أمثلة حل المتباينات الكسرية مع الحلول

حل المتباينة:

---

الحل:

الخطوة 1: تحديد النقاط الحرجة (أصفر البسط والمقام)

تحدث النقاط الحرجة حيث يكون التعبير مساويًا للصفر أو غير معرف.

• البسط: $x - 2 = 0 \implies x = 2$
• المقام: $x + 1 = 0 \implies x = -1$

إذن النقاط الحرجة هي: $x = -1$ (غير معرفة) و $x = 2$ (صفر).

الخطوة 2: تقسيم خط الأعداد إلى فترات

استخدم النقاط الحرجة لتقسيم خط الأعداد:

• الفترة 1: $(-\infty, -1)$
• الفترة 2: $(-1, 2)$
• الفترة 3: $(2, \infty)$

الخطوة 3: اختبار نقطة في كل فترة

اختر قيمة في كل فترة واختبر إشارة التعبير.

الفترة 1: $x = -2$

الفترة 2: $x = 0$

الفترة 3: $x = 3$

الخطوة 4: تضمين أو استبعاد النقاط الحرجة

$x = -1$ تجعل المقام صفرًا وبالتالي يتم استبعادها.

$x = 2$ تجعل البسط صفرًا مما يحقق $\ge 0$ وبالتالي يتم تضمينها.

النتيجة النهائية: مجموعة حل المتباينة المعطاة هي:

حل المتباينة:

---

الحل:

الخطوة 1: إعادة كتابة المتباينة بحيث يكون أحد الطرفين صفرًا

أعد الكتابة بمقام مشترك:

بسّط البسط:

إذن تصبح المتباينة:

الخطوة 2: تحديد النقاط الحرجة

• البسط: $-x - 5 = 0 \implies x = -5$
• المقام: $x + 3 = 0 \implies x = -3$

إذن النقاط الحرجة هي: $x = -5$ (صفر) و $x = -3$ (غير معرفة).

الخطوة 3: تقسيم خط الأعداد إلى فترات

• الفترة 1: $(-\infty, -5)$
• الفترة 2: $(-5, -3)$
• الفترة 3: $(-3, \infty)$

الخطوة 4: اختبار نقطة في كل فترة

الفترة 1: $x = -6$

الفترة 2: $x = -4$

الفترة 3: $x = 0$

الخطوة 5: تضمين أو استبعاد النقاط الحرجة

$x = -3$ تجعل المقام صفرًا وبالتالي يتم استبعادها.

$x = -5$ تجعل البسط صفرًا مما يحقق $\le 0$ وبالتالي يتم تضمينها.

النتيجة النهائية: مجموعة حل المتباينة المعطاة هي:

حل المتباينة:

---

الحل:

الخطوة 1: تحليل البسط والمقام

إذن تصبح المتباينة:

الخطوة 2: تحديد النقاط الحرجة

البسط:

• $4x + 9 = 0 \implies x = -\dfrac{9}{4}$
• $x - 1 = 0 \implies x = 1$

المقام:

• $x - 3 = 0 \implies x = 3$
• $x + 2 = 0 \implies x = -2$

إذن النقاط الحرجة هي: $x = -\dfrac{9}{4}, x = -2, x = 1, x = 3$.

الخطوة 3: ترتيب النقاط الحرجة على خط الأعداد

من اليسار إلى اليمين على خط الأعداد: $-\infty, -\dfrac{9}{4}, -2, 1, 3, +\infty$. إذن الفترات هي:

• الفترة 1: $(-\infty, -\dfrac{9}{4})$
• الفترة 2: $(-\dfrac{9}{4}, -2)$
• الفترة 3: $(-2, 1)$
• الفترة 4: $(1, 3)$
• الفترة 5: $(3, \infty)$

الخطوة 4: اختبار نقطة في كل فترة

الفترة 1: $x = -3$

الفترة 2: $x = -2.1$

الفترة 3: $x = 0$

الفترة 4: $x = 2$

الفترة 5: $x = 4$

الخطوة 5: تضمين أو استبعاد النقاط الحرجة

• $x = -\dfrac{9}{4}$ و $x = 1$ $\to$ أصفار البسط $\to$ تحقق $\ge 0$ $\to$ متضمنة
• $x = -2$ و $x = 3$ $\to$ تجعل المقام صفرًا $\to$ مستبعدة

الخطوة 6: تحديد أين تكون العبارة $\ge 0$

• $(-\infty, -\dfrac{9}{4}]$: موجبة $\to$ متضمنة
• $(-\dfrac{9}{4}, -2)$: سالبة $\to$ مستبعدة
• $(-2, 1]$: موجبة $\to$ متضمنة
• $(1, 3)$: سالبة $\to$ مستبعدة
• $(3, \infty)$: موجبة $\to$ متضمنة

النتيجة النهائية:

حل المتباينة:

---

الحل:

الخطوة 1: تحليل التعبير

• البسط: $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$
• المقام: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$

إذن تصبح المتباينة:

الخطوة 2: تحديد النقاط الحرجة

• $x + 1 = 0 \implies x = -1$
• $x - 3 = 0 \implies x = 3$
• $x + 3 = 0 \implies x = -3$

ملاحظة: المقدار $x^2 - x + 1$ ليس له جذور حقيقية لأن مميزه سالب ($\Delta = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3$). علاوة على ذلك، وبما أن معامل الحد الرئيسي موجب، فإن هذا المقدار موجب دائمًا لجميع قيم $x$ الحقيقية ولا يؤثر على مخطط الإشارات.

إذن النقاط الحرجة هي: $x = -3$ (غير معرفة)، $x = -1$ (صفر)، $x = 3$ (غير معرفة).

الخطوة 3: تقسيم خط الأعداد إلى فترات

• الفترة 1: $(-\infty, -3)$
• الفترة 2: $(-3, -1)$
• الفترة 3: $(-1, 3)$
• الفترة 4: $(3, \infty)$

الخطوة 4: اختبار نقطة في كل فترة

الفترة 1: $x = -4$

الفترة 2: $x = -2$

الفترة 3: $x = 0$

الفترة 4: $x = 4$

الخطوة 5: تضمين أو استبعاد النقاط الحرجة

$x = -3$ و $x = 3$ تجعلان المقام صفرًا وبالتالي يتم استبعادهما.

$x = -1$ تجعل البسط صفرًا ولا تحقق $< 0$ (متباينة صارمة) وبالتالي يتم استبعادها.

النتيجة النهائية: مجموعة حل المتباينة المعطاة هي:

حل بيانيًا:

---

الحل:

ارسم طرفي المتباينة وقارب إحداثيات نقاط تقاطع الرسمين البيانيين؛ ثم حدد الفترات التي تكون فيها $\dfrac{x + 2}{x - 1}$ أكبر من أو تساوي $\ln(x + 1)$.

الدالة $\ln(x + 1)$ معرفة لـ $x > -1$، وبالتالي يجب أن تحقق أي مجموعة حل الشرط $x > -1$. للدالة $\dfrac{x + 2}{x - 1}$ خط تقارب رأسي عند $x = 1$.

من الرسوم البيانية، تكون الدالة $\dfrac{x + 2}{x - 1}$ (الخضراء) أكبر من أو تساوي $\ln(x + 1)$ (الحمراء) في الفترة:

حل المتباينة الكسرية المزدوجة:

---

الحل:

يجب حل المتباينة المزدوجة بتقسيمها إلى متباينتين منفصلتين. الحل النهائي هو تقاطع مجموعتي الحلول.

الجزء 1: المتباينة اليسرى

أوجد مقامًا مشتركًا:

النقطتان الحرجة: $x = -\dfrac{1}{3}$ و $x = -2$.

مخطط الإشارات للفترات $(-\infty, -2)$، $(-2, -1/3)$، $(-1/3, \infty)$ يعطي نتائج موجبة على الفترات الخارجية.

مجموعة الحل 1: $(-\infty, -2) \cup (-\dfrac{1}{3}, \infty)$

الجزء 2: المتباينة اليمنى

أوجد مقامًا مشتركًا:

النقطتان الحرجة: $x = -7$ و $x = -2$.

مخطط الإشارات للفترات $(-\infty, -7)$، $(-7, -2)$، $(-2, \infty)$ يعطي نتائج سالبة على الفترات الخارجية. نحن نتضمن $-7$ بسبب إشارة $\le$.

مجموعة الحل 2: $(-\infty, -7] \cup (-2, \infty)$

التقاطع:

يجب أن نجد أين تتقاطع مجموعة الحل 1 ومجموعة الحل 2.

• تتقاطع الجهة اليسرى من $(-\infty, -7]$.
• تتقاطع الجهة اليمنى من $(-\dfrac{1}{3}, \infty)$.

النتيجة النهائية:

حل المتباينة:

---

الحل:

تقدم هذه المسألة مفهوم التعددية. عندما يكون العامل مرفوعًا لأس زوجي (مثل التربيع)، فإن إشارة التعبير لا تتغير عند عبور تلك النقطة الحرجة. وعندما يكون العامل مرفوعًا لأس فردي، فإن الإشارة تتغير.

الخطوة 1: تحديد النقاط الحرجة

• البسط: $x = 3$ (تعددية زوجية)، $x = -1$ (تعددية فردية)
• المقام: $x = 2$ (تعددية فردية، مستبعدة)

الخطوة 2: مخطط الإشارات

الفترات المراد اختبارها: $(-\infty, -1)، (-1, 2)، (2, 3)، (3, \infty)$

• اختبار $x = -2$: $\dfrac{(+)(-)}{(-)} = (+) > 0$
• اختبار $x = 0$: $\dfrac{(+)(+)}{(-)} = (-) \le 0$ (هذه الفترة تحقق المتباينة)
• اختبار $x = 2.5$: $\dfrac{(+)(+)}{(+)} = (+) > 0$
• اختبار $x = 4$: $\dfrac{(+)(+)}{(+)} = (+) > 0$ (لاحظ أن الإشارة لم تتغير عند عبور $x=3$)

الخطوة 3: تحليل النقاط الطرفية

نحتاج إلى معرفة أين تكون الدالة سالبة أو مساوية للصفر تمامًا.

• الفترة $(-1, 2)$ سالبة.
• $x = -1$ تجعلها مساوية للصفر (متضمنة).
• $x = 2$ تجعلها غير معرفة (مستبعدة).
• $x = 3$ تجعلها مساوية للصفر (متضمنة).

على الرغم من أن الفترة حول $3$ موجبة، إلا أن النقطة الدقيقة $x=3$ تعطي $0$، مما يحقق شرط $\le 0$. هذا يخلق نقطة حل معزولة.

النتيجة النهائية: