صُممت هذه الصفحة لمساعدة الطلاب على إتقان مفهوم المعدلات ومعدلات الوحدات. ستجد أدناه أمثلة تمهيدية تشرح كيفية إعداد معادلات المعدل، تليها أسئلة تدريبية مختارة بعناية مع حلول خطوة بخطوة.
المعدل هو نسبة تقارن بين كميتين لهما وحدات مختلفة (مثل الكيلومترات والساعات، أو الدولارات والكيلوغرامات).
تقطع السيارة أ مسافة \(150\) كيلومتراً في \(3\) ساعات. وتقطع السيارة ب مسافة \(220\) كيلومتراً في \(4\) ساعات. بافتراض أن كلتا السيارتين تسير بسرعتين ثابتتين، أيت من السيارتين تسير بشكل أسرع؟
أولاً، احسب المسافة التي تقطعها السيارة أ في ساعة واحدة بالضبط:
\[\frac{150 \text{ km}}{3 \text{ hours}} = \frac{50 \text{ km}}{1 \text{ hour}} = 50 \text{ km/hr}\]
بعد ذلك، احسب المسافة التي تقطعها السيارة ب في ساعة واحدة:
\[\frac{220 \text{ km}}{4 \text{ hours}} = \frac{55 \text{ km}}{1 \text{ hour}} = 55 \text{ km/hr}\]
يُطلق على الكميتين \(50 \text{ km/hr}\) و \(55 \text{ km/hr}\) اسم معدلات الوحدات لأن المقام هو وحدة زمنية واحدة بالضبط. ومن خلال مقارنة معدلات الوحدات هذه، يمكننا أن نرى بوضوح أن السيارة ب تسير بشكل أسرع.
تقطع سيارة مسافة \(150\) كيلومتراً في \(3\) ساعات. بافتراض سرعة ثابتة، كم ساعة تلزم لكي تقطع هذه السيارة مسافة \(250\) كيلومتراً؟
ليكن \(t\) عدد الساعات اللازمة لقطع مسافة \(250 \text{ كم}\). بما أن السرعة ثابتة، يظل المعدل كما هو. يمكننا إعداد تناسب:
\[\frac{150 \text{ km}}{3 \text{ hours}} = \frac{250 \text{ km}}{t}\]
لحل قيمة \(t\)، يمكننا استخدام طريقة الضرب التبادلي. اضرب بشكل قطري عبر إشارة التساوي:
\[150 \text{ km} \times t = 250 \text{ km} \times 3 \text{ hours}\]
اعزل \(t\) بقسمة كلا الطرفين على \(150 \text{ km}\):
\[t = \frac{250 \times 3}{150} \text{ hours}\]
\[t = \frac{750}{150} \text{ hours} = \mathbf{5 \text{ hours}}\]
ملاحظة: إذا واجهتك صعوبة، قم بتوسيع مربع الحل لرؤية الخطوات المنطقية.
ليكن \(d\) المسافة الحقيقية بالكيلومترات. أعدّ تناسباً يقارن مقياس الرسم على الخريطة بالمسافة المجهولة:
\[\frac{15 \text{ km}}{5 \text{ cm}} = \frac{d}{15 \text{ cm}}\]
اضرب ضرباً تبادلياً:
\[15 \text{ km} \times 15 \text{ cm} = d \times 5 \text{ cm}\]
اقسم كلا الطرفين على \(5 \text{ cm}\):
\[d = \frac{15 \times 15}{5} \text{ km} = \frac{225}{5} \text{ km} = \mathbf{45 \text{ km}}\]
ليكن \(x\) عدد الجالونات اللازمة لقطع مسافة \(330 \text{ ميلاً}\). أعدّ التناسب:
\[\frac{220 \text{ miles}}{10 \text{ gallons}} = \frac{330 \text{ miles}}{x}\]
اضرب ضرباً تبادلياً:
\[220 \times x = 330 \times 10\]
اقسم كلا الطرفين على \(220\) لعزل \(x\):
\[x = \frac{3300}{220} = \mathbf{15 \text{ gallons}}\]
أولاً، أوجد تكلفة تذكرة واحدة بالضبط (معدل الوحدة):
\[c = \frac{\$66}{10 \text{ tickets}} = \$6.60 \text{ per ticket}\]
لإيجاد التكلفة الإجمالية (\(C\)) لـ \(22\) تذكرة، اضرب معدل الوحدة في \(22\):
\[C = 22 \text{ tickets} \times \$6.60 \text{ per ticket} = \mathbf{\$145.20}\]
الجزئية أ: أولاً، أوجد عدد العلب في الصندوق الواحد (معدل الوحدة):
\[\text{Unit Rate} = \frac{36 \text{ cans}}{4 \text{ boxes}} = 9 \text{ cans per box}\]
في \(7\) صناديق، عدد العلب هو:
\[7 \text{ boxes} \times 9 \text{ cans per box} = \mathbf{63 \text{ cans}}\]
الجزئية ب: ليكن \(B\) عدد الصناديق اللازمة لتعبئة \(99 \text{ علبة}\). باستخدام معدل الوحدة، اكتب التناسب:
\[\frac{9 \text{ cans}}{1 \text{ box}} = \frac{99 \text{ cans}}{B}\]
اضرب ضرباً تبادلياً وحلّ لأجل \(B\):
\[9 \times B = 99 \times 1 \implies B = \frac{99}{9} = \mathbf{11 \text{ boxes}}\]
أولاً، أوجد تكلفة \(1 \text{ كغ}\) من التفاح (معدل الوحدة):
\[c = \frac{\$15}{4 \text{ kg}} = \$3.75 \text{ per kg}\]
معرفة تكلفة \(1 \text{ كغ}\)، فإن التكلفة (\(C\)) لـ \(11 \text{ كغ}\) هي:
\[C = 11 \text{ kg} \times \$3.75 \text{ per kg} = \mathbf{\$41.25}\]
الجزئية أ: أوجد عدد الجالونات المنقولة في الدقيقة الواحدة (معدل الوحدة):
\[\text{Unit Rate} = \frac{55 \text{ gallons}}{10 \text{ minutes}} = 5.5 \text{ gallons per minute}\]
عدد الجالونات المنقولة في \(22 \text{ دقيقة}\) هو:
\[22 \text{ minutes} \times 5.5 \text{ gallons per minute} = \mathbf{121 \text{ gallons}}\]
الجزئية ب: ليكن \(T\) عدد الدقائق اللازمة لنقل \(165 \text{ جالوناً}\). أعدّ التناسب:
\[\frac{55 \text{ gallons}}{10 \text{ minutes}} = \frac{165 \text{ gallons}}{T}\]
اضرب ضرباً تبادلياً وحلّ:
\[55 \times T = 165 \times 10 \implies T = \frac{1650}{55} = \mathbf{30 \text{ minutes}}\]
ليكن \(T\) إجمالي عدد الساعات اللازمة لتسرب جميع الـ \(324 \text{ لتراً}\). باستخدام تساوق المعدلات:
\[\frac{3 \text{ liters}}{5 \text{ hours}} = \frac{324 \text{ liters}}{T}\]
اضرب ضرباً تبادلياً:
\[3 \times T = 5 \times 324\]
اقسم كلا الطرفين على \(3\) وبسّط:
\[T = \frac{1620}{3} = \mathbf{540 \text{ hours}}\]
ليكن \(W\) وزن \(5\) علب. باستخدام تساوق المعدلات:
\[\frac{20 \text{ cans}}{7300 \text{ grams}} = \frac{5 \text{ cans}}{W}\]
اضرب ضرباً تبادلياً:
\[20 \times W = 5 \times 7300\]
اقسم كلا الطرفين على \(20\) وبسّط:
\[W = \frac{36500}{20} = \mathbf{1825 \text{ grams}}\]
في هذه المسألة، لدينا معدلان متعارضران: معدل التعبئة (\(R_f\)) ومعدل التسريب (\(R_l\)). لنوجد معدل الوحدة في الثانية لكليهما:
\[R_f = \frac{5 \text{ liters}}{45 \text{ seconds}} = \frac{1}{9} \text{ liters per second}\]
\[R_l = \frac{1 \text{ liter}}{180 \text{ seconds}}\]
نحن نعلم أن \(1 \text{ ساعة} = 3600 \text{ ثانية}\). لنحسب الحجم الإجمالي لكلا العمليتين خلال هذا الإطار الزمني.
كمية الماء (\(Q_1\)) التي تم ضخها بعد \(1 \text{ ساعة}\) هي:
\[Q_1 = R_f \times 3600 = \frac{1}{9} \times 3600 = 400 \text{ liters}\]
كمية الماء (\(Q_2\)) التي فُقدت بسبب التسريب بعد \(1 \text{ ساعة}\) هي:
\[Q_2 = R_l \times 3600 = \frac{1}{180} \times 3600 = 20 \text{ liters}\]
بناءً عليه، الكمية الإجمالية (\(Q\)) من الماء المتبقية في الحاوية بعد \(1 \text{ ساعة}\) هي:
\[Q = Q_1 - Q_2 = 400 - 20 = \mathbf{380 \text{ liters}}\]