حل المعادلات المثلثية - الصف الثاني عشر

أوجد جميع حلول المعادلة \(\sin(x) = \dfrac{1}{2}\) في الفترة \([0 , 2\pi)\) ووضح الحلول بيانيًا.

---

الحل:

\(\sin(x)\) موجبة في الربعين الأول والثاني. في الربع الأول، الحل هو \(x = \dfrac{\pi}{6}\). في الربع الثاني، \(x = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}\).

أوجد جميع حلول المعادلة \(\sin(x) + \cos(x) = 0\) في الفترة \([0 , 2\pi)\).

---

الحل:

\(\sin(x) = -\cos(x) \implies \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} = -1 \implies \tan(x) = -1\).

\(\tan(x)\) سالبة في الربعين الثاني والرابع. الحلول هي \(x = \dfrac{3\pi}{4}\) و \(x = \dfrac{7\pi}{4}\).

حل: \( \sin\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) - \cos\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 0 \).

---

الحل:

باستخدام \(\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B\)، يتم تبسيط المعادلة إلى \(\sin\left(\dfrac{\pi x}{2} - \dfrac{\pi}{3}\right) = 0\).

\(\dfrac{\pi x}{2} - \dfrac{\pi}{3} = k\pi \implies x = 2k + \dfrac{2}{3}\).

حل المعادلة: \(2 \sin^2(x) + \cos(x) = 1\).

---

الحل:

باستخدام \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\)، نحصل على \(2(1-\cos^2(x)) + \cos(x) = 1 \implies -2\cos^2(x) + \cos(x) + 1 = 0\).

ليكن \(u = \cos(x) \implies -2u^2 + u + 1 = 0 \implies (u-1)(-2u-1) = 0\).

\(\cos(x) = 1 \implies x = 0, 2\pi\); \(\cos(x) = -1/2 \implies x = 2\pi/3, 4\pi/3\).

حل: \(6 \cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right) - \cos(x) = 4\).

---

الحل:

استخدم \(\cos(x) = 2\cos^2(x/2) - 1\). تصبح المعادلة \(4\cos^2(x/2) = 3 \implies \cos(x/2) = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

الحل بالنسبة لـ \(x\) يعطي \(x = \dfrac{\pi}{3} + 4k\pi, \dfrac{11\pi}{3} + 4k\pi, \dfrac{5\pi}{3} + 4k\pi, \dfrac{7\pi}{3} + 4k\pi\).

حل: \(\tan^2(x) + 2 \sec(x) + 1 = 0\) في الفترة \([0 , 2\pi)\).

---

الحل:

باستخدام \(\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1\)، نحصل على \(\sec^2(x) + 2\sec(x) = 0 \implies \sec(x)(\sec(x)+2) = 0\).

\(\sec(x) = 0\) (مستحيل); \(\sec(x) = -2 \implies \cos(x) = -1/2\). الحلول: \(2\pi/3, 4\pi/3\).

حل: \(\cos(3x) + \sin(2x) = \cos(x)\).

---

الحل:

أعد الكتابة باستخدام \(\cos(3x) = \cos^3(x) - 3\cos(x)\sin^2(x)\) و \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\).

بعد تحليل \(\cos(x)\)، نحصل على \(2\sin(x)\cos(x)(1 - 2\sin(x)) = 0\). تشمل الحلول \(x = k\pi, \pi/2 + k\pi, \pi/6 + 2k\pi, 5\pi/6 + 2k\pi\).

حل: \(\cos(3x) = \cos\left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right)\).

---

الحل:

طبق القاعدة: إذا كانت \(\cos(A) = \cos(B)\)، إذن \(A = B + 2k\pi\) أو \(A = -B + 2k\pi\).

\(3x = 2x + \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi \implies x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\).

\(3x = -(2x + \dfrac{\pi}{4}) + 2k\pi \implies 5x = -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi \implies x = -\dfrac{\pi}{20} + \dfrac{2k\pi}{5}\).

حل: \(2\sin^2(x) + 3\cos(x) = 0\) لـ \(x \in [0, 2\pi]\).

---

الحل:

استخدم \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \implies -2\cos^2(x) + 3\cos(x) + 2 = 0\).

حلل \((2\cos(x) + 1)(\cos(x) - 2) = 0\).

\(\cos(x) = -1/2 \implies x = 2\pi/3, 4\pi/3\). (\(\cos(x) = 2\) مستحيل).

أثبت: \(\sin(3x) + \sin(x) = 2\sin(2x)\cos(x)\).

---

الحل:

استخدم \(\sin(A) + \sin(B) = 2\sin\left(\dfrac{A+B}{2}\right)\cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right)\).

\(2\sin\left(\dfrac{3x+x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{3x-x}{2}\right) = 2\sin(2x)\cos(x)\). تم إثبات المتطابقة.