شرح الأسس في الرياضيات | أمثلة وتمارين للصف السابع

الأسس هي مفهوم أساسي في الرياضيات يوضح عدد المرات التي يتم فيها ضرب عدد ما، يسمى الأساس، في نفسه. ستجد في هذه الصفحة أمثلة رياضيات للصف السابع ومسائل جبرية تتضمن الأسس، إلى جانب حلول واضحة خطوة بخطوة.

تغطي هذه المسائل التدريبية مواضيع مثل كتابة المقادير باستخدام القوى، حساب الأسس، والتبسيط باستخدام قواعد الأسس.

ما هي الأسس في الرياضيات وأين تُستخدم؟

الأسس هي طريقة للتعبير عن الضرب المتكرر لعدد في نفسه. تُكتب الصيغة بالشكل:

\[ \Large{a \times a \times a \times \cdots \times a \quad (n \text{ من المرات}) = a^n} \]

أمثلة من الواقع على الأسس

المثال 1: رفع الأسس الأساسي

\[ 5 \times 5 \times 5 = 5^3 \]

هنا:

  • الأساس = \(5\)
  • الأس = \(3\)
  • المعنى: اضرب 5 في نفسها 3 مرات.

المثال 2: التعبير عن الأعداد الكبيرة

\[ 100{,}000 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^5 \]

المثال 3: التعبير عن الأعداد الصغيرة

\[ 0.00001 = \frac{1}{100{,}000} = \frac{1}{10^5} = 10^{-5} \]

الأس السالب يعني أخذ المقلوب. على سبيل المثال:

\[ 10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} \]

المثالان 4 و 5: وحدات المساحة والحجم

المساحة: مساحة مربع طول ضلعه \(1\) متر هي:
\[ 1 \,\text{m} \times 1 \,\text{m} = 1 \,\text{m}^2 \] (تقرأ: 1 متر مربع)

الحجم: حجم مكعب طول ضلعه \(1\) متر هو:
\[ 1 \,\text{m} \times 1 \,\text{m} \times 1 \,\text{m} = 1 \,\text{m}^3 \] (تقرأ: 1 متر مكعب)

المثال 6: البوادئ العلمية

  • كيلو (\(10^3\)): \( 1{,}000 = 10^3 \)
    (مثال: 1 كيلوغرام = \(10^3\) غرام = \(1{,}000\) غرام)
  • ميغا (\(10^6\)): \( 1{,}000{,}000 = 10^6 \)
    (مثال: 1 ميغابايت = \(10^6\) بايت = \(1{,}000{,}000\) بايت)
  • غيغا (\(10^9\)): \( 1{,}000{,}000{,}000 = 10^9 \)
    (مثال: 1 غيغابايت = \(10^9\) بايت = \(1{,}000{,}000{,}000\) بايت)

مسائل تدريبية على الأسس والحلول

حل مسائل الأسس التالية. توسع في مربعات الحلول للتحقق من استنتاجاتك والإجابات النهائية.

السؤال 1

اكتب العبارات التالية باستخدام الأسس:

  1. أ) \( 8 \times 8 \times 8 \times 8 \)
  2. ب) \( 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \)
  3. ج) \( A \times A \times A \)
  4. د) \( \text{meter} \times \text{meter} \)
  5. هـ) \( \text{centimeter} \times \text{centimeter} \times \text{centimeter} \)
عرض الحل

استخدم تعريف الأس، حيث يكون الأساس هو العامل المتكرر والأس هو عدد المرات التي يُضرب فيها في نفسه.

  1. أ) \( 8 \times 8 \times 8 \times 8 = \mathbf{8^4} \)
    (العدد 8 مضروب في نفسه 4 مرات)
  2. ب) \( 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = \mathbf{10^7} \)
  3. ج) \( A \times A \times A = \mathbf{A^3} \)
  4. د) \( \text{meter} \times \text{meter} = \mathbf{\text{meter}^2} \)
  5. هـ) \( \text{centimeter} \times \text{centimeter} \times \text{centimeter} = \mathbf{\text{centimeter}^3} \)

السؤال 2

أوجد قيمة ما يلي:

  1. أ) \( 2^4 \)
  2. ب) \( 10^4 \)
  3. ج) \( (-2)^4 \)
  4. د) \( -2^4 \)
عرض الحل

فُك كل قوة باستخدام الضرب واحسب النتيجة. انتبه جيداً لموقع الإشارات السالبة في (ج) و (د).

  1. أ) \( 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = \mathbf{16} \)
  2. ب) \( 10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = \mathbf{10{,}000} \)
  3. ج) \( (-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = \mathbf{16} \)
    (الإشارة السالبة مضمنة في الأساس بسبب الأقواس. ضرب أربعة أعداد سالبة يعطي موجباً.)
  4. د) \( -2^4 = -(2 \times 2 \times 2 \times 2) = \mathbf{-16} \)
    (لا توجد أقواس، لذا ينطبق الأس على الرقم 2 فقط. وتُطبق الإشارة السالبة بعد حساب الأس.)

السؤال 3

استخدم الأسس لكتابة العبارات التالية باستخدام قوة واحدة فقط:

  1. أ) \( 4 \times 8 \)
  2. ب) \( 25 \times 5 \)
  3. ج) \( 16 \times 4 \times 4^3 \)
  4. د) \( 2 \times 2 \times 8 \times 2^3 \)
  5. هـ) \( B \times B \times B^3 \)
عرض الحل

للدمج في قوة واحدة، قم بتحليل الأعداد إلى أساس مشترك، ثم اجمع الأسس.

  1. أ) \( 4 \times 8 = (2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2) = 2^2 \times 2^3 = \mathbf{2^5} \)
  2. ب) \( 25 \times 5 = (5 \times 5) \times 5 = 5^2 \times 5^1 = \mathbf{5^3} \)
  3. ج) \( 16 \times 4 \times 4^3 = (4 \times 4) \times 4^1 \times 4^3 = 4^2 \times 4^1 \times 4^3 = \mathbf{4^6} \)
  4. د) \( 2 \times 2 \times 8 \times 2^3 = 2^1 \times 2^1 \times (2 \times 2 \times 2) \times 2^3 = 2^1 \times 2^1 \times 2^3 \times 2^3 = \mathbf{2^8} \)
  5. هـ) \( B \times B \times B^3 = B^1 \times B^1 \times B^3 = \mathbf{B^5} \)

السؤال 4

استخدم الأسس لإعادة كتابة العبارات التالية في أبسط صورة:

  1. أ) \( 2^3 \times 2^4 \)
  2. ب) \( 6 \times 6^3 \)
  3. ج) \( 5 \times 5^2 \times 5^3 \)
عرض الحل

عند ضرب القوى التي لها نفس الأساس، تقوم ببساطة بجمع الأسس (قاعدة الضرب: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)).

  1. أ) \( 2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = \mathbf{2^7} \)
    (الإثبات بالتوسيع: \((2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2 \times 2) = 2^7\))
  2. ب) \( 6 \times 6^3 = 6^1 \times 6^3 = 6^{1+3} = \mathbf{6^4} \)
  3. ج) \( 5 \times 5^2 \times 5^3 = 5^1 \times 5^2 \times 5^3 = 5^{1+2+3} = \mathbf{5^6} \)

المزيد من المراجع وروابط مفيدة

الصفحة الرئيسية