يتم تقديم مسائل حساب المثلثات والأسئلة الخاصة بالصف الثاني عشر مع حلول خطوة بخطوة أدناه. تغطي هذه التمارين المتطابقات المثلثية، والمعادلات، والبراهين، والتطبيقات الهندسية الواقعية.
مسائل تدريبية خطوة بخطوة
السؤال 1: إثبات متطابقة
أثبت المتطابقة: $$ \tan^2(x) - \sin^2(x) = \tan^2(x) \sin^2(x) $$
الحل:
نبدأ بالطرف الأيسر للمتطابقة المعطاة.
استخدم المتطابقة $\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ للكتابة:
أوجد مقامًا مشتركًا:
أخرج العامل المشترك $\sin^2(x)$ من البسط:
طبق متطابقة فيثاغورس $1 - \cos^2(x) = \sin^2(x)$:
هذا يساوى تمامًا الطرف الأيمن للمتطابقة المعطاة.
السؤال 2: متطابقات ضعفي الزاوية
أثبت المتطابقة: $$ \dfrac{1 + \cos(x) + \cos(2x)}{\sin(x) + \sin(2x)} = \cot(x) $$
الحل:
استخدم متطابقتي ضعفي الزاوية $\cos(2x) = 2 \cos^2(x) - 1$ و $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$ في الطرف الأيسر للمتطابقة المعطاة:
بسّط البسط بحذف $1$ و $-1$:
أخرج $\cos(x)$ عاملًا مشتركًا من البسط و $\sin(x)$ من المقام:
احذف العامل ثنائي الحد المشترك $(1 + 2 \cos(x))$:
هذا يساوى الطرف الأيمن.
السؤال 3: الزوايا المركبة
أثبت المتطابقة: $$ 4 \sin(x) \cos(x) = \dfrac{\sin(4x)}{\cos(2x)} $$
الحل:
استخدم متطابقة ضعفي الزاوية $\sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta)$. بالتعويض بـ $\theta = 2x$، يمكننا إعادة كتابة $\sin(4x)$ كـ $2 \sin(2x) \cos(2x)$.
عوض بهذا في الطرف الأيمن للمتطابقة المعطاة:
احذف $\cos(2x)$:
طبق متطابقة ضعفي الزاوية مرة أخرى لـ $\sin(2x)$:
هذا يساوى الطرف الأيسر.
السؤال 4: حل المعادلات المثلثية
حل المعادلة المثلثية:
الحل:
استخدم المتطابقة $\sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta)$ لإعادة كتابة $\sin(x)$ بتعيين $\theta = \dfrac{x}{2}$:
عوض بهذا في المعادلة المعطاة:
أخرج $\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)$ عاملًا مشتركًا:
هذا يعطي معادلتين منفصلتين للحل:
أ) $\sin\left(\dfrac{x}{2}\right) = 0$
حلول الزاوية هي $\dfrac{x}{2} = 0$ و $\dfrac{x}{2} = \pi$.
حل بالنسبة لـ $x$ للحصول على: $x = 0$ و $x = 2\pi$.
ب) $2 \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) + 1 = 0$
يمكن كتابة هذا كـ $\cos\left(\dfrac{x}{2}\right) = -\dfrac{1}{2}$.
حلول الزاوية هي $\dfrac{x}{2} = \dfrac{2\pi}{3}$ و $\dfrac{x}{2} = \dfrac{4\pi}{3}$.
حل بالنسبة لـ $x$ للحصول على: $x = \dfrac{4\pi}{3}$ و $x = \dfrac{8\pi}{3}$.
لاحظ أن $\dfrac{8\pi}{3}$ أكبر من $2\pi$ وتقع خارج الفترة المعطاة، لذا يتم رفضها.
