مسائل على الدوائر للصف الثامن مع حلول مفصلة

صُممت هذه الصفحة لمساعدة الطلاب، أولياء الأمور، والمعلمين على إتقان هندسة الدوائر من خلال مسائل كلامية مختارة بعناية وحلول مفصلة خطوة بخطوة. قم بتوسيع الحلول المخفية أسفل كل سؤال للكشف عن التفكير الرياضي وراء كل خطوة.

تغطي المسائل على هذه الصفحة مواضيع الهندسة الأساسية للصف الثامن، بما في ذلك:

أسئلة تدريبية

  1. نسب المساحات: الدوائر الثلاث \(C_1\) و \(C_2\) و \(C_3\) مراكزها \(O_1\) و \(O_2\) و \(O_3\) على الخط المستقيم \(L\) وتتطابق جميعها عند نفس النقطة. إذا كان قطر الدائرة الكبرى يساوي 20 وحدة، فما هي نسبة مساحة الدائرة الكبرى إلى مساحة الدائرة الصغرى؟ Three tangent circles of decreasing sizes inside one another
    عرض الحل خطوة بخطوة

    الخطوة 1: مساحة الدائرة الكبرى (\(C_1\))

    • قطر الدائرة \(C_1\) هو 20 وحدة، لذا فإن نصف قطرها (\(r_1\)) هو 10 وحدات.
    • مساحة \(A\) للدائرة \(C_1\) = \(\pi(10)^2 = 100\pi\).

    الخطوة 2: مساحة الدائرة الصغرى (\(C_3\))

    • بناءً على الرسم التوضيحي، قطر