أسئلة ومسائل في الجبر للصف السابع مع الحلول

عوض عن كل متغير بقيمته العددية المعطاة، طبق ترتيب العمليات، وبسّط.

1. أ) \(12 (-1)^3 + 5 (-1)^2 + 4 (-1) - 6 = 12(-1) + 5(1) - 4 - 6 = -12 + 5 - 4 - 6 = \mathbf{-17}\)
2. ب) \(2 (2)^2 + 3 (-2)^3 - 10 = 2(4) + 3(-8) - 10 = 8 - 24 - 10 = \mathbf{-26}\)
3. ج) \(\dfrac{-2(2) - 1}{2 + 3} = \dfrac{-4 - 1}{5} = \dfrac{-5}{5} = \mathbf{-1}\)
4. د) \(2 + 2|(-4) - 4| = 2 + 2|-8| = 2 + 2 \times 8 = 2 + 16 = \mathbf{18}\)

استخدم قانون التوزيع \(a(b + c) = ab + ac\) لفك الأقواس، ثم تجميع الحدود المتشابهة.

1. أ) \(-2(x - 8) + 3(x - 7) = -2x + 16 + 3x - 21\)
   \(= (-2x + 3x) + (16 - 21) = \mathbf{x - 5}\)
2. ب) \(2(a + 1) + 5b + 3(a + b) + 3 = 2a + 2 + 5b + 3a + 3b + 3\)
   \(= (2a + 3a) + (5b + 3b) + (2 + 3) = \mathbf{5a + 8b + 5}\)
3. ج) \(a(b + 3) + b(a - 2) + 2a - 5b + 8 = ab + 3a + ba - 2b + 2a - 5b + 8\)
   \(= (ab + ba) + (3a + 2a) + (-2b - 5b) + 8 = \mathbf{2ab + 5a - 7b + 8}\)
4. د) \(\dfrac{1}{2}(4x + 4) + \dfrac{1}{3}(6x + 12) = 2x + 2 + 2x + 4\)
   \(= (2x + 2x) + (2 + 4) = \mathbf{4x + 6}\)
5. هـ) \(4(-x + 2 - 3(x - 2)) = -4x + 8 - 12x + 24\)
   \(= (-4x - 12x) + (8 + 24) = \mathbf{-16x + 32}\)

بسّط باستخدام قواعد الكسور (الجمع، الضرب، والقسمة).

1. أ) \(\dfrac{x}{y} + \dfrac{4}{y} = \mathbf{\dfrac{x + 4}{y}}\)
2. ب) \(\left(\dfrac{2x}{4}\right) \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{2x \times 1}{4 \times 2} = \dfrac{2x}{8} = \mathbf{\dfrac{x}{4}}\)
3. ج) \(\dfrac{3x}{5} \div \dfrac{x}{5} = \dfrac{3x}{5} \times \dfrac{5}{x} = \dfrac{15x}{5x} = \mathbf{3}\)

استخدم قواعد الضرب والقسمة مع الأسس (اجمع الأسس عند ضرب الأساسات المتشابهة، واطرحها عند القسمة).

1. أ) \(3 x^{2} \times 5 x^{3} = (3 \times 5) x^{2 + 3} = \mathbf{15 x^{5}}\)
2. ب) \(\dfrac{(2 y)^4 \cdot 9 x^3}{4 y^4 (3 x)^2} = \dfrac{16 y^4 \cdot 9 x^3}{4 y^4 \cdot 9 x^2} = \dfrac{16 \times 9}{4 \times 9} y^{4 - 4} x^{3 - 2} = \mathbf{4x}\)

أوجد العوامل المشتركة الكبرى (ع.م.ك) وحلل المقادير باستخدام خاصية التوزيع بشكل عكسي.

1. أ) \(9x - 3 = 3 \times 3x - 3 \times 1 = \mathbf{3(3x - 1)}\)
2. ب) \(24x + 18y = 6 \times 4x + 6 \times 3y = \mathbf{6(4x + 3y)}\)
3. ج) \(bx + dx = \mathbf{x(b + d)}\)

حل المعادلات خطوة بخطوة عن طريق إجراء العمليات العكسية لعزل \(x\).

1. أ) \[ \begin{aligned} 2x + 5 &= 11 \\ 2x &= 6 \\ x &= \mathbf{3} \end{aligned} \]
2. ب) \[ \begin{aligned} 3x &= \dfrac{6}{5} \\ 15x &= 6 \quad \text{(ضرب الطرفين في 5)} \\ x &= \dfrac{6}{15} = \mathbf{\dfrac{2}{5}} \end{aligned} \]
3. ج) \[ \begin{aligned} 3(2x + 2) + 2 &= 20 \\ 6x + 6 + 2 &= 20 \\ 6x + 8 &= 20 \\ 6x &= 12 \\ x &= \mathbf{2} \end{aligned} \]

أعد كتابة حاصل ضرب الضرب المتكرر باستخدام الأسس.

\[3 \times a \times a \times a - 5 \times b \times b = \mathbf{3 a^3 - 5 b^2}\]

استخدم قانون المحيط \(P = 2 \times \text{الطول} + 2 \times \text{العرض}\)، عوض بالمقادير ومحيط المستطيل المعطى، وحل المعادلة لإيجاد \(x\).

\[ \begin{aligned} 2(2x + 3) + 2(x + 1) &= 32 \\ 4x + 6 + 2x + 2 &= 32 \\ 6x + 8 &= 32 \\ 6x &= 24 \\ x &= \mathbf{4} \end{aligned} \]

استخدم قانون المساحة \(A = \text{العرض} \times \text{الطول}\)، عوض بالقيم المعروفة، وحل المعادلة.

\[ \begin{aligned} 3(2x - 1) &= 27 \\ 6x - 3 &= 27 \\ 6x &= 30 \\ x &= \mathbf{5} \end{aligned} \]

بما أن 45% ذكور، إذن \( 100\% - 45\% = 55\% \) إناث.

حساب نسبة الإناث إلى الذكور.

\[ \text{النسبة} = \dfrac{55\%}{45\%} = \dfrac{55}{45} = \mathbf{\dfrac{11}{9}} \]

استخدم القانون: \(\text{المسافة} = \text{الزمن} \times \text{السرعة}\).

\[ \begin{aligned} 300 &= 3(x + 30) \\ 300 &= 3x + 90 \\ 210 &= 3x \\ x &= \mathbf{70} \end{aligned} \]

حل التناسب باستخدام الضرب التبادلي.

\[ \begin{aligned} \dfrac{4}{5} &= \dfrac{a}{16} \\ 4 \times 16 &= 5 \times a \\ 64 &= 5a \\ a &= \dfrac{64}{5} = \mathbf{12.8} \end{aligned} \]

عوض بالزوج المرتب \(x = 2\) و \(y = a + 2\) في المعادلة المعطاة وحل لإيجاد \(a\).

\[ \begin{aligned} 2(2) + 2(a + 2) &= 10 \\ 4 + 2a + 4 &= 10 \\ 2a + 8 &= 10 \\ 2a &= 2 \\ a &= \mathbf{1} \end{aligned} \]

اكتب جميع عوامل 25 و 45.

عوامل 25 هي: 1، 5، 25

عوامل 45 هي: 1، 3، 5، 9، 15، 45

العامل المشترك الأكبر للعددين 25 و 45 هو \(5\).

\[ \mathbf{1,234,750,002} \]

ثلاثمائة وثلاثة وتسعون ملياراً، ومائتان وأربعة وثلاثون مليوناً، وأربعة وثلاثون

أوجد أول عدة مضاعفات للعددين 15 و 35 حتى تجد المضاعف المشترك:

مضاعفات 15: \(15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, \ldots\)

مضاعفات 35: \(35, 70, 105, 140, \ldots\)

اختر المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ):

المضاعف المشترك الأصغر هو \(105\).

\(\dfrac{2}{3}\) العدد \(x\) يساوي 30 تكتب رياضياً بالشكل:

\[ \dfrac{2}{3} \times x = 30 \]

اضرب في 3 وبسّط:

\[ 2x = 90 \]

حل لإيجاد \(x\):

\[ x = 90 \div 2 = \mathbf{45} \]

20% من \(\dfrac{1}{3}\) تُكتب كالتالي:

\[ 20\% \times \dfrac{1}{3} \]

استخدم الكسر المكافئ \( 20\% = \dfrac{20}{100} \) للتبسيط:

\[ = \dfrac{20}{100} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{20}{300} = \mathbf{\dfrac{1}{15}} \]

ليكن العدد الأصغر \( x \). إذن العدد الأكبر هو \( x + 17 \).

مجموعهما معطى بـ 69، إذن: \[ x + (x + 17) = 69 \]

تبسيط: \[ 2x + 17 = 69 \]

طرح 17 من الطرفين: \[ 2x = 52 \]

قسمة الطرفين على 2 لإيجاد \( x \): \[ x = 26 \]

إذن العدد الأكبر هو: \[ x + 17 = 26 + 17 = \mathbf{43} \]

حول جميع القيم إلى أعداد عشرية ثم رتبها:

\[ \begin{aligned} \dfrac{12}{5} &= 2.4 \\ 250\% = \dfrac{250}{100} &= 2.5 \\ \dfrac{21}{10} &= 2.1 \\ 2.3 &= 2.3 \end{aligned} \]

الترتيب من الأصغر إلى الأكبر (2.1، 2.3، 2.4، 2.5):

\( \mathbf{\dfrac{21}{10}, 2.3, \dfrac{12}{5}, 250\%} \)

ليكن \( x \)، و \( x + 1 \)، و \( x + 2 \) الأعداد الصحيحة الثلاثة المتتالية.

مجموع الأعداد الثلاثة المتتالية هو 96، إذن:

\[ x + (x + 1) + (x + 2) = 96 \]

تجميع الحدود المتشابهة:

\[ \begin{aligned} 3x + 3 &= 96 \\ 3x &= 93 \\ x &= 31 \end{aligned} \]

العدد الأكبر بين هذه الأعداد هو \( x + 2 \):

\[ x + 2 = 31 + 2 = \mathbf{33} \]

ليكن \(x\) درجة الجغرافيا. ودرجة الكيمياء هي \(2x\). متوسط المقررات الأربعة هو 79:

\[ \dfrac{93 + 88 + x + 2x}{4} = 79 \]

تجميع الحدود المتشابهة في البسط:

\[ \dfrac{3x + 181}{4} = 79 \]

ضرب الطرفين في 4 والتبسيط:

\[ \begin{aligned} 3x + 181 &= 316 \\ 3x &= 135 \\ x &= 45 \end{aligned} \]

درجته في الجغرافيا هي \(x = \mathbf{45}\).

درجته في الكيمياء هي \(2x = 2(45) = \mathbf{90}\).

ليكن \(x\) درجة اللغة الإنجليزية.

درجة الرياضيات هي: \( x + 7 \)

درجة الفيزياء تزيد بـ 5 عن الرياضيات: \( (x + 7) + 5 = x + 12 \).

حصلت ليندا على إجمالي 265 نقطة:

\[ x + (x + 7) + (x + 12) = 265 \]

تجميع الحدود المتشابهة والتبسيط:

\[ \begin{aligned} 3x + 19 &= 265 \\ 3x &= 246 \\ x &= 246 \div 3 = 82 \end{aligned} \]

درجة اللغة الإنجليزية هي \( x = \mathbf{82} \)

درجة الرياضيات هي \( x + 7 = 82 + 7 = \mathbf{89} \)

درجة الفيزياء هي \( x + 12 = 82 + 12 = \mathbf{94} \)

لكل دراجة هوائية عجلتان، لذا فإن عدد الدراجات الهوائية هو:

\[ \dfrac{100}{2} = \mathbf{50} \text{ دراجة هوائية} \]

عدد عجلات السيارات هو الإجمالي ناقص عجلات الدراجات:

\[ 300 - 100 = 200 \text{ عجل سيارات} \]

لكل سيارة 4 عجلات، لذا فإن عدد السيارات هو:

\[ \dfrac{200}{4} = \mathbf{50} \text{ سيارة} \]