الحد $-\pi/3$، يتم إزاحة الرسم البياني أفقياً. نقوم أولاً بإخراج قيمة $k$ كعامل مشترك ($2$) لإعادة كتابة الدالة المعطاة بالشكل القياسي $y = a\sec(k(x-d))$:
يمكننا الآن تحديد الإزاحة الأفقية بمقدار $\frac{\pi}{6}$ جهة اليمين.
الرسم: نرسم $y = \sec(2x - \pi/3)$ عن طريق إزاحة الرسم البياني لـ $y = \sec(2x)$ بمقدار $\pi/6$ جهة اليمين (الرسم البياني باللون الأحمر أدناه)، بحيث تبدأ الدورة المرسومة عند $\pi/6$ وتنتهي عند $\pi/6 + \pi = 7\pi/6$، وهي دورة كاملة واحدة تساوي $\pi$.
المثال 2: رسم دالة تمام قاطع محولة بيانيًا
ارسم الرسم البياني للدالة $y = -3 \csc\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{2}\right)$ على مدى دورة واحدة.
الحل:
معلمات الرسم البياني
المدى: بسبب معامل التمدد الرأسي $a = -3$، يتوسع المدى:
الدورة: احسب باستخدام $\frac{2\pi}{|k|}$:
خطوط التقارب الرأسية: أوجد خطوط التقارب بمساواة داخل دالة تمام القاطع بأصفار الجيب القياسية ($k\pi$):
بالحل بالنسبة لـ $x$، نحصل على:
الإزاحة الأفقية: بسبب الحد $\frac{\pi}{2}$، يتم إزاحة الرسم البياني أفقياً. بإعادة كتابة الدالة عن طريق إخراج $\frac{1}{2}$ كعامل مشترك:
هذا يوضح إزاحة أفقية بمقدار $\pi$ وحدة جهة اليسار.
الرسم: نرسم $y = -3 \csc\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{2}\right)$ عن طريق إزاحة الرسم البياني لـ $y = -3 \csc\left(\frac{x}{2}\right)$ جهة اليسار بمقدار $\pi$، بحيث تبدأ الدورة المرسومة عند $-\pi$ وتنتهي عند $-\pi + 4\pi = 3\pi$، وهو ما يتوافق مع دورة كاملة واحدة.
مسائل تحدي
اختبر مدى إتقانك للتحويلات مع هذه المسائل المتقدمة.
التحدي 1: إيجاد المعادلة من خطوط التقارب
دالة تمام قاطع على الشكل $y = a \csc(k(x - d))$ لها دورة مقدارها $6\pi$. ولها خط تقارب رأسي عند $x = \pi$، ويقع القاع المحلي (الحد الأدنى المحلي) لها عند $y = 4$. بفرض أن $a > 0$ و $k > 0$، أوجد معادلة الدالة.
الحل:
1. إيجاد $k$: الدورة هي $6\pi$. بما أن $\text{الدورة} = \frac{2\pi}{k}$ لـ $k > 0$:
2. إيجاد $a$: القاع المحلي لرسم بياني قياسي موجب لتمام القاطع يمثل بداية الأشكال المفتوحة لأعلى على شكل "U". بالنسبة لـ $y = a \csc(\dots)$، فإن قيمة القاع المحلي هذه هي $a$. وبالتالي، $a = 4$.
3. إيجاد $d$: دالة تمام القاطع القياسية $y = \csc(x)$ لها أول خط تقارب موجب عند $x=0$، يليه خط تقارب عند نصف دورة تمامًا، وآخر عند دورة كاملة. بما أن دالتنا $y = 4\csc(\frac{1}{3}(x-d))$ بها إزاحة طور، فلنستخدم شرط خط التقارب:
يجب أن يساوي داخل دالة تمام القاطع صفراً لأول خط تقارب رئيسي:
قيل لنا إن هناك خط تقارب عند $x = \pi$. إذا جعلنا هذا هو الإزاحة الرئيسية، فإن $d = \pi$.
المعادلة النهائية:
التحدي 2: رسم كامل للتحويلات
حدد معامل السعة، والدورة، وإزاحة الطور، والإزاحة الرأسية، والمدى للدالة: $$ y = -2 \sec\left(3x - \frac{\pi}{2}\right) + 1 $$ ثم أوجد معادلات خطوط التقارب الرأسية لها.
الحل:
1. الشكل القياسي: أخرج الرقم 3 كعامل مشترك لتحديد إزاحة الطور الحقيقية.
2. المعلمات:
* معامل السعة ($|a|$): $2$ (ملاحظة: منحنيات القاطع ليس لها "سعة" حقيقية لأنها تمتد إلى الملا نهاية، لكن معامل التمدد هو 2، وينعكس بسبب الإشارة السالبة).
* الدورة: $\frac{2\pi}{3}$
* إزاحة الطور: $\frac{\pi}{6}$ جهة اليمين.
* الإزاحة الرأسية: لأعلى بمقدار وحدة واحدة.
* المدى: تقع القمم المحلية عند $c - |a| = 1 - 2 = -1$. وتقع القيعان المحلية عند $c + |a| = 1 + 2 = 3$. لذلك، فإن المدى هو $(-\infty, -1] \cup [3, \infty)$.
3. خطوط التقارب الرأسية: ساوي ما داخل دالة القاطع بـ $\frac{\pi}{2} + n\pi$ (حيث $n$ عدد صحيح):