الحلول النهائية: $\left\{ 0, \dfrac{4\pi}{3}, 2\pi \right\}$
السؤال 5: المعادلات المحللة إلى عوامل
حل المعادلة المثلثية:
الحل:
المعادلة المعطاة موجودة بالفعل في شكل محلل إلى عوامل، مما يؤدي مباشرة إلى معادلتين للحل:
يمكن كتابة المعادلات أعلاه كـ:
حلول المعادلة $\sin(x) = \dfrac{1}{2}$ في الفترة $[0, 2\pi]$ هي:
حلول المعادلة $\tan(x) = 1$ في الفترة $[0, 2\pi]$ هي:
الحلول النهائية: $\left\{ \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{4} \right\}$
السؤال 6: صيغ المجموع والفرق
حل المعادلة المثلثية:
الحل:
استخدم صيغة $\cos(A + B) = \cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B)$ لضغط التعبير. هنا، ليكن $A = 2x$ و $B = x$:
ومن ثم يمكن كتابة المعادلة المعطاة كـ:
بما أن $x \in [0, 2\pi]$، فإن المجال لـ $3x$ هو $[0, 6\pi]$. حل المعادلة بالنسبة لـ $3x$ لإيجاد جميع أصفار دالة جيب التمام في هذه الفترة الموسعة:
اقسم كل منها على $3$ لحل $x$:
الحلول النهائية: $\left\{ \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{3\pi}{2}, \dfrac{11\pi}{6} \right\}$
السؤال 7: تبسيط التعبيرات
بسّط التعبير المثلثي:
الحل:
استخدم المتطابقتين $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$ و $\cos(2x) = 1 - 2 \sin^2(x)$ لإعادة كتابة التعبير:
بسّط المقام بحذف $1$ و $-1$:
أخرج $\cos(x)$ عاملًا مشتركًا من البسط و $\sin(x)$ من المقام:
لاحظ أن $(2 \sin(x) - 1)$ و $(-2 \sin(x) + 1)$ متعاكسان (حيث يضرب أحدهما في $-1$ ليساوي الآخر). احذفهما، مع ترك $-1$:
السؤال 8: تقييم القيم الدقيقة
أثبت أن:
الحل:
يمكن كتابة $105^\circ$ كمجموع زاويتين خاصتين:
وبالتالي:
استخدم المتطابقة $\sin(A + B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B)$ للكتابة:
استخدم جدول الزوايا الخاصة للقيم الدقيقة:
اضرب الكسور:
السؤال 9: حسابات الزوايا المتعددة
إذا كانت $\sin(x) = \dfrac{2}{5}$ و $x$ زاوية حادة، فأوجد القيم الدقيقة لـ:
- $\cos(2x)$
- $\cos(4x)$
- $\sin(2x)$
- $\sin(4x)$
الحل:
إذا كانت $\sin(x) = \dfrac{2}{5}$، فباستخدام متطابقة فيثاغورس $\cos(x) = \sqrt{1 - \sin^2(x)}$:
أ) أوجد $\cos(2x)$:
استخدم المتطابقة $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$:
ج) أوجد $\sin(2x)$ أولاً (مطلوبة للجزأين ب و د):
استخدم المتطابقة $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$:
ب) أوجد $\cos(4x)$:
استخدم المتطابقة $\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1$:
د) أوجد $\sin(4x)$:
استخدم المتطابقة $\sin(4x) = \sin(2(2x)) = 2 \sin(2x) \cos(2x)$:
السؤال 10: التطبيق الهندسي
أوجد طول الضلع $AB$ في الشكل أدناه. قرب إجابتك إلى 3 أرقام معنوية.
الحل:
لاحظ أن المثلث $DAC$ متساوي الساقين. لذلك، إذا رسمنا العمود من $D$ إلى $AC$، فسوف يقسم $AC$ إلى نصفين متساويين وينصف الزاوية $D$.
باستخدام المثلث القائم الذي وتره $AD$ (10 وحدات) وزاويته $\dfrac{70^\circ}{2} = 35^\circ$، يمكننا كتابة:
مما يعطي:
بعد ذلك، لاحظ أن الزاويتين الداخليتين $B$ و $C$ للمثلث $ABC$ تجتمعان لتصنعا $90^\circ$ وبالتالي الزاوية الثالثة للمثلث $ABC$ (الزاوية $A$) هي زاوية قائمة.
لذلك يمكننا أن نكتب:
مما يعطي:
عوض بقيمة $AC$ في المعادلة:
مسائل التحدي
اختبر إتقانك للمتطابقات والعمليات الجبرية مع هذه السيناريوهات المثلثية المتقدمة.
التحدي 1: التعويض المثلثي
حل المعادلة لكل القيم الحقيقية لـ $x \in [0, 2\pi]$:
الحل:
استخدم متطابقة فيثاغورس $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$ للتعبير عن كل شيء بدلالة جيب التمام:
اضرب في $-1$ لجعل الحد الرئيسي موجبًا:
ليكن $u = \cos(x)$ لكشف الشكل التربيعي:
هذا ينتج معادلتين:
بما أن مدى دالة جيب التمام هو $[-1, 1]$، فإن المعادلة $\cos(x) = 2$ ليس لها حل حقيقي.
نحل $\cos(x) = -\dfrac{1}{2}$ لـ $x$ في المجال $[0, 2\pi]$:
التحدي 2: برهان تحويل المجموع إلى ضرب
أثبت المتطابقة التالية:
الحل:
يمكننا إثبات ذلك بدءًا من الطرف الأيسر وتطبيق متطابقة تحويل المجموع إلى ضرب:
ليكن $A = 3x$ و $B = x$. عوض بهذه القيم في الصيغة:
بسّط الكسور داخل الدوال المثلثية:
تم إثبات المتطابقة.