تعلم كيفية إجراء الضرب التبادلي لحل المعادلات الجبرية التي تحتوي على كسور وللتحقق مما إذا كان كسران متكافئين. توفر هذه الصفحة أمثلة واضحة، وشروحات خطوة بخطوة، وأسئلة تدريبية مع حلولها التفصيلية لمساعدة الطلاب وأولياء الأمور والمعلمين على إتقان هذه المهارة الرياضية المهمة.
دعنا نعتبر المعادلة:
\[ \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \]
المعادلات التي تحتوي على كسور مثل المعادلة أعلاه تشكل أحياناً تحدياً في حلها بسبب وجود المقامات. دعنا نجد معادلة مكافئة بدون مقامات.
تسمى الطريقة المذكورة أعلاه لتحويل معادلة بها كسور إلى معادلة بدون كسور بـ الضرب التبادلي.
المثال 1: حل المعادلة \[ \dfrac{x}{3} = \dfrac{10}{6} \]
الخطوة 1: استخدم الضرب التبادلي للتخلص من المقامات:
\[ 6 \times x = 3 \times 10 \]
الخطوة 2: اقسم كلا الطرفين على معامل \( x \) (وهو 6):
\[ \dfrac{6 \times x}{6} = \dfrac{30}{6} \]
الخطوة 3: بسّط لإيجاد قيمة \( x \):
\[ x = 5 \]
المثال 2: هل الكسران \( \dfrac{4}{3} \) و \( \dfrac{12}{9} \) متكافئان؟
الخطوة 1: قم بالضرب التبادلي:
\[ 4 \times 9 = 36 \qquad \text{و} \qquad 3 \times 12 = 36 \]
الخطوة 2: قارن النتائج. بما أن الناتجين متساويان، فالكسران متكافئان. وبالتالي، يمكننا أن نكتب:
\[ \dfrac{4}{3} = \dfrac{12}{9} \]
تدور التمارين أدناه حول استخدام الضرب التبادلي لحل المعادلات لإيجاد المتغيرات والتحقق من تكافؤ الكسور.
حل المعادلة: \( \dfrac{x}{6} = \dfrac{3}{2} \)
استخدم الضرب التبادلي لإعادة كتابة المعادلة:
\[ 2 \times x = 3 \times 6 \]
التبسيط:
\[ 2x = 18 \]
قسمة الطرفين على 2:
\[ \frac{2x}{2} = \frac{18}{2} \implies \mathbf{x = 9} \]
حل المعادلة: \( \dfrac{1}{3x} = \dfrac{2}{24} \)
قم بالضرب التبادلي للمقامات والبسوط:
\[ 1 \times 24 = 3x \times 2 \]
التبسيط:
\[ 24 = 6x \]
قسمة الطرفين على 6:
\[ x = \frac{24}{6} \implies \mathbf{x = 4} \]
حل المعادلة: \( \dfrac{3}{2} = \dfrac{12}{4x} \)
استخدم الضرب التبادلي:
\[ 3 \times 4x = 2 \times 12 \]
التبسيط:
\[ 12x = 24 \]
قسمة الطرفين على 12:
\[ x = \frac{24}{12} \implies \mathbf{x = 2} \]
حل المعادلة: \( \dfrac{4}{6} = \dfrac{x}{9} \)
الضرب التبادلي:
\[ 4 \times 9 = 6 \times x \]
التبسيط وحل المعادلة لإيجاد \(x\):
\[ 36 = 6x \implies x = \frac{36}{6} \implies \mathbf{x = 6} \]
حل المعادلة: \( 2 = \dfrac{x}{14} \)
عبر عن العدد 2 ككسر (\(\frac{2}{1}\)) وقم بالضرب التبادلي:
\[ \frac{2}{1} = \frac{x}{14} \]
الضرب التبادلي:
\[ 2 \times 14 = 1 \times x \]
التبسيط:
\[ \mathbf{28 = x} \]
حل المعادلة: \( \dfrac{2}{x+2} = \dfrac{1}{7} \)
الضرب التبادلي:
\[ 2 \times 7 = (x + 2) \times 1 \]
التبسيط وحل المعادلة لإيجاد \(x\):
\[ 14 = x + 2 \]
\[ x = 14 - 2 \implies \mathbf{x = 12} \]
أي من أزواج الكسور التالية متكافئة (متساوية)؟
التعريف: لكي يكون كسران متكافئين، يجب أن تكون كميات الضرب التبادلي لهما متساوية.
أ) \( \dfrac{5}{6} \) و \( \dfrac{15}{18} \)
\( A = 5 \times 18 = 90 \)
\( B = 6 \times 15 = 90 \)
بما أن \(A = B\)، فالكسران متكافئان (\( \frac{5}{6} = \frac{15}{18} \)).
ب) \( \dfrac{5}{3} \) و \( \dfrac{20}{13} \)
\( A = 5 \times 13 = 65 \)
\( B = 3 \times 20 = 60 \)
بما أن \(A \neq B\)، فالكسران غير متكافئين.
ج) \( \dfrac{25}{35} \) و \( \dfrac{5}{7} \)
\( A = 25 \times 7 = 175 \)
\( B = 35 \times 5 = 175 \)
بما أن \(A = B\)، فالكسران متكافئان (\( \frac{25}{35} = \frac{5}{7} \)).
د) \( \dfrac{23}{7} \) و \( \dfrac{46}{17} \)
\( A = 23 \times 17 = 391 \)
\( B = 7 \times 46 = 322 \)
بما أن \(A \neq B\)، فالكسران غير متكافئين.