حل المعادلات التي تتضمن الدوال العكسية المثلثية

حل المعادلة بالنسبة لـ $x$: $3 \arcsin(x) = \dfrac{\pi}{2}$.

---

الحل:

اقسم كلا طرفي المعادلة على 3.

طبق $\sin$ على الطرفين وبسّط.

يتبسط ما سبق إلى

بسبب مجال $\arcsin(x)$، نحتاج إلى التحقق من أن الحل المُستحصل عليه صحيح.

التحقق من الحل:

لـ $x = \dfrac{1}{2}$

• الطرف الأيمن للمعادلة: $3 \arcsin\left(\dfrac{1}{2}\right) = 3 \cdot \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}$
• الطرف الأيسر للمعادلة: $\dfrac{\pi}{2}$

حل المعادلة أعلاه هو $x = \dfrac{1}{2}$.

التقريب البياني لحل المعادلة المعطاة موضح أدناه. الإحداثي السيني لنقطة تقاطع الرسوم البيانية التي تشكل الطرف الأيسر والطرف الأيمن للمعادلة المعطاة هو $0.5$، وهو الحل الذي تم إيجاده تحليلياً.

حل المعادلة بالنسبة لـ $x$: $3 \cot(\arccos(x)) = 2$.

---

الحل:

اقسم كلا طرفي المعادلة المعطاة على 3 وبسّط.

ليكن $A = \arccos(x)$ وطبق $\cos$ على الطرفين للحصول على.

باستخدام تعريف $A$ أعلاه، يمكن كتابة المعادلة كـ

استخدم $\cot(A) = \dfrac{2}{3}$ لإنشاء مثلث قائم الزاوية وإيجاد $\cos(A)$. أوجد الوتر $h$ أولاً.

نستخدم الآن نفس المثلث الموضح أعلاه لإيجاد $\cos(A)$.

التقريب البياني لحل المعادلة المعطاة موضح أدناه.

حل المعادلة بالنسبة لـ $x$: $\arcsin(x) = \arccos(x)$.

---

الحل:

طبق دالة $\sin$ على الطرفين.

بسّط الطرف الأيسر باستخدام المطابقة $\sin(\arcsin(A)) = A$.

ليكن $A = \arccos(x)$، إذن $\cos(A) = x$. باستخدام حساب المثلثات للمثلث القائم (أو المطابقة الفيثاغورسية):

استخدم ما سبق لإعادة كتابة المعادلة المعطاة في صورة جبرية.

ربّع الطرفين.

بسبب مجال دالة arccos وحقيقة أننا ربّعنا طرفي المعادلة، نحتاج إلى التحقق من الحلول واستبعاد أي حلول غير صالحة (دخيلة).

التحقق من الحل:

1) لـ $x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

• الطرف الأيسر: $\arcsin\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{\pi}{4}$
• الطرف الأيمن: $\arccos\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{\pi}{4}$

$\implies x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ هو حل للمعادلة المعطاة.

2) لـ $x = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

• الطرف الأيسر: $\arcsin\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\dfrac{\pi}{4}$
• الطرف الأيمن: $\arccos\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{3\pi}{4}$

$\implies x = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ ليس حلاً للمعادلة المعطاة.

التقريب البياني لحل المعادلة المعطاة موضح أدناه. الإحداثي السيني لنقطة التقاطع $0.71$ قريب من $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.

حل المعادلة بالنسبة لـ $x$: $\arccos(x) = \arcsin(x) + \dfrac{\pi}{2}$.

---

الحل:

طبق دالة $\cos$ على الطرفين.

بسّط الطرف الأيسر باستخدام المطابقة $\cos(\arccos(A)) = A$.

افرد الطرف الأيمن باستخدام متطابقة مجموع زاويتين $\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$.

استخدم القيم المعروفة: $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$، و $\sin(\arcsin(x)) = x$، و $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1$.

التحقق من الحل:

• الطرف الأيسر: $\arccos(0) = \dfrac{\pi}{2}$
• الطرف الأيمن: $\arcsin(0) + \dfrac{\pi}{2} = 0 + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2}$

$x = 0$ هو حل صحيح للمعادلة المعطاة.

التقريب البياني لحل المعادلة المعطاة موضح أدناه. الإحداثي السيني لنقطة التقاطع يساوي $0$، تمامًا مثل القيمة المحسوبة تحليليًا أعلاه.

حل المعادلة بالنسبة لـ $x$: $\arccos(2x) = \dfrac{\pi}{3} + \arccos(x)$.

---

الحل:

طبق دالة جيب التمام على الطرفين.

بسّط الطرف الأيسر باستخدام متطابقة العكس، وافرد الطرف الأيمن باستخدام صيغة مجموع زاويتين.

الطرف الأيسر: $\cos(\arccos(2x)) = 2x$

الطرف الأيمن:

بمساواة الطرفين، أعد كتابة المعادلة مع عزل الجذر على الطرف الأيمن.

ربّع الطرفين.

اضرب في 4 للتخلص من المقامين:

التحقق من الحل:

1) لـ $x = \dfrac{1}{2}$

• الطرف الأيسر: $\arccos\left(2 \cdot \dfrac{1}{2}\right) = \arccos(1) = 0$
• الطرف الأيمن: $\dfrac{\pi}{3} + \arccos\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}$

$\implies x = \dfrac{1}{2}$ ليس حلاً.

2) لـ $x = -\dfrac{1}{2}$

• الطرف الأيسر: $\arccos\left(2 \cdot -\dfrac{1}{2}\right) = \arccos(-1) = \pi$
• الطرف الأيمن: $\dfrac{\pi}{3} + \arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{2\pi}{3} = \pi$

$\implies x = -\dfrac{1}{2}$ هو حل صحيح للمعادلة المعطاة.

التقريب البياني لحل المعادلة المعطاة موضح أدناه. نقطة التقاطع لها إحداثي سيني يساوي $-0.5$، وهو بالضبط الحل الذي تم إيجاده تحليلياً.