ستعلمك هذه الصفحة كيفية إعداد وحل التناسبات في الرياضيات. تجد أسفل الدرس التمهيدي سلسلة من أسئلة التدريب الخاصة بالصف السابع مصحوبة بـ حلول مفصلة خطوة بخطوة لمساعدتك في التحقق من عملك.
يوضح الجدول أدناه المسافة التي تقطعها سيارة بالكيلومترات (كم) والوقت بالساعات اللازم لقطع تلك المسافة. نفترض أن السيارة تسير بسرعة ثابتة. كم ساعة تلزم لقطع مسافة 500 كيلومتر؟
| المسافة (كم) | 50 | 100 | 150 | 500 |
|---|---|---|---|---|
| الوقت (ساعات) | 1 | 2 | 3 | \(t\) |
لاحظ أنه إذا قسمنا المسافة على الوقت للأعمدة الثلاثة الأولى، نحصل على معدل ثابت:
\[\frac{50}{1} = 50, \quad \frac{100}{2} = 50, \quad \frac{150}{3} = 50\]
هذا المعدل هو السرعة الثابتة البالغة \(50 \text{ كم/ساعة\). نقول إن المسافة تناسبية مع الوقت. ونظراً لأن السيارة تحافظ على نفس السرعة، فإن قاعدة التناسب هذه تعمل أيضاً لمسافة \(500 \text{ كم\):
\[\frac{150}{3} = \frac{500}{t}\]
الصعوبة الرئيسية في حل التناسبات هي وجود المقامين (مثل \(3\) و \(t\)). لحل التناسب، نحتاج إلى التخلص من هذه المقامات. نقوم بذلك بضرب طرفي المعادلة في حاصل ضرب المقامين (\(3 \times t = 3t\)).
الخطوة 1: اضرب كلا الطرفين في \(3t\):
\[3t \times \frac{150}{3} = 3t \times \frac{500}{t}\]
الخطوة 2: بسّط بشطب الحدود المشتركة على كل طرف:
\[t \times 150 = 3 \times 500\]
\[150t = 1500\]
الخطوة 3: اقسم كلا الطرفين على \(150\) لعزل \(t\):
\[t = \frac{1500}{150} = \mathbf{10 \text{ ساعات}}\]
\[\frac{x}{2} = \frac{4}{8}\]
اضرب طرفي التناسب في حاصل ضرب المقامين (\(2 \times 8 = 16\)):
\[16 \times \frac{x}{2} = 16 \times \frac{4}{8}\]
بسّط بشطب العوامل المشتركة:
\[8x = 2 \times 4\]
\[8x = 8\]
اقسم كلا الطرفين على \(8\):
\[\frac{8x}{8} = \frac{8}{8} \implies \mathbf{x = 1}\]
\[\frac{3}{p} = \frac{1}{5}\]
اضرب طرفي التناسب في حاصل ضرب المقامين (\(5 \times p = 5p\)):
\[5p \times \frac{3}{p} = 5p \times \frac{1}{5}\]
بسّط بشطب العوامل المشتركة:
\[5 \times 3 = p \times 1\]
\[\mathbf{15 = p}\]
اضرب طرفي التناسب في حاصل ضرب المقامين (\(5 \times 15 = 75\)):
\[75 \times \frac{31}{5} = 75 \times \frac{w}{15}\]
بسّط بحساب نواتج القسمة:
\[15 \times 31 = 5 \times w\]
\[465 = 5w\]
اقسم كلا الطرفين على \(5\) لعزل \(w\):
\[w = \frac{465}{5} \implies \mathbf{w = 93}\]
طريقة مختصرة بديلة: بما أنك تحتاج فقط لعزل \(w\)، يمكنك ببساطة ضرب كلا الطرفين في \(15\):
\[15 \times \frac{31}{5} = w \implies 3 \times 31 = w \implies \mathbf{w = 93}\]
\[\frac{2k}{3} = \frac{20}{6}\]
اضرب طرفي التناسب في حاصل ضرب المقامين (\(3 \times 6 = 18\)):
\[18 \times \frac{2k}{3} = 18 \times \frac{20}{6}\]
بسّط بإجراء القسمة أولاً:
\[6 \times 2k = 3 \times 20\]
\[12k = 60\]
اقسم كلا الطرفين على \(12\):
\[\frac{12k}{12} = \frac{60}{12} \implies \mathbf{k = 5}\]
\[\frac{3}{7} = \frac{y}{0}\]
لا يوجد حل. القسمة على صفر غير معرفة في الرياضيات، مما يجعله من المستحيل أن يحمل الكسر الموجود على اليمين قيمة عددية صحيحة.
\[\frac{1}{4} = \frac{0}{x}\]
لا يوجد حل. إذا كانت \(x = 0\)، فإن الطرف الأيمن يصبح غير معرف. لأي قيمة أخرى حيث \(x \neq 0\)، يتبسط الطرف الأيمن إلى \(0\). ومع ذلك، فإن الطرف الأيسر هو \(\frac{1}{4}\)، وهو لا يساوي \(0\). بناءً عليه، ليس لهذا التناسب حل صحيح.
أولاً، بسّط الكسر في الطرف الأيمن إلى أبسط صورة:
\[\frac{3}{12} = \frac{3 \div 3}{12 \div 3} = \frac{1}{4}\]
أعد كتابة التناسب:
\[\frac{m}{4} = \frac{1}{4}\]
بما أن المقامين متساويان، يجب أن يكون البسطان متساويين أيضاً. بناءً عليه:
\[\mathbf{m = 1}\]
\[\frac{6}{14} = \frac{2t}{14}\]
بما أن المقامين في كلا الطرفين مساويان لـ \(14\) بالفعل، يجب أن يكون بسطاهما متساويين لكي يكون التناسب صحيحاً:
\[6 = 2t\]
اقسم كلا الطرفين على \(2\) لعزل \(t\):
\[\frac{6}{2} = \frac{2t}{2} \implies \mathbf{3 = t}\]