مسائل رياضيات مع الحلول - الصف السادس

اتبع قاعدة المتتابعة خطوة بخطوة:

• العدد الأول: 2
• العدد الثاني: \(2 \times 3 + 2 = 8\)
• العدد الثالث: \(8 \times 3 + 2 = 26\)
• العدد الرابع: \(26 \times 3 + 2 = 80\)
• العدد الخامس: \(80 \times 3 + 2 = 242\)

العدد الخامس هو 242.

أولاً، احسب المساحة الأصلية للمقوى:

\[ \text{Area} = \text{length} \times \text{width} = 12 \times 8 = 96 \text{ cm}^2 \]

بعد ذلك، أوجد مساحة أحد المربعات المقصوصة من الركن:

\[ \text{Area} = 2 \times 2 = 4 \text{ cm}^2 \]

بما أن هناك أربعة أركان، فإن المساحة الإجمالية المزالة هي:

\[ 4 \times 4 = 16 \text{ cm}^2 \]

اطرح المساحة المزالة من المساحة الأصلية لإيجاد المساحة المتبقية:

\[ 96 - 16 = \mathbf{80 \text{ cm}^2} \]

حاصل ضرب أي عددين صحيحين يساوي دائماً حاصل ضرب المضاعف المشترك الأصغر (LCM) والقاسم المشترك الأكبر (GCF) لهما. لذلك:

\[ 16 \times N = 48 \times 8 \]

للحل من أجل \( N \):

\[ N = \dfrac{48 \times 8}{16} = 3 \times 8 = \mathbf{24} \]

أولاً، اكتب تحليل العوامل الأولية لكل عدد:

• \( 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3 \)
• \( 40 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 5 \)
• \( 60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5 \)

حدّد العوامل الأولية المشتركة بأصغر الأسس. العامل الأولي المشترك الوحيد بين الأعداد الثلاثة هو 2، وأصغر أس لـ 2 مشترك بين الثلاثة هو \(2^2\).

\[ \text{GCF} = 2^2 = \mathbf{4} \]

أ) نسبة الفتيات إلى الأولاد:

\[ \dfrac{260}{240} \]

بسط الكسر بقسمة البسط والمقام على 20: \( \dfrac{13}{12} \). النسبة هي 13:12.

ب) نسبة الأولاد إلى إجمالي الطلاب:

إجمالي الطلاب = \( 240 + 260 = 500 \).

\[ \dfrac{240}{500} \]

بسط الكسر بقسمة البسط والمقام على 20: \( \dfrac{12}{25} \). النسبة هي 12:25.

الإكرامية تبلغ 20% مما دفعه مقابل الغداء. احسب الإكرامية:

\[ \text{Tip} = 20\% \text{ of } 50.50 = \left( \dfrac{20}{100} \right) \times 50.50 = 10.10 \]

أضف الإكرامية إلى تكلفة الغداء الأصلية:

\[ \text{Total} = 50.50 + 10.10 = \mathbf{\$60.60} \]

القسمة ترتبط ارتباطاً وثيقاً بالضرب. يمكن إعادة كتابة المعادلة على شكل ضرب:

\[ 64 = 4k \]

أعد كتابة عملية الضرب هذه على شكل قسمة للحل من أجل \( k \):

\[ k = \dfrac{64}{4} = \mathbf{16} \]

عوض بـ \( y = 3 \) في المعادلة:

\[ x + 2(3) = 10 \]

\[ x + 6 = 10 \]

اطرح 6 من الطرفين لعزل \( x \):

\[ x = \mathbf{4} \]

تتكون التكلفة \( C \) من رسوم أولية ثابتة ($0.50 دولاراً) ومعدل متغير ($0.11 دولاراً مضروباً في عدد الدقائق، \( N \)).

\[ C = \mathbf{0.50 + 0.11N} \]

لكل 40 كيلومتراً، يلزم جالون واحد. اقسم المسافة الإجمالية على المسافة لكل جالون لإيجاد عدد أجزاء الـ 40 كم:

\[ \dfrac{180}{40} = 4.5 \]

ستحتاج السيارة إلى 4.5 جالون من البنزين.

أولاً، أوجد عدد مجموعات الـ 150 زجاجة التي تتسع في 675:

\[ \dfrac{675}{150} = 4.5 \text{ groups} \]

بما أن كل مجموعة تتطلب 8 دقائق، اضرب عدد المجموعات في 8:

\[ 4.5 \times 8 = \mathbf{36 \text{ minutes}} \]

استخدم قانون المسافة:

\[ \text{Distance} = \text{Time} \times \text{Speed} \]

\[ \text{Distance} = 5 \times 65 = \mathbf{325 \text{ miles}} \]

بما أن المستطيلين متشابهان، فإن نسبة ضلعيهما المتناظرين متساوية:

\[ \dfrac{L_2}{L_1} = \dfrac{W_2}{W_1} \]

\[ \dfrac{30}{10} = \dfrac{W_2}{5} \]

\[ 3 = \dfrac{W_2}{5} \quad \Rightarrow \quad W_2 = 15 \text{ cm} \]

الآن أوجد مساحة المستطيل \( B \):

\[ \text{Area}_B = 30 \times 15 = \mathbf{450 \text{ cm}^2} \]

ليكن \( x \) هو عدد الطلاب المسجلين في الفصل الواحد. نحتاج إلى التعبير عن الطلاب الغائبين ككسور من \( x \):

• 5 classes are half full (meaning \( \frac{1}{2} \) absent): \( 5 \times \left(\dfrac{1}{2}x\right) = \dfrac{5}{2}x \)
• 3 classes are \( \frac{3}{4} \) full (meaning \( \frac{1}{4} \) absent): \( 3 \times \left(\dfrac{1}{4}x\right) = \dfrac{3}{4}x \)
• 2 classes have \( \frac{1}{8} \) absent: \( 2 \times \left(\dfrac{1}{8}x\right) = \dfrac{2}{8}x = \dfrac{1}{4}x \)

اجعل مجموع الغيابات مساوياً لـ 70:

\[ \dfrac{5}{2}x + \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{4}x = 70 \]

أوجد مقامهما المشترك (4):

\[ \dfrac{10}{4}x + \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{4}x = \dfrac{14}{4}x = \dfrac{7}{2}x = 70 \]

حل من أجل \( x \):

\[ x = 70 \times \dfrac{2}{7} = 20 \text{ students per class} \]

بما أن هناك 10 فصول، فإن إجمالي عدد الطلاب المسجلين هو \( 10 \times 20 = \mathbf{200 \text{ students}} \).

توجد مربعات بأربعة أبعاد مختلفة. نحسبها بشكل منتظم:

• 16 squares of dimension \( 1 \times 1 \).
• 9 squares of dimension \( 2 \times 2 \).
• 4 squares of dimension \( 3 \times 3 \).
• 1 square of dimension \( 4 \times 4 \).

Total number of squares = \( 16 + 9 + 4 + 1 = \mathbf{30} \)

ليكن \( x \) عدد الطوابع التي بدأ بها جون.

Jim received: \( \dfrac{1}{2}x \)

Carla received: \( \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{1}{2}x\right) = \dfrac{1}{4}x \)

أعطت كارلا \( \frac{1}{4} \) منها، مما يعني أنها احتفظت بـ \( \frac{3}{4} \) مما تلقته:

\[ \text{Carla kept} = \dfrac{3}{4} \times \left(\dfrac{1}{4}x\right) = \dfrac{3}{16}x \]

قيل لنا إنها احتفظت بـ 12 طابعاً. إذن:

\[ \dfrac{3}{16}x = 12 \]

\[ x = 12 \times \dfrac{16}{3} = \mathbf{64 \text{ stamps}} \]

أولاً، أوجد الوقت الذي تستغرقه كل كرة لعمل دورة كاملة واحدة.

Ball A: \( \dfrac{120}{4} = 30 \text{ seconds per rotation} \)

Ball B: \( \dfrac{60}{3} = 20 \text{ seconds per rotation} \)

ستلتقيان عند نقطة البداية عند المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لأوقات دوراتهما.

\[ \text{LCM}(30, 20) = \mathbf{60 \text{ seconds}} \]

إذا قُسمت قطعة طولها 3 وحدات إلى 9 أجزاء متساوية، فإن طول الجزء الواحد هو:

\[ 1 \text{ part} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3} \text{ of a unit} \]

لذلك، فإن جزأين يعادلان:

\[ 2 \times \dfrac{1}{3} = \mathbf{\dfrac{2}{3} \text{ of a unit}} \]

حوّل الكيلومترات إلى أمتار والساعات إلى دقائق:

\[ 1 \text{ kilometer} = 1000 \text{ meters} \]

\[ 1 \text{ hour} = 60 \text{ minutes} \]

الآن، طبق التحويلات على السرعة:

\[ 75 \text{ km/h} = \dfrac{75 \times 1000 \text{ meters}}{60 \text{ minutes}} \]

\[ = \dfrac{75000}{60} = \mathbf{1250 \text{ meters per minute}} \]

ليكن \( x \) إجمالي مدخراتها. إذا أنفقت \( \frac{3}{4} \) مدخراتها، بقي لديها \( \frac{1}{4} \).

أنفقت نصف هذا المتبقي على ثلاجة، والتي كلفتها $150 دولاراً:

\[ \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{1}{4}x\right) = 150 \]

\[ \dfrac{1}{8}x = 150 \]

اضرب الطرفين في 8:

\[ x = 150 \times 8 = \mathbf{\$1200} \]

ليكن \( x \) طول ضلع المربع A و \( y \) طول ضلع المربع B. محيطاهما هما \( 4x \) و \( 4y \).

\[ 4x = 3(4y) \quad \Rightarrow \quad 4x = 12y \quad \Rightarrow \quad x = 3y \]

نسبة مساحتيهما هي:

\[ \dfrac{\text{Area}_A}{\text{Area}_B} = \dfrac{x^2}{y^2} \]

عوض بـ \( x = 3y \):

\[ \dfrac{(3y)^2}{y^2} = \dfrac{9y^2}{y^2} = \mathbf{9} \] (The ratio is 9:1).

سيكون ارتفاع الصندوق هو حجم المربع المقصوص (\( 3 \text{ cm} \)).

الطول الجديد هو الطول الأصلي مطروحاً منه المربعين المقصوصين من كل جانب:

\[ \text{Length} = 15 - 3 - 3 = 9 \text{ cm} \]

العرض الجديد هو العرض الأصلي مطروحاً منه المربعين المقصوصين من كل جانب:

\[ \text{Width} = 10 - 3 - 3 = 4 \text{ cm} \]

احسب الحجم:

\[ V = \text{length} \times \text{width} \times \text{height} = 9 \times 4 \times 3 = \mathbf{108 \text{ cm}^3} \]

أوجد المساحة الإجمالية للمستطيل الأصلي:

\[ A_{\text{rect}} = \text{length} \times \text{width} = 20 \times 10 = 200 \]

أوجد مساحة المربع الصغير المراد قصه:

\[ A_{\text{square}} = (2x) \times (2x) = 4x^2 \]

المساحة المتبقية هي مساحة المستطيل مطروحاً منها مساحة المربع:

\[ \text{Remaining Area} = \mathbf{200 - 4x^2} \]

مساحة الدائرة تعطى بالعلاقة \( \pi r^2 \):

\[ \pi r^2 = 81\pi \]

اقسم الطرفين على \( \pi \):

\[ r^2 = 81 \quad \Rightarrow \quad r = 9 \text{ feet} \]

المحيط هو \( 2\pi r \):

\[ C = 2\pi(9) = \mathbf{18\pi \text{ feet}} \]

ليكن عمر بيتر الحالي \( P \). هذا يجعل عمر جيم الحالي \( P - 13 \).

قبل عام واحد، كانت أعمارهم:

• Peter: \( P - 1 \)
• Carla: \( 5 - 1 = 4 \)
• Jim: \( (P - 13) - 1 = P - 14 \)

كوّن المعادلة بناءً على شرط قبل عام واحد:

\[ P - 1 = 2 \times [4 + (P - 14)] \]

\[ P - 1 = 2(P - 10) \]

\[ P - 1 = 2P - 20 \]

اطرح \( P \) وأضف 20 إلى الطرفين:

\[ P = \mathbf{19} \]

بيتر عمره 19 عاماً، جيم عمره 6 سنوات (\(19 - 13\))، وكارلا عمرها 5 سنوات.

اجمع المسافات التي ركضتها بالفعل:

\[ 2.4 + 1.75 = 4.15 \text{ km} \]

اطرح هذا من هدفها الإجمالي:

\[ 6 - 4.15 = \mathbf{1.85 \text{ km}} \]

ليكن مقدار الدقيق \( x \). ضع النسبة:

\[ \dfrac{x}{4} = \dfrac{3}{2} \]

اضرب ضرباً تبادلياً:

\[ 2x = 12 \]

\[ x = \mathbf{6 \text{ cups}} \]

مجموع زوايا المثلث يساوي دائماً \( 180^\circ \). لتكن \( x \) هي الزاوية الثالثة.

\[ x + 47 + 58 = 180 \]

\[ x + 105 = 180 \]

\[ x = 180 - 105 = \mathbf{75^\circ} \]

اطرح 4 من الطرفين:

\[ 3x = 19 - 4 \]

\[ 3x = 15 \]

اقسم على 3:

\[ x = \dfrac{15}{3} = \mathbf{5} \]

ابدأ من \( -4^\circ\text{C} \) وأضف الارتفاع في درجة الحرارة:

\[ -4 + 11 = 7^\circ\text{C} \]

اطرح الانخفاض في درجة الحرارة:

\[ 7 - 6 = \mathbf{1^\circ\text{C}} \]

ليكن السعر الأصلي \( x \). خصم بنسبة 30% يعني أنها دفعت 70% من السعر الأصلي:

\[ 100\% - 30\% = 70\% \]

\[ 0.70x = 84 \]

اقسم على 0.70:

\[ x = \dfrac{84}{0.70} = \mathbf{\$120} \]

بما أنهما يمشيان تجاه بعضهما البعض، فإن سرعتهما المشتركة هي مجموع سرعاتهما الفردية:

\[ \text{Combined Speed} = 40 + 60 = 100 \text{ m/min} \]

الوقت الذي يستغرقانه للقاء هو المسافة مقسومة على سرعتهما المشتركة:

\[ \text{Time} = \dfrac{2500}{100} = 25 \text{ minutes} \]

يجري الكلب بشكل مستمر طوال تلك الـ 25 دقيقة بسرعة 120 متراً في الدقيقة. المسافة الإجمالية التي يقطعها الكلب هي:

\[ \text{Distance} = 120 \text{ m/min} \times 25 \text{ min} = \mathbf{3000 \text{ meters}} \]