طول مستطيل يزيد بـ 10 أمتار عن مثلي عرضه. ما هو الطول والعرض إذا كان محيطه 62 متراً؟

ليكن W هو العرض. الطول L هو 2W + 10. صيغة المحيط هي 2L + 2W = 62. التعويض بـ L يعطي 2(2W + 10) + 2W = 62. التبسيط ينتج عنه 6W + 20 = 62. حل المعادلة لأجل W يعطي W = 7. العرض هو 7 أمتار والطول هو 24 متراً.

الفرق بين قياسي زاويتين متكاملتين هو 102 درجة. أوجد الزاويتين.

مجموع الزوايا المتكاملة هو 180 درجة. لتكن الزاوية الصغرى y؛ الزاوية الكبرى هي y + 102. إعداد المعادلة: y + (y + 102) = 180. الحل يعطي 2y = 78، إذن y = 39. الزاوية الصغرى هي 39 درجة والكبرى 141 درجة.

مسائل كلامية على المعادلات الخطية: أسئلة وحلول الصف الثامن

Q: مجموع عددين هو 64. الفرق بين العددين هو 18. ما هما العددَان؟

ليكن العدد الأصغر x. بما أن الفرق هو 18، فإن العدد الأكبر هو x + 18. المجموع هو x + (x + 18) = 64. حل المعادلة لأجل x يعطي 2x = 46، إذن x = 23. العدد الأصغر هو 23 والعدد الأكبر هو 41.

خصائص الأعداد: ثلاثة أمثال عدد مضافاً إليه عشرة يساوي عشرين أقل من ستة أمثال العدد. أوجد هذا العدد.

عرض الحل خطوة بخطوة

ليكن العدد هو \(x\).

عبارة "ثلاثة أمثال عدد مضافاً إليه 10" تترجم إلى \(3x + 10\).
عبارة "يساوي" تترجم إلى \(=\).
عبارة "عشرون أقل من ستة أمثال العدد" تترجم إلى \(6x - 20\).

أعدّ المعادلة وحلّها:

\(3x + 10 = 6x - 20\)
\(3x - 6x = -20 - 10\) (نقل المتغيرات إلى طرف والثوابت إلى الطرف الآخر)
\(-3x = -30\)
\(x = 10\) (قسمة كلا الطرفين على -3)

التحقق: \(3(10) + 10 = 40\) و \(6(10) - 20 = 40\). الحل صحيح.

ترجمة مركبة: إذا أُضيف مثلي الفرق بين عدد و 3 إلى 4، فإن النتيجة تكون أكبر بـ 22 من أربعة أمثال العدد. أوجد هذا العدد.

عرض الحل خطوة بخطوة

ليكن العدد هو \(x\).

عبارة "مثلي الفرق بين عدد و 3 مضافاً إليه 4" تترجم إلى \(2(x - 3) + 4\).
عبارة "النتيجة هي" تترجم إلى \(=\).
عبارة "أكبر بـ 22 من أربعة أمثال العدد" تترجم إلى \(4x + 22\).

أعدّ المعادلة وحلّها:

\(2(x - 3) + 4 = 4x + 22\)
\(2x - 6 + 4 = 4x + 22\) (توزيع الـ 2)
\(2x - 2 = 4x + 22\) (دمج الثوابت على اليسار)
\(2x - 4x = 22 + 2\) (نقل المتغيرات إلى اليسار، والثوابت إلى اليمين)
\(-2x = 24\)
\(x = -12\)

المجموع والفروق: مجموع عددين هو 64. الفرق بين العددين هو 18. ما هما العددَان؟

عرض الحل خطوة بخطوة

ليكن \(x\) العدد الأصغر. بما أن الفرق بين العددين هو 18، فيجب أن يكون العدد الأكبر هو \(x + 18\).

أعدّ المعادلة باستخدام مجموعهما:

\(x + (x + 18) = 64\)
\(2x + 18 = 64\) (دمج الحدود المتشابهة)
\(2x = 64 - 18\)
\(2x = 46\)
\(x = 23\) (هذا هو العدد الأصغر)

أوجد العدد الأكبر:

العدد الأكبر = \(x + 18 = 23 + 18 =\) \(41\)

التحقق: \(23 + 41 = 64\) و \(41 - 23 = 18\).

تطبيق هندسي (المحيط): طول مستطيل يزيد بـ 10 أمتار عن مثلي عرضه. ما هما طول وعرض المستطيل إذا كان محيطه 62 متراً؟

عرض الحل خطوة بخطوة

ليكن \(W\) العرض. الطول \(L\) موصوف بأنه \(2W + 10\).

صيغة محيط المستطيل هي \(P = 2L + 2W\).

\(62 = 2L + 2W\)
\(62 = 2(2W + 10) + 2W\) (التعويض بتعبير الطول L)
\(62 = 4W + 20 + 2W\) (توزيع الـ 2)
\(62 = 6W + 20\) (دمج الحدود المتشابهة)
\(62 - 20 = 6W\)
\(42 = 6W\)
\(W = 7\) أمتار

الآن، أوجد الطول:

\(L = 2(7) + 10 = 14 + 10 =\) \(24\) متراً

المتوسطات: متوسط الأعداد 35، 45، و \(x\) يساوي خمسة أكثر من مثلي \(x\). أوجد قيمة \(x\).

عرض الحل خطوة بخطوة

لإيجاد متوسط ثلاثة أعداد، اجمعها واقسمها على 3:

\(\dfrac{35 + 45 + x}{3} = 2x + 5\) (إعداد المعادلة بناءً على نص المسألة)
\(35 + 45 + x = 3(2x + 5)\) (ضرب كلا الطرفين في 3 للتخلص من الكسر)
\(80 + x = 6x + 15\) (جمع الأعداد وتوزيع الـ 3)
\(80 - 15 = 6x - x\) (تجميع المتغيرات والثوابت)
\(65 = 5x\)
\(x = 13\) (القسمة على 5)

الزوايا المتكاملة: الفرق بين قياسي زاويتين متكاملتين هو \(102^\circ\). أوجد الزاويتين.

عرض الحل خطوة بخطوة

الزوايا المتكاملة مجموعها \(180^\circ\). لتكن الزاوية الصغرى هي \(y\). بما أن الفرق بينهما هو \(102^\circ\)، فإن الزاوية الكبرى هي \(y + 102^\circ\).

\(y + (y + 102) = 180\)
\(2y + 102 = 180\) (دمج الحدود المتشابهة)
\(2y = 180 - 102\)
\(2y = 78\)
\(y = 39^\circ\) (هذه هي الزاوية الصغرى)

أوجد الزاوية الكبرى:

الزاوية الكبرى = \(39^\circ + 102^\circ =\) \(141^\circ\)

الزوايا المتتامة: زاويتان متتامتان بحيث تكون إحداهما أكبر بـ \(14^\circ\) من ثلاثة أمثال الزاوية الثانية. ما هو قياس الزاوية الكبرى؟

عرض الحل خطوة بخطوة

الزوايا المتتامة مجموعها \(90^\circ\). لتكن الزاوية الصغرى هي \(y\). الزاوية الكبرى هي \(3y + 14^\circ\).

\(y + (3y + 14) = 90\)
\(4y + 14 = 90\) (دمج الحدود المتشابهة)
\(4y = 90 - 14\)
\(4y = 76\)
\(y = 19^\circ\) (هذه هي الزاوية الصغرى)

أوجد الزاوية الكبرى:

الزاوية الكبرى = \(3(19) + 14 = 57 + 14 =\) \(71^\circ\)

الأعداد الصحيحة المتتالية: مجموع عدد صحيح زوجي موجب والعدد الزوجي الثالث الذي يليه يساوي 150. أوجد هذا العدد.

عرض الحل خطوة بخطوة

ليكن \(x\) العدد الصحيح الزوجي الأول. الأعداد الصحيحة الزوجية المتتالية تزيد بمقدار 2. المتسلسلة هي: \(x\) (الأول)، \(x + 2\) (الذي يليه)، \(x + 4\) (الثاني الذي يليه)، \(x + 6\) (الثالث الذي يليه).

\(x + (x + 6) = 150\) (إعداد مجموع العدد الأول والثالث الذي يليه)
\(2x + 6 = 150\)
\(2x = 150 - 6\)
\(2x = 144\)
\(x = 72\)

الأعداد الفردية المتتالية: متوسط ثلاثة أعداد فردية متتالية يساوي 129. ما هو أكبر الأعداد الثلاثة؟

عرض الحل خطوة بخطوة

ليكن الأعداد الفردية الثلاثة المتتالية هي \(x\)، و \(x + 2\)، و \(x + 4\). (الأعداد الفردية تزيد أيضاً بمقدار 2).

\(\dfrac{x + (x + 2) + (x + 4)}{3} = 129\) (إعداد معادلة المتوسط)
\(\dfrac{3x + 6}{3} = 129\) (دمج الحدود في البسط)
\(x + 2 = 129\) (قسمة حدود البسط على 3)
\(x = 127\) (هذا هو العدد الأصغر)

أوجد العدد الأكبر (\(x + 4\)):

العدد الأكبر = \(127 + 4 =\) \(131\)

المتوسطات والفروق: عددان بحيث يكون أحد العددين أكبر بـ 42 من العدد الثاني ومتوسطهما يساوي 40. ما هما العددَان؟

عرض الحل خطوة بخطوة

ليكن العدد الأصغر هو \(x\). العدد الأكبر هو \(x + 42\).

\(\dfrac{x + (x + 42)}{2} = 40\) (إعداد معادلة المتوسط)
\(\dfrac{2x + 42}{2} = 40\) (دمج الحدود المتشابهة)
\(x + 21 = 40\) (قسمة حدود البسط على 2)
\(x = 19\) (هذا هو العدد الأصغر)

أوجد العدد الأكبر:

العدد الأكبر = \(19 + 42 =\) \(61\)

العددان هما 19 و 61.

المعادلات الخطية للصف الثامن: تطبيقات من الحياة الواقعية ومسائل كلامية

أسئلة تدريبية

المراجع وروابط مفيدة