رسم دالتي الجيب وجيب التمام

ارسم الرسم البياني للدالة $y = 2 \cos(x) + 1$ على مدى دورة واحدة.

---

الحل:

معلمات الرسم البياني

• السعة: $|2| = 2$
• الدورة: $2\pi$
• الإزاحة الرأسية: $1$ (أعلى بمقدار وحدة واحدة)
• الإزاحة الأفقية: $0$

ثلاث خطوات لرسم الدالة $y = 2 \cos(x) + 1$:

1) نبدأ برسم $y = \cos(x)$ باستخدام قيم $x$ و $y$ من دائرة الوحدة (الرسم البياني الأزرق أدناه).

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & \dfrac{\pi}{2} & \pi & \dfrac{3\pi}{2} & 2\pi \\ \hline y & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ \hline \end{array} $$

2) ثم نرسم $y = 2 \cos(x)$ عن طريق تمدد $y = \cos(x)$ بمقدار 2 (الرسم البياني الأخضر أدناه).

3) وأخيرًا، نرسم $y = 2 \cos(x) + 1$ بالإزاحة لأعلى بمقدار وحدة واحدة (الرسم البياني الأحمر أدناه).

ارسم الرسم البياني للدالة $y = - 2 \sin(x) - 1$ على مدى دورة واحدة.

---

الحل:

معلمات الرسم البياني

• السعة: $|-2| = 2$
• الدورة: $2\pi$
• الإزاحة الرأسية: $-1$ (أسفل بمقدار وحدة واحدة)
• الإزاحة الأفقية: $0$

ثلاث خطوات لرسم الدالة $y = - 2 \sin(x) - 1$:

1) نبدأ برسم $y = \sin(x)$ باستخدام قيم $x$ و $y$ من دائرة الوحدة (الرسم البياني الأزرق أدناه).

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & \dfrac{\pi}{2} & \pi & \dfrac{3\pi}{2} & 2\pi \\ \hline y & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ \hline \end{array} $$

2) ثم نرسم $y = - 2 \sin(x)$ عن طريق تمدد $y = \sin(x)$ بمقدار 2 وانعكاسه على محور السينات (الرسم البياني الأخضر أدناه).

3) وأخيرًا، نرسم $y = - 2 \sin(x) - 1$ بالإزاحة لأسفل بمقدار وحدة واحدة (الرسم البياني الأحمر أدناه).

ارسم الرسم البياني للدالة $y = 3 \cos(2x + \dfrac{\pi}{3}) - 1$ على مدى دورة واحدة.

---

الحل:

معلمات الرسم البياني

• السعة: $|3| = 3$
• الدورة: $\dfrac{2\pi}{2} = \pi$
• الإزاحة الرأسية: $-1$ (أسفل بمقدار وحدة واحدة)

الإزاحة الأفقية: بسبب الحد $\dfrac{\pi}{3}$، يتم إزاحة الرسم البياني أفقياً. نعيد كتابة الدالة المعطاة كالتالي:

ويمكننا الآن كتابة الإزاحة على أنها تساوي $\dfrac{\pi}{6}$ لليسار.

ثلاث خطوات لرسم الدالة $y = 3 \cos(2x + \dfrac{\pi}{3}) - 1$:

1) نبدأ برسم $3 \cos(2x)$ بقيم صغرى وعظمى -3 و +3 على مدى دورة واحدة $= \pi$ (الرسم البياني الأزرق أدناه).

2) ثم نرسم $y = 3 \cos(2x) - 1$ بترجمة الرسم البياني السابق وحدة واحدة لأسفل (الرسم البياني الأخضر أدناه).

3) نقوم الآن بإزاحة الرسم البياني السابق بمقدار $\dfrac{\pi}{6}$ لليسار (الرسم البياني الأحمر أدناه) بحيث تبدأ الدورة المرسومة عند $-\dfrac{\pi}{6}$ وتنتهي عند $-\dfrac{\pi}{6} + \pi = \dfrac{5\pi}{6}$ وهي دورة واحدة $= \pi$.

ارسم الرسم البياني للدالة $y = -0.2 \sin\left(0.5x - \dfrac{\pi}{6} \right) + 0.1$ على مدى دورة واحدة.

---

الحل:

معلمات الرسم البياني

• السعة: $|-0.2| = 0.2$
• الدورة: $\dfrac{2\pi}{0.5} = 4\pi$
• الإزاحة الرأسية: $0.1$ (أعلى بمقدار 0.1 وحدة)

الإزاحة الأفقية: بسبب الحد $- \dfrac{\pi}{6}$، يتم إزاحة الرسم البياني أفقياً. نعيد كتابة الدالة المعطاة كالتالي:

ويمكننا الآن كتابة الإزاحة على أنها تساوي $\dfrac{\pi}{3}$ لليمين.

ثلاث خطوات لرسم الدالة $y = -0.2 \sin\left(0.5x - \dfrac{\pi}{6} \right) + 0.1$:

1) نبدأ برسم $y = -0.2 \sin(0.5x)$ بقيم صغرى وعظمى $-0.2$ و $0.2$ على مدى دورة واحدة $= 4\pi$ (الرسم البياني الأزرق أدناه).

2) ثم نرسم $y = -0.2 \sin(0.5x) + 0.1$ بترجمة الرسم البياني السابق 0.1 وحدة لأعلى (الرسم البياني الأخضر أدناه).

3) ثم نقوم بإزاحة الرسم البياني السابق بمقدار $\dfrac{\pi}{3}$ لليمين (الرسم البياني الأحمر أدناه) بحيث تبدأ الدورة المرسومة عند $\dfrac{\pi}{3}$ وتنتهي عند $\dfrac{\pi}{3} + 4\pi$، وهي دورة واحدة $= 4\pi$.

ارسم الرسم البياني للدالة $y = 2 \cos(2x - 60^\circ) - 2$ على مدى دورة واحدة.

---

الحل:

معلمات الرسم البياني

• السعة: $|2| = 2$
• الدورة: $\dfrac{360^\circ}{2} = 180^\circ$
• الإزاحة الرأسية: $-2$ (أسفل بمقدار وحدتين)

الإزاحة الأفقية: بسبب الحد $-60^\circ$، يتم إزاحة الرسم البياني أفقياً. نعيد كتابة الدالة المعطاة كالتالي:

ويمكننا الآن كتابة الإزاحة على أنها تساوي $30^\circ$ لليمين.

ثلاث خطوات لرسم الدالة $y = 2 \cos(2x - 60^\circ) - 2$:

1) نبدأ برسم $y = 2 \cos(2x)$ بقيم صغرى وعظمى $-2$ و $+2$ على مدى دورة واحدة $= 180^\circ$ (الرسم البياني الأزرق أدناه).

2) ثم نرسم $y = 2 \cos(2x) - 2$ بترجمة الرسم البياني السابق وحدتين لأسفل (الرسم البياني الأخضر أدناه).

3) وأخيرًا، نقوم بإزاحة الرسم البياني السابق بمقدار $30^\circ$ لليمين (الرسم البياني الأحمر أدناه) بحيث تبدأ الدورة المرسومة عند $30^\circ$ وتنتهي عند $30^\circ + 180^\circ = 210^\circ$، وهي دورة واحدة $= 180^\circ$.

ارسم الرسم البياني للدالة $y = -2 \sin\left(\dfrac{x}{3} + \dfrac{\pi}{3}\right) - 1$ على مدى دورة واحدة.

---

الحل:

معلمات الرسم البياني

• السعة: $|-2| = 2$
• الدورة: $\dfrac{2\pi}{\dfrac{1}{3}} = 6\pi$
• الإزاحة الرأسية: $-1$ (أسفل بمقدار وحدة واحدة)

الإزاحة الأفقية: بسبب الحد $\dfrac{\pi}{3}$، يتم إزاحة الرسم البياني أفقياً. نعيد كتابة الدالة المعطاة كالتالي:

ويمكننا الآن كتابة الإزاحة على أنها تساوي $\pi$ لليسار.

ثلاث خطوات لرسم الدالة $y = -2 \sin\left(\dfrac{x}{3} + \dfrac{\pi}{3}\right) - 1$:

1) نبدأ برسم $-2 \sin\left(\dfrac{x}{3}\right)$ بقيم صغرى وعظمى $-2$ و $+2$ على مدى دورة واحدة $= 6\pi$ (الرسم البياني الأزرق أدناه).

2) ثم نرسم $y = -2 \sin\left(\dfrac{x}{3}\right) - 1$ بترجمة الرسم البياني السابق وحدة واحدة لأسفل (الرسم البياني الأخضر أدناه).

3) ثم نقوم بإزاحة الرسم البياني السابق بمقدار $\pi$ لليسار (الرسم البياني الأحمر أدناه) بحيث تبدأ الدورة المرسومة عند $-\pi$ وتنتهي عند $5\pi$ وهي دورة واحدة $= 6\pi$.