أسئلة ومسائل الجبر للصف السادس مع حلول تفصيلية. تشمل المواضيع فك وتبسيط التعبيرات، وحل المعادلات الخطية، وتحليل التعبيرات، وإيجاد العامل المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر، والكسور، والنسب المئوية.
أعِد سرد جميع الحدود المتشابهة الواردة في كل من التعبيرات التالية.
أ) \(6x + 5 + 12x - 6\)
ب) \(2x^2 - 4 + 9x^2 + 9\)
ج) \( \dfrac{x}{5} + \dfrac{x}{7} + 7 \)
د) \(0.2x + 1.2x + \dfrac{x}{2} + 5\)
هـ) \(5x - 8 + 7x - 2x^2 - 4 + 9x^2 + 4x^3\)
و) \(5a + 8 - 7ab\)
ز) \(5ab + 8 + 6ba - a + 3b\)
أ) الحدان \(6x\) و \(12x\) لهما نفس المتغير \(x\) بأسس تساوي 1، ولذلك فهما حدان متشابهان.
الحدان \(5\) و \(-6\) هما أعداد ولذلك فهما حدان متشابهان.
ب) الحدان \(2x^2\) و \(9x^2\) لهما نفس المتغير \(x\) بأسس تساوي 2، فهما حدان متشابهان.
الحدان \(-4\) و \()+9\) هما أعداد ولذلك فهما حدان متشابهان.
ج) الحدان \(\dfrac{x}{5}\) و \(\dfrac{x}{7}\) لهما نفس المتغير بأسس تساوي 1، فهما حدان متشابهان.
د) الحدود \(0.2x\)، \(1.2x\)، و \(\dfrac{x}{2}\) لها نفس المتغير \(x\) بأسس تساوي 1؛ وهي حدود متشابهة.
هـ) الحدان \(5x\) و \(7x\) حدان متشابهان.
الحدان \(-8\) و \(-4\) حدان متشابهان.
الحدان \(-2x^2\) و \(+9x^2\) حدان متشابهان.
و) لا توجد حدود متشابهة في هذا التعبير.
ز) الحدان \(5ab\) و \(6ba\) حدان متشابهان.
قيّم كل من التعبيرات التالية لقيم المتغير (أو المتغيرات) المعطاة.
أ) \(6x + 5\) عندما \(x = 2\)
ب) \(12x^2 + 5x - 2\) عندما \(x = 1\)
ج) \(2(x + 7) + x\) عندما \(x = 0\)
د) \(2a + 3b - 7\) عندما \(a = 2\) و \(b = 4\)
أ) \(6(2) + 5 = 12 + 5 = 17\)
ب) \(12(1)^2 + 5(1) - 2 = 12(1) + 5 - 2 = 12 + 5 - 2 = 15\)
ج) \(2(0 + 7) + 0 = 2(7) = 14\)
د) \(2(2) + 3(4) - 7 = 4 + 12 - 7 = 9\)
انشر (إذا لزم الأمر) وبسّط كل من التعبيرات أدناه.
أ) \(3x + 5x\)
ب) \(2(x + 7) + x\)
ج) \(2(x + 3) + 3(x + 5) + 3\)
د) \(2(a + 1) + 5b + 3(a + b) + 3\)
أ) \(3x + 5x\)
\(= (3 + 5)x\)، إخراج \(x\) كعامل مشترك
\(= 8x\)، تبسيط
ب) \(2(x + 7) + x\)
\(= 2(x) + 2(7) + x = 2x + 14 + x\)، نشر وتبسيط
\(= (2x + x) + 14\)، تجميع الحدود المتشابهة
\(= (2 + 1)x + 14 = 3x + 14\)، تبسيط
ج) \(2(x + 3) + 3(x + 5) + 3\)
\(= 2(x) + 2(3) + 3(x) + 3(5) + 3 = 2x + 6 + 3x + 15 + 3\)، نشر وتبسيط
\(= (2x + 3x) + (6 + 15 + 3)\)، تجميع الحدود المتشابهة
\(= (2 + 3)x + 24 = 5x + 24\)، تبسيط
د) \(2(a + 1) + 5b + 3(a + b) + 3\)
\(= 2(a) + 2(1) + 5b + 3(a) + 3(b) + 3 = 2a + 2 + 5b + 3a + 3b + 3\)، نشر وتبسيط
\(= (2a + 3a) + (5b + 3b) + (2 + 3)\)، تجميع الحدود المتشابهة
\(= (2 + 3)a + (5 + 3)b + 5 = 5a + 8b + 5\)، تبسيط
حلّل كل من التعبيرات أدناه بإيجاد العامل المشترك الأكبر.
أ) \(3x + 3\)
ب) \(8x + 4\)
ج) \(ax + 3a\)
د) \((x + 1)y + 4(x + 1)\)
هـ) \(x + 2 + bx + 2b\)
أ) \(3x + 3\)
\(= 3(x) + 3(1)\)، العدد 3 عامل مشترك
\(= 3(x + 1)\)، الصورة المُحللة
ب) \(8x + 4\)
\(= 4(2)(x) + 4\)، كتابة 8 على صورة 4(2)
\(= 4(2x) + 4(1)\)، العدد 4 عامل مشترك
\(= 4(2x + 1)\)، الصورة المُحللة
ج) \(ax + 3a\)، الحرف \(a\) عامل مشترك
\(= a(x + 3)\)، الصورة المُحللة
د) \((x + 1)y + 4(x + 1)\)
\(= (x + 1)(y) + (x + 1)(4)\)، القوس \((x + 1)\) عامل مشترك
\(= (x + 1)(y + 4)\)، الصورة المُحللة
هـ) \(x + 2 + bx + 2b\)
\(= (x + 2) + b(x + 2)\)، إخراج \(b\) كعامل مشترك من \(bx + 2b\)
\(= (x + 2)(1) + (x + 2)b\)، أصبح \((x + 2)\) عاملاً مشتركاً الآن
\(= (x + 2)(1 + b)\)، الصورة المُحللة
حل كل من المعادلات أدناه وتحقق من إجابتك.
أ) \(x + 5 = 8\)
ب) \(2x = 4\)
ج) \(\dfrac{x}{3} = 2\)
د) \(0.2x = 1\)
هـ) \(3x + 6 = 12\)
و) \(3(x + 2) + 2 = 8\)
أ) \(x + 5 = 8\)
\(x + 5 - 5 = 8 - 5\)، طرح 5 من كلا طرفي المعادلة
\(x = 3\)، تبسيط وإيجاد قيمة \(x\)
عوض عن \(x\) بالعدد 3 (الحل المُوجد أعلاه) في كلا طرفي المعادلة المعطاة:
الطرف الأيمن: \(3 + 5 = 8\)
الطرف الأيسر = \(8\)
\(x = 3\) هو حل المعادلة المعطاة.
ب) \(2x = 4\)
\(\dfrac{2x}{2} = \dfrac{4}{2}\)، قسمة كلا الطرفين على 2
\(x = 2\)، تبسيط وإيجاد قيمة \(x\)
عوض عن \(x\) بالعدد 2 (الحل المُوجد أعلاه) في كلا طرفي المعادلة المعطاة:
الطرف الأيمن: \(2(2) = 4\)
الطرف الأيسر = \(4\)
\(x = 2\) هو حل المعادلة المعطاة.
ج) \(\dfrac{x}{3} = 2\)
\(3(\dfrac{x}{3}) = 3(2)\)، ضرب كلا الطرفين في 3
\(x = 6\)، تبسيط وإيجاد قيمة \(x\)
عوض عن \(x\) بالعدد 6 (الحل المُوجد أعلاه) في كلا طرفي المعادلة المعطاة:
الطرف الأيمن: \(\dfrac{6}{3} = 2\)
الطرف الأيسر = \(2\)
\(x = 6\) هو حل المعادلة المعطاة.
د) \(0.2x = 1\)
\(x = \dfrac{1}{0.2}\)، قسمة كلا الطرفين على 0.2
\(x = 5\)
هـ) \(3x + 6 = 12\)
\(3x = 12 - 6 = 6\)، طرح 6 من كلا الطرفين
\(x = \dfrac{6}{3} = 2\)، القسمة على 3
و) \(3(x + 2) + 2 = 8\)
\(3(x + 2) = 8 - 2 = 6\)، طرح 2 من كلا الطرفين
\(x + 2 = \dfrac{6}{3} = 2\)، القسمة على 3
\(x = 2 - 2 = 0\)، طرح 2
يوجد \(n\) صندوقاً في حقيبة كبيرة و \(m\) لعبة في كل صندوق. ما هو العدد الإجمالي للألعاب في الحقيبة؟
لإيجاد الإجمالي، اضرب عدد الصناديق في عدد الألعاب في كل صندوق:
$$\text{إجمالي الألعاب} = n \times m = nm$$
أعد كتابة التعبير \(a \times a \times a - b \times b\) باستخدام الأسس.
ضرب المتغير في نفسه يتم التعبير عنه باستخدام الأس:
$$a \times a \times a = a^3$$
$$b \times b = b^2$$
التعبير هو: $$a^3 - b^2$$
طول مستطيل مُعطى بـ \(x + 2\) وعرضه يساوي 3. اعطِ تعبيرًا مبسطًا لمساحة هذا المستطيل.
مساحة المستطيل هي الطول \(\times\) العرض:
$$\text{المساحة} = 3(x + 2)$$
انشر التعبير:
$$\text{المساحة} = 3x + 6$$
ثلثا طلاب الصف يدرسون الرياضيات والطلاب الثمانية المتبقون لا يدرسون الرياضيات. ما هو العدد الإجمالي للطلاب في هذا الصف؟
إذا كان \(\dfrac{2}{3}\) الصف يدرسون الرياضيات، فإن نسبة الصف الذي لا يدرس الرياضيات هي:
$$1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$$
قيل لنا إن هذا الجزء \(\dfrac{1}{3}\) من الصف يساوي 8 طلاب. ليكن \(T\) العدد الإجمالي للطلاب:
$$\dfrac{1}{3}T = 8$$
$$T = 8 \times 3 = 24$$
يوجد 24 طالباً في المجموع.
تقطع سيارة 60 كيلومتراً في ساعة واحدة. بنفس المعدل، ما هي المسافة التي ستغطيها هذه السيارة في \(x\) ساعة؟
المعدل هو \(60\) كم/س. المسافة هي المعدل مضروباً في الوقت:
$$\text{المسافة} = 60 \times x = 60x \text{ كيلومتراً}$$
قيّم التعبيرات التالية.
أ) \(2^3 + 3^2\)
ب) \(0.1^3\)
ج) \(6 \times \dfrac{2}{3}\)
أ) \(2^3 = 8\) و \(3^2 = 9\):
$$8 + 9 = 17$$
ب) اضرب 0.1 في نفسه ثلاث مرات:
$$0.1 \times 0.1 \times 0.1 = 0.001$$
ج) اضرب العدد الصحيح في البسط واقسم على المقام:
$$\dfrac{6 \times 2}{3} = \dfrac{12}{3} = 4$$
تحتوي حقيبة على ثلاث كرات زجاجية حمراء، وخمس كرات زجاجية زرقاء، وسبع كرات زجاجية خضراء. ما هي نسبة الكرات الزرقاء إلى العدد الإجمالي للكرات؟
أولاً، أوجد العدد الإجمالي للكرات:
$$\text{المجموع} = 3 + 5 + 7 = 15$$
نسبة الكرات الزرقاء إلى المجموع هي:
$$\dfrac{5}{15}$$
بسيط الكسر بقسمة البسط والمقام على 5:
$$\dfrac{1}{3}$$
حل التناسب: \(\dfrac{a}{3} = \dfrac{5}{18}\)
اضرب ضرب تبادلي لإيجاد قيمة \(a\):
$$18a = 3 \times 5$$
$$18a = 15$$
$$a = \dfrac{15}{18}$$
بسط الكسر بقسمة الطرفين على 3:
$$a = \dfrac{5}{6}$$
أي من الأزواج المرتبة التالية يعتبر حلاً للمعادلة \(2x + 3y = 8\)؟
أ) \((0, 0)\)
ب) \((4, 0)\)
ج) \((1, 2)\)
اختبر كل زوج بتعويض قيمتي x و y في المعادلة:
أ) \(2(0) + 3(0) = 0 \neq 8\) (خطأ)
ب) \(2(4) + 3(0) = 8 + 0 = 8\). مهلا! لنتمعن جيداً: \(2(4) = 8\). إذن \((4,0)\) هو حل صحيح بالفعل.
ج) \(2(1) + 3(2) = 2 + 6 = 8\). \((1,2)\) هو أيضاً حل صحيح.
ملاحظة تصحيحية: كلا الزوجين (4,0) و (1,2) هما حلان صحيحان لهذه المعادلة الخطية.
أعِد سرد جميع عوامل الأعداد التالية.
أ) \(4\)
ب) \(12\)
ج) \(50\)
أ) عوامل العدد 4: \(1, 2, 4\)
ب) عوامل العدد 12: \(1, 2, 3, 4, 6, 12\)
ج) عوامل العدد 50: \(1, 2, 5, 10, 25, 50\)
أوجد العامل المشترك الأكبر (GCF) لكل زوج من الأعداد المعطاة.
أ) 6 و 3
ب) 18 و 24
ج) 50 و 60
أ) عوامل 3: 1، 3. عوامل 6: 1، 2، 3، 6. العامل المشترك الأكبر هو 3.
ب) عوامل 18: 1، 2، 3، 6، 9، 18. عوامل 24: 1، 2، 3، 4، 6، 8، 12، 24. العامل المشترك الأكبر هو 6.
ج) عوامل 50: 1، 2، 5، 10، 25، 50. عوامل 60: 1، 2، 3، 4، 5، 6، 10، 12، 15، 20، 30، 60. العامل المشترك الأكبر هو 10.
اكتب العدد "ستمائة واثنان وسبعون مليونًا ومئتان وتسعة وخمسون" باستخدام الأرقام 0، 1، 2، ...9.
قسّمه حسب الفترات:
اجمعها معاً: 672,000,259
أي من التعبيرات التالية متكافئة؟
أ) \(2(x + 3) - 2\)
ب) \(2x + 4\)
ج) \(3(x + 3) - x - 5\)
بسّط التعبيرين أ وجـ لمقارنتهما بـ ب:
أ) \(2(x + 3) - 2 = 2x + 6 - 2 = 2x + 4\)
ج) \(3(x + 3) - x - 5 = 3x + 9 - x - 5 = 2x + 4\)
جميع التعبيرات الثلاثة (أ، ب، وجـ) تبسط إلى \(2x + 4\)، لذا فهي متكافئة جميعها.
أوجد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لكل زوج من الأعداد المعطاة.
أ) 2 و 3
ب) 7 و 14
ج) 25 و 15
أ) مضاعفات 2: 2، 4، 6... مضاعفات 3: 3، 6... المضاعف المشترك الأصغر هو 6.
ب) مضاعفات 7: 7، 14، 21... بما أن 14 مضاعف لـ 7، فإن المضاعف المشترك الأصغر هو 14.
ج) مضاعفات 25: 25، 50، 75، 100... مضاعفات 15: 15، 30، 45، 60، 75... المضاعف المشترك الأصغر هو 75.
اجمع و/أو اطرح وبسّط.
أ) \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}\)
ب) \(\dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{7}\)
أ) المقامات متساوية، لذا اجمع البسطين:
$$\dfrac{1 + 2}{3} = \dfrac{3}{3} = 1$$
ب) أوجد مقاماً مشتركاً (35):
$$\dfrac{2 \times 7}{5 \times 7} - \dfrac{1 \times 5}{7 \times 5} = \dfrac{14}{35} - \dfrac{5}{35} = \dfrac{9}{35}$$
ما هو \(\dfrac{2}{3}\) العدد 21؟
اضرب الكسر في العدد الصحيح:
$$\dfrac{2}{3} \times 21 = \dfrac{2 \times 21}{3} = \dfrac{42}{3} = 14$$
طريقة بديلة: اقسم 21 على 3 للحصول على 7، ثم اضرب في 2 لتحصل على 14.
ما هي نسبة 40% من \(\dfrac{1}{4}\)؟
حوّل 40% إلى كسر أو عدد عشري. 40% = \(\dfrac{40}{100} = \dfrac{2}{5}\).
الآن اضرب في \(\dfrac{1}{4}\):
$$\dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{20}$$
بسط الكسر:
$$\dfrac{1}{10}$$ (أو \(0.1\))
ما هي نسبة 20% من 50%؟
حوّل النسب المئوية إلى أعداد عشرية أو كسور:
20% = 0.20
50% = 0.50
اضربهما معاً:
$$0.20 \times 0.50 = 0.10$$
حوّل مرة أخرى إلى نسبة مئوية: 0.10 = 10%.
كم ثانية توجد في ساعة واحدة؟
توجد 60 دقيقة في الساعة، و 60 ثانية في الدقيقة. اضرب لإيجاد إجمالي الثواني:
$$60 \times 60 = 3,600 \text{ ثانية}$$
كم دقيقة توجد في شهر يناير (كانون الثاني)؟
يحتوي شهر يناير على 31 يوماً. توجد 24 ساعة في اليوم، و 60 دقيقة في الساعة.
$$\text{إجمالي الدقائق} = 31 \times 24 \times 60$$
$$31 \times 1,440 = 44,640 \text{ دقيقة}$$
ما هو موقع كل من النقطتين: \((-2, 0)\)، \((0, 3)\) و \((-2, -3)\) في المستوى الإحداثي؟
رتب الأعداد \(\dfrac{7}{5}\)، \(\dfrac{12}{10}\)، \(\dfrac{21}{20}\) و 111% من الأصغر إلى الأكبر.
حوّل جميع القيم إلى أعداد عشرية لسهولة المقارنة:
الآن رتب الأعداد العشرية من الأصغر إلى الأكبر: \(1.05 < 1.11 < 1.20 < 1.40\).
الاستبدال بالقيم الأصلية يعطي:
\(\dfrac{21}{20}\) ، 111% ، \(\dfrac{12}{10}\) ، \(\dfrac{7}{5}\)