رسم دالتي الظل وتمام الظل

تشرح هذه الصفحة رسم ورسم بياني لدالتي الظل و تمام الظل بالصيغتين:

$$ y = a \tan \big[ k ( x - d) \big] \quad \text{and} \quad y = a \cot \big[ k ( x - d) \big] $$

يتم توفير أمثلة مفصلة أدناه لمساعدة الطلاب على فهم سلوكها، وخطوط التقارب، وتحويلات الرسوم البيانية.

معلمات الرسم البياني للدالتين $y = \tan(x)$ و $y = \cot(x)$

المدى: $ (- \infty , +\infty) $

الدورة: $ \pi $ (ملاحظة: هذه تختلف عن دالتي الجيب/جيب التمام اللتين لهما دورة أساسية تساوي $2\pi$)

الإزاحة الأفقية (الانسحاب): $d$. ينزاح الرسم البياني لليسار إذا كانت الإشارة موجبة، ولليمين إذا كانت الإشارة سالبة.

خطوط التقارب الرأسية لدالة الظل: تقع عند أصفار جيب التمام، وتُعطى بـ:

$$ x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $$

خطوط التقارب الرأسية لدالة تمام الظل: تقع عند أصفار الجيب، وتُعطى بـ:

$$ x = k\pi, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $$

المطابقات: لفهم الخصائص الرئيسية لهذه الدوال، تذكر مطابقات النسب:

$$ y = \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \quad \text{and} \quad y = \cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} $$

1) $ y = \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} $

جميع أصفار $\sin(x)$ تتوافق مع أصفار $\tan(x)$. جميع أصفار $\cos(x)$، التي تظهر في المقام، تتوافق مع خطوط التقارب الرأسية لـ $\tan(x)$.

الرسم البياني لـ y = tan(x)

2) $ y = \cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} $

جميع أصفار $\cos(x)$ تتوافق مع أصفار $\cot(x)$. جميع أصفار $\sin(x)$، التي توجد في المقام، تتوافق مع خطوط التقارب الرأسية لـ $\cot(x)$.

الرسم البياني لـ y = cot(x)

رسم دالتي الظل وتمام الظل: أمثلة مع حلول تفصيلية

المثال 1: رسم دالة ظل محولة بيانيًا

ارسم الرسم البياني للدالة $y = \tan\left( 2x + \dfrac{\pi}{2} \right)$ على مدى دورة واحدة.

الحل:

معلمات الرسم البياني

المدى: $(- \infty , +\infty)$

الدورة: احسب باستخدام دورة الظل الأساسية $\pi$:

$$ \dfrac{\pi}{|k|} = \dfrac{\pi}{2} $$

خطوط التقارب الرأسية: تحدث حيث يساوي داخل دالة الظل خطوط التقارب الأساسية $\dfrac{\pi}{2} + k\pi$:

$$ 2x + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi $$

والتي تبسط إلى:

$$ 2x = k\pi \implies x = \dfrac{k\pi}{2}, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $$

الإزاحة الأفقية: تسمح الإزاحة الأفقية بسبب الحد $\dfrac{\pi}{2}$ بإعادة كتابة الدالة عن طريق إخراج العامل $2$:

$$ y = \tan \left[ 2 \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) \right] $$

هذا يعني أن الرسم البياني ينزاح بمقدار $\dfrac{\pi}{4}$ وحدة لليسار.

خطوتان لرسم الدالة $y = \tan\left( 2x + \dfrac{\pi}{2} \right)$:

1) ارسم $\tan(2x)$ على مدى دورة واحدة من $0$ إلى $\dfrac{\pi}{2}$ (الرسم البياني الأزرق أدناه).

2) ثم ارسم $y = \tan \left[ 2 \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) \right]$ بترجمة الرسم البياني السابق بمقدار $\dfrac{\pi}{4}$ لليسار (الرسم البياني الأحمر أدناه)، مما يجعل الدورة تبدأ عند $- \dfrac{\pi}{4}$ وتنتهي عند $\dfrac{\pi}{4}$، وهي دورة كاملة واحدة تساوي $\dfrac{\pi}{2}$.

الرسم البياني لـ y = tan(2x + π/2)

المثال 2: رسم دالة تمام ظل محولة بيانيًا

ارسم الرسم البياني للدالة $y = \cot \left( 4x - \dfrac{\pi}{4} \right)$ على مدى دورة واحدة.

الحل:

معلمات الرسم البياني

المدى: $(- \infty , +\infty)$

الدورة: احسب باستخدام دورة تمام الظل الأساسية $\pi$:

$$ \dfrac{\pi}{|k|} = \dfrac{\pi}{4} $$

خطوط التقارب الرأسية: توجد عن طريق الحل عندما يساوي داخل دالة تمام الظل $k\pi$:

$$ 4x - \dfrac{\pi}{4} = k \pi $$

مما يعطي:

$$ 4x = k\pi + \dfrac{\pi}{4} \implies x = \dfrac{k \pi + \dfrac{\pi}{4}}{4}, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $$

الإزاحة الأفقية: يمكن تحديد الإزاحة الأفقية بسبب الحد $- \dfrac{\pi}{4}$ عن طريق إخراج العامل $4$:

$$ y = \cot \left[ 4 \left( x - \dfrac{\pi}{16} \right) \right] $$

هذا يمثل إزاحة بمقدار $\dfrac{\pi}{16}$ وحدة لليمين.

خطوتان لرسم الدالة $y = \cot \left( 4x - \dfrac{\pi}{4} \right)$:

1) ابدأ برسم $\cot(4x)$ على مدى دورة واحدة من $0$ إلى $\dfrac{\pi}{4}$ (الرسم البياني الأزرق).

2) ثم ارسم $y = \cot \left[ 4 \left( x - \dfrac{\pi}{16} \right) \right]$ بترجمة الرسم البياني بمقدار $\dfrac{\pi}{16}$ لليمين (الرسم البياني الأحمر أدناه)، مما يجعل الدورة تبدأ عند $\dfrac{\pi}{16}$ وتنتهي عند $\dfrac{5\pi}{16}$، وهي دورة كاملة واحدة.

الرسم البياني لـ y = cot(4x - π/4)

مراجع إضافية وروابط