إيجاد العوامل والمضاعفات للأعداد الصحيحة - الصف السادس

العوامل

القسمة والضرب عمليتان مترابطتان.

• عملية القسمة \(6 \div 3 = 2\) (بحيث يكون الباقي مساوياً لـ 0) يمكن كتابتها على شكل ضرب: \(6 = 2 \times 3\)
• عملية القسمة \(15 \div 3 = 5\) (بحيث يكون الباقي مساوياً لـ 0) يمكن كتابتها على شكل ضرب: \(15 = 5 \times 3\)
• عملية الضرب \(10 = 2 \times 5\) يمكن كتابتها على شكل قسمة: \(10 \div 5 = 2\) (بحيث يكون الباقي مساوياً لـ 0)
• عملية الضرب \(18 = 6 \times 3\) يمكن كتابتها على شكل قسمة: \(18 \div 3 = 6\) (بحيث يكون الباقي مساوياً لـ 0)

أمثلة

• 1) \(6 = 1 \times 6\) ؛ \(6 = 2 \times 3\). الأعداد 1، 2، 3 و 6 تسمى عوامل العدد 6.
• 2) \(12 = 12 \times 1 = 3 \times 4 = 6 \times 2\). الأعداد 1، 2، 3، 4، 6 و 12 تسمى عوامل العدد 12.
• 3) \(20 = 1 \times 20 = 2 \times 10 = 2 \times 2 \times 5 = 4 \times 5\). الأعداد 1، 2، 4، 5، 10 و 20 تسمى عوامل العدد 20.

مثال: إيجاد جميع عوامل العدد 30

اقسم العدد 30 على جميع الأعداد بدءاً من 1 وحدد عملية القسمة التي تعطي باقياً مساوياً لـ 0 ثم اكتب العوامل.

• \(30 \div 1 = 30\) الباقي 0 أو \(30 = 30 \times 1\). إذن 1 و 30 عاملان.
• \(30 \div 2 = 15\) الباقي 0 أو \(30 = 15 \times 2\). إذن كل من 2 و 15 عاملان.
• \(30 \div 3 = 10\) الباقي 0 أو \(30 = 10 \times 3\). إذن كل من 3 و 10 عاملان.
• \(30 \div 4 = 7\) والباقي 2. العدد 4 ليس عاملاً.
• \(30 \div 5 = 6\) الباقي 0 أو \(30 = 6 \times 5\). إذن كل من 5 و 6 عاملان.

نتوقف هنا لأن جميع العوامل الأكبر من 5 قد تم إيجادها بالفعل. عوامل العدد 30 هي: 1، 2، 3، 5، 6، 10، 15، 30.

المضاعفات

خذ عدداً صحيحاً واضربه في 1، 2، 3، 4، ... للحصول على المضاعفات كما يلي:

• \(5 \times 1 = 5\)
• \(5 \times 2 = 10\)
• \(5 \times 3 = 15\)
• \(5 \times 4 = 20\)

نواتج ضرب العدد 5 في 1، 2، 3، 4، ... وهي 5، 10، 15، 20، ... تسمى مضاعفات العدد 5.

أجب عن الأسئلة التالية

1. أي من العبارات التالية صحيح (TRUE) وأي منها خطأ (FALSE)؟ اشرح إجابتك.
   1. قسمة العدد 4 على 2 تساوي 2 مع باقي لا يساوي صفر.
   2. العدد 3 عامل للعدد 9.
   3. العددين 5 و 3 هما عاملان للعدد 15.
   4. العدد 3 عامل للعدد 7.
   5. قسمة 10 على 10 تعطي باقياً يساوي 0.
   6. العدد 16 عامل للعدد 16.
   7. العدد 1 عامل لجميع الأعداد الصحيحة.
   8. أي عدد صحيح أكبر من 1 له عاملان على الأقل.
2. جد جميع عوامل الأعداد الصحيحة أدناه.
   1. 2
   2. 6
   3. 10
   4. 24
3. أي من الأعداد التالية يعتبر عاملاً للعدد 120؟
   1. 2
   2. 5
   3. 10
   4. 11
   5. 20
   6. 30
   7. 50
4. أوجد ورتّب من الأصغر إلى الأكبر جميع عوامل العدد 12 وجميع عوامل العدد 24. جد جميع العوامل المشتركة (المتماثلة) بين 12 و 24.
5. أوجد أول 5 مضاعفات لكل من الأعداد أدناه.
   1. 2
   2. 11
   3. 25
6. أوجد أول 5 مضاعفات للعددين 6 و 8. وجد مضاعفاً مشتركاً (متماثلاً) بين كل من 6 و 8.

حلول المسائل السابقة

1. العبارات الصحيحة والخاطئة

   1. خطأ (FALSE): \(4 \div 2 = 2\) مع الباقي 0.
   2. صحيح (TRUE): \(9 = 3 \times 3\).
   3. صحيح (TRUE): \(15 = 5 \times 3\).
   4. خطأ (FALSE): لا يوجد عدد صحيح \(N\) يحقق \(7 = 3 \times N\).
   5. صحيح (TRUE): \(10 \div 10 = 1\) مع باقي يساوي 0.
   6. صحيح (TRUE): \(16 = 16 \times 1\).
   7. صحيح (TRUE): \(N = N \times 1\).
   8. صحيح (TRUE): \(N = N \times 1\)، مما يعني أن له عاملين على الأقل: 1 و \(N\) (نفسه).

2. إيجاد جميع العوامل

   1. عوامل العدد 2:

      \(2 \div 1 = 2\) مع الباقي 0، أو \(2 = 2 \times 1\). إذن عوامل العدد 2 هي 1 و 2.

   2. عوامل العدد 6:

      \(6 \div 1 = 6\) مع الباقي 0، أو \(6 = 6 \times 1\). العاملان هما 1 و 6.

      \(6 \div 2 = 3\) مع الباقي 0، أو \(6 = 3 \times 2\). العاملان هما 2 و 3.

      بما أن جميع العوامل الأكبر من 2 وُجدت، نتوقف عن عملية القسمة ونكتب قائمة عوامل العدد 6: 1، 2، 3 و 6.

   3. عوامل العدد 10:

      \(10 \div 1 = 10\) مع الباقي 0، أو \(10 = 10 \times 1\). العاملان 1 و 10.

      \(10 \div 2 = 5\) مع الباقي 0، أو \(10 = 5 \times 2\). العاملان 2 و 5.

      \(10 \div 3 = 3\) والباقي 1؛ العدد 3 ليس عاملاً لـ 10.

      \(10 \div 4 = 2\) والباقي 2؛ العدد 4 ليس عاملاً لـ 10.

      بما أن جميع العوامل الأكبر من 4 وُجدت، نتوقف ونكتب قائمة عوامل 10: 1، 2، 5 و 10.

   4. عوامل العدد 24:

      \(24 \div 1 = 24\) مع الباقي 0، أو \(24 = 24 \times 1\). العاملان 1 و 24.

      \(24 \div 2 = 12\) مع الباقي 0، أو \(24 = 12 \times 2\). العاملان 2 و 12.

      \(24 \div 3 = 8\) مع الباقي 0، أو \(24 = 8 \times 3\). العاملان 3 و 8.

      \(24 \div 4 = 6\) مع الباقي 0، أو \(24 = 6 \times 4\). العاملان 4 و 6.

      \(24 \div 5 = 4\) والباقي 4؛ لا يوجد عوامل.

      بما أن جميع العوامل الأكبر من 5 وُجدت، نتوقف ونكتب قائمة عوامل 24: 1، 2، 3، 4، 6، 8، 12 و 24.

3. عوامل العدد 120

   نقسم 120 على كل عدد من الأعداد في القائمة. إذا كان الباقي مساوياً لصفر، فإن القاسم (العدد الموجود في القائمة) يعتبر عاملاً للعدد 120.

   • \(120 \div 2 = 60\) مع الباقي 0، العدد 2 عامل لـ 120.
   • \(120 \div 5 = 24\) مع الباقي 0، العدد 5 عامل لـ 120.
   • \(120 \div 10 = 12\) مع الباقي 0، العدد 10 عامل لـ 120.
   • \(120 \div 11 = 10\) مع الباقي 10، العدد 11 ليس عاملاً لـ 120.
   • \(120 \div 20 = 6\) مع الباقي 0، العدد 20 عامل لـ 120.
   • \(120 \div 30 = 4\) مع الباقي 0، العدد 30 عامل لـ 120.
   • \(120 \div 50 = 2\) مع الباقي 20، العدد 50 ليس عاملاً لـ 120.

   في القائمة المعطاة، جميعها عوامل للعدد 120 ما عدا 11 و 50.

4. عوامل 12 و 24

   نجد أولاً جميع عوامل العدد 12:

   • \(12 \div 1 = 12\) مع الباقي 0، 1 و 12 عاملان لـ 12.
   • \(12 \div 2 = 6\) مع الباقي 0، 2 و 6 عاملان لـ 12.
   • \(12 \div 3 = 4\) مع الباقي 0، 3 و 4 عاملان لـ 12.

   بما أن جميع العوامل الأكبر من 3 وُجدت، نتوقف ونكتب قائمة عوامل العدد 12: 1، 2، 3، 4، 6 و 12.

   عوامل العدد 24 وُجدت في حل السؤال (2) الفقرة (د) وهي: 1، 2، 3، 4، 6، 8، 12 و 24.

   العوامل المشتركة للعددين 12 و 24 هي: 1، 2، 3، 4، 6 و 12.

5. أول 5 مضاعفات

   نحصل على أول 5 مضاعفات لعدد ما بضرب ذلك العدد في 1، 2، 3، 4 و 5.

   1. مضاعفات العدد 2:

      \(2 \times 1 = 2\) ؛ \(2 \times 2 = 4\) ؛ \(2 \times 3 = 6\) ؛ \(2 \times 4 = 8\) ؛ \(2 \times 5 = 10\)

   2. مضاعفات العدد 11:

      \(11 \times 1 = 11\) ؛ \(11 \times 2 = 22\) ؛ \(11 \times 3 = 33\) ؛ \(11 \times 4 = 44\) ؛ \(11 \times 5 = 55\)

   3. مضاعفات العدد 25:

      \(25 \times 1 = 25\) ؛ \(25 \times 2 = 50\) ؛ \(25 \times 3 = 75\) ؛ \(25 \times 4 = 100\) ؛ \(25 \times 5 = 125\)

6. مضاعفات 6 و 8

   نحصل على أول 5 مضاعفات للعددين 6 و 8 بضرب كل منهما في 1، 2، 3، 4 و 5.

   1. أول 5 مضاعفات للعدد 6 هي:

      \(6 \times 1 = 6\) ؛ \(6 \times 2 = 12\) ؛ \(6 \times 3 = 18\) ؛ \(6 \times 4 = 24\) ؛ \(6 \times 5 = 30\)

   2. أول 5 مضاعفات للعدد 8 هي:

      \(8 \times 1 = 8\) ؛ \(8 \times 2 = 16\) ؛ \(8 \times 3 = 24\) ؛ \(8 \times 4 = 32\) ؛ \(8 \times 5 = 40\)

   العدد 24 هو مضاعف مشترك لكل من 6 و 8.

المراجع وروابط مفيدة

• رياضيات المرحلة المتوسطة (الصفوف 6، 7، 8، 9) - أسئلة ومسائل مجانية مع الإجابات
• رياضيات المرحلة الثانوية (الصفوف 10، 11 و 12) - أسئلة ومسائل مجانية مع الإجابات
• رياضيات المرحلة الأساسية (الصفوف 4 و 5) مع أسئلة ومسائل مجانية مع الإجابات