المعادلات في متغيّر واحد - الصف السادس

المعادلة في الرياضيات هي عبارة تنص على تساوي تعبيرين رياضيين. لذلك، يجب أن تحتوي المعادلة على علامة التساوي (=).

من القائمة المعطاة، فقط التعبيرات التالية تحتوي على علامة تساوي وبالتالي تعتبر معادلات:

• ب) \(x + 2 = 4\)
• ج) \(8 = x\)
• هـ) \(\dfrac{x - 8}{3} = 9\)

البقية (أ، د، و) عبارة عن تعبيرات رياضية فقط.

وفقاً للتعريف، يجب أن تحتوي المعادلة على علامة تساوي. التعبيرات التالية ليست معادلات (فهي تعبيرات جبرية أو عددية):

• أ) \(3x - 9\)
• د) \(8 \times x\)

ملاحظة: الخيار ج (\(12 - 7 = 5\)) هو معادلة عددية، والخياران ب وهـ فهما معادلتان جبريتان.

نختبر قيم \(x\) بتعويضها في المعادلة \(\;2x - 4 = 4\; \) ومقارنة الطرفين.

• اختبار \(x = 0\):
  الطرف الأيمن (أو الأيسر): \(2(0) - 4 = -4\)
  الطرف الآخر: \(4\)
  \(-4 \neq 4\) ← ليست حلاً.
• اختبار \(x = 4\):
  الطرف الأيمن (أو الأيسر): \(2(4) - 4 = 8 - 4 = 4\)
  الطرف الآخر: \(4\)
  \(4 = 4\) ← \(x = 4\) هو الحل الصحيح.

نتحقق من القيم التي تحقق \(\dfrac{x}{3} - 1 = 2\):

• أ) \(x = -3\): الطرف الأيمن = \(\dfrac{-3}{3} - 1 = -1 - 1 = -2\). الطرف الأيسر = \(2\). ليس حلاً.
• ب) \(x = 6\): الطرف الأيمن = \(\dfrac{6}{3} - 1 = 2 - 1 = 1\). الطرف الأيسر = \(2\). ليس حلاً.
• ج) \(x = -9\): الطرف الأيمن = \(\dfrac{-9}{3} - 1 = -3 - 1 = -4\). الطرف الأيسر = \(2\). ليس حلاً.
• د) \(x = 9\): الطرف الأيمن = \(\dfrac{9}{3} - 1 = 3 - 1 = 2\). الطرف الأيسر = \(2\). هذا هو الحل الصحيح.

لحل أي معادلة، نقوم بعزل \(x\) بتطبيق العملية العكسية على كلا طرفي علامة التساوي:

1. \(x - 6 = 12\)
   أضف 6 إلى الطرفين: \(x = 12 + 6 \Rightarrow \mathbf{x = 18}\)
2. \(3 = x + 3\)
   اطرح 3 من الطرفين: \(3 - 3 = x \Rightarrow \mathbf{x = 0}\)
3. \(2 + x = 8\)
   اطرح 2 من الطرفين: \(x = 8 - 2 \Rightarrow \mathbf{x = 6}\)
4. \(2x = 16\)
   اقسم الطرفين على 2: \(x = \dfrac{16}{2} \Rightarrow \mathbf{x = 8}\)
5. \(\dfrac{x}{3} = 5\)
   اضرب الطرفين في 3: \(x = 5 \times 3 \Rightarrow \mathbf{x = 15}\)

نحل كلتا المعادلتين في كل زوج ونقارن حلولهما:

1. \(x = 2\) و \(2x = 4\) (التي تبسط إلى \(x=2\))
   نفس الحلول.
2. \(x + 3 = 6 \Rightarrow x = 3\)
   \(x + 4 = 8 \Rightarrow x = 4\)
   حلول مختلفة.
3. \(\dfrac{x}{2} = 2 \Rightarrow x = 4\)
   \(x = -4\)
   حلول مختلفة.
4. \(3x = 9 \Rightarrow x = 3\)
   \(x + 1 = 4 \Rightarrow x = 3\)
   نفس الحلول.

الزوجان (أ) و (د) لهما نفس الحلول.

أنشئ المعادلة: \(2x + 6 = 12\)

اطرح 6 من الطرفين: \(2x = 6\)

اقسم على 2: \(\mathbf{x = 3}\)

التحقق: \(2(3) + 6 = 6 + 6 = 12\) ✔

أنشئ المعادلة: \(4x + 6 = 2 + 12\)

بسّط الطرف الأيمن: \(4x + 6 = 14\)

اطرح 6 من الطرفين: \(4x = 8\)

اقسم على 4: \(\mathbf{x = 2}\)

التحقق: \(4(2) + 6 = 8 + 6 = 14\) و \(2 + 12 = 14\) ✔

ترجم كلمة "مجموع" إلى جمع: \(d + 23 = 56\)

اطرح 23 من الطرفين: \(d = 56 - 23\)

\(\mathbf{d = 33}\)

ترجم عبارة "طرح من" بعناية (العدد 7 ياتي بعد \(x\)): \(x - 7 = 41\)

أضف 7 إلى الطرفين: \(x = 41 + 7\)

\(\mathbf{x = 48}\)

ترجم كلمة "حاصل ضرب" إلى ضرب: \(6y = 36\)

اقسم الطرفين على 6: \(y = \dfrac{36}{6}\)

\(\mathbf{y = 6}\)

ترجم إلى معادلة: \(\dfrac{b}{5} = 4\)

اضرب الطرفين في 5: \(b = 4 \times 5\)

\(\mathbf{b = 20}\)

أنشئ المعادلة التي تمثل إجمالي بطاقاتهم: \(x + 23 = 121\)

اطرح 23 من الطرفين: \(x = 121 - 23\)

\(\mathbf{x = 98}\) (لدى جاكي 98 بطاقة)

ليكن \(c\) مساهمة توبي. أنشئ المعادلة: \(34 + 45 + c = 123\)

بسّط الثوابت في الطرف الأيمن: \(79 + c = 123\)

اطرح 79 من الطرفين: \(c = 123 - 79\)

\(\mathbf{c = 44}\) (ساهم توبي بمبلغ 44 دولاراً)