أسئلة رياضيات الصف السابع حول نظرية المجموعات
مع حلول مفصلة خطوة بخطوة

مرحباً بك في صفحة دراسة نظرية المجموعات للصف السابع. صُممت هذه المنصة لتوجيه الطلاب والمعلمين وأولياء الأمور عبر القواعد الأساسية للمجموعات. ستجد أدناه أسئلة تدريبية تغطي عدد عناصر المجموعة، وانتماء العناصر، والمجموعات الجزئية، والاتحاد، والتقاطع إلى جانب حلول مفصلة خطوة بخطوة.

أسئلة تدريبية

  1. أوجد عدد عناصر المجموعتين \(A\) و \(B\) المعرفتين كالتالي:

    \(A = \{a, b, c, d\}\)  و  \(B = \{1, 4, 7, 9, 10, 12, 23\}\)

    عرض الحل

    عدد عناصر المجموعة يساوي عدد العناصر المميزة الموجودة في تلك المجموعة. نستخدم الرمز \(|A|\) أو \(\text{Card}(A)\) للتعبير عنه.

    • المجموعة \(A\) لها \(4\) عناصر مميزة، إذن \(\mathbf{|A| = 4}\)
    • المجموعة \(B\) لها \(7\) عناصر مميزة، إذن \(\mathbf{|B| = 7}\)
  2. حدد عدد عناصر كل من المجموعات التالية:
    • مجموعة جميع أشهر السنة التي تبدأ بالحرف "M" (أو الحروف الإنجليزية بالمعنى الواسع، أو الأشهر المبدأة بحرف ميم مثل مارس، مايو).
    • مجموعة جميع حروف العلة في الأبجدية الإنجليزية.
    عرض الحل

    أ) مجموعة الأشهر التي تبدأ بحرف "M":
    لتكن هذه هي المجموعة \(S\). سرد العناصر يعطي: \(S = \{\text{March}, \text{May}\) (مارس، مايو)\(\}\).
    وبالتالي، عدد العناصر هو \(\mathbf{|S| = 2}\).

    ب) مجموعة جميع حروف العلة في الأبجدية الإنجليزية:
    لتكن هذه هي المجموعة \(V\). سرد العناصر يعطي: \(V = \{a, e, i, o, u\}\).
    وبالتالي، عدد العناصر هو \(\mathbf{|V| = 5}\).

  3. المجموعتان \(A\) و \(B\) معرفتان كالتالي:

    \(A = \{3, 5, 7, 8\}\)  و  \(B = \{x, y, z\}\)

    أجب بـ (صح) أو (خطأ):
    • \(3 \in A\)
    • \(3 \in B\)
    • \(x \notin A\)
    • \(z \in B\)
    • \(8 \in B\)
    عرض الحل

    الرمز \(\in\) يعني "عنصر في" (انتماء)، بينما الرمز \(\notin\) يعني "ليس عنصر في".

    • صح؛ العدد \(3\) موجود بوضوح كعضو داخل المجموعة \(A\).
    • خطأ؛ العدد \(3\) ليس عنصراً في المجموعة \(B\).
    • صح؛ العنصر \(x\) لا ينتمي إلى المجموعة \(A\).
    • صح؛ العنصر \(z\) هو بوضوح عنصر في المجموعة \(B\).
    • خطأ؛ العدد \(8\) ينتمي إلى المجموعة \(A\)، ولكنه ليس عنصراً في المجموعة \(B\).
  4. سرد جميع العناصر التي تنتمي إلى كل من المجموعات التالية:
    • مجموعة جميع الأعداد الزوجية الموجبة الأقل من أو التي تساوي \(10\).
    • مجموعة جميع الحروف الفريدة في كلمة "AUSTRALIA".
    • مجموعة جميع الأعداد الكلية الأكبر من \(3\) والأصغر من \(16\) والتي تقبل القسمة على \(3\).
    • مجموعة جميع الأعداد الكلية الأكبر من \(5\) والأصغر من \(35\) والتي تقبل القسمة على \(5\).
    • مجموعة جميع الأعداد الأولية التي تقبل القسمة على \(3\).
    • مجموعة جميع الأعداد التي تساوي قيمتها المطلقة \(7\).
    عرض الحل
    • \(\{2, 4, 6, 8, 10\}\) (الأعداد الزوجية الموجبة ابتداءً من \(2\) صعوداً حتى \(10\) ضمناً).
    • \(\{A, U, S, T, R, L, I\}\) (في كتابة المجموعات، العناصر المكررة مثل "A" تُسرد مرة واحدة فقط).
    • \(\{6, 9, 12, 15\}\) (مضاعفات العدد \(3\) الواقعة حصراً بين \(3\) و \(16\)).
    • \(\{10, 15, 20, 25, 30\}\) (مضاعفات العدد \(5\) الواقعة حصراً بين \(5\) و \(35\)).
    • \(\{3\}\) (العدد الأولي الوحيد الذي يقبل القسمة على \(3\) هو العدد \(3\) نفسه).
    • \(\{-7, 7\}\) (لأن كلا من \(|-7| = 7\) و \(|7| = 7\)).
  5. بالتأسيس على المجموعات التالية:

    \(A = \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}\)
    \(B = \{3, 5, 7\}\)
    \(C = \{3, 5, 7, 20, 25, 30\}\)
    \(D = \{20, 25, 30\}\)

    أجب بـ (صح) أو (خطأ):
    • \(A \subseteq B\)
    • \(B \subseteq A\)
    • \(B \not\subseteq C\)
    • \(C \subseteq D\)
    • \(D \not\subseteq A\)
    عرض الحل

    الرمز \(\subseteq\) يعني "مجموعة جزئية من" (يجب أن يكون كل عنصر من المجموعة الأولى موجوداً داخل المجموعة الثانية). والرمز \(\not\subseteq\) يعني "ليست مجموعة جزئية من".

    • خطأ؛ العناصر \(2, 4,\) و \(6\) تنتمي إلى \(A\) ولكنها غير موجودة في \(B\).
    • صح؛ كل عنصر بمفرده في المجموعة \(B\) (\(3, 5,\) و \(7\)) موجود أيضاً داخل المجموعة \(A\).
    • خطأ؛ لأن جميع العناصر في \(B\) موجودة داخل \(C\)، إذن \(B\) مجموعة جزئية (\(B \subseteq C\)).
    • خطأ؛ العناصر \(3, 5,\) و \(7\) موجودة في المجموعة \(C\) ولكنها غائبة كلياً عن المجموعة \(D\).
    • صح؛ العناصر \(20, 25,\) و \(30\) موجودة في المجموعة \(D\) ولكنها لا توجد في أي مكان داخل المجموعة \(A\).
  6. باستخدام المجموعات \(A, B, C,\) و \(D\) المعرفة في السؤال 5، أوجد ما يلي:
    • أ) \(A \cup B\)
    • ب) \(A \cap B\)
    • ج) \(B \cap C\)
    • د) \(C \cup B\)
    • هـ) \(D \cap C\)
    • و) \((A \cap B) \cap C\)
    • ز) \((A \cup B) \cap (C \cup D)\)
    • ح) \((A \cup B) \cup (C \cup D)\)
    عرض الحل

    تذكر أن رمز الاتحاد (\(\cup\)) يدمج كافة العناصر من المجموعتين معاً، بينما رمز التقاطع (\(\cap\)) يستخرج فقط العناصر المشتركة بين المجموعتين.

    • \(A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7\} = A\) (بما أن \(B\) محتواة بالكامل داخل \(A\)).
    • \(A \cap B = \{3, 5, 7\} = B\) (هذه هي العناصر المشتركة بين المجموعتين \(A\) و \(B\)).
    • \(B \cap C = \{3, 5, 7\} = B\) (العناصر المشتركة بين المجموعتين \(B\) و \(C\)).
    • \(C \cup B = \{3, 5, 7, 20, 25, 30\} = C\) (بما أن \(B\) محتواة بالكامل داخل \(C\)).
    • \(D \cap C = \{20, 25, 30\} = D\) (بما أن \(D \subseteq C\)).
    • \((A \cap B) \cap C = B \cap C = \{3, 5, 7\} = B\) (أوجد أولاً \(A \cap B = B\)، ثم قاطع النتيجة مع \(C\)).
    • \((A \cup B) \cap (C \cup D) = A \cap C = \{3, 5, 7\} = B\) (قيّم الأقواس: \((A \cup B) = A\) و \((C \cup D) = C\)، مما يترك لنا \(A \cap C\)).
    • \((A \cup B) \cup (C \cup D) = A \cup C = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 20, 25, 30\}\) (يدمج جميع العناصر الفريدة من \(A\) و \(C\) معا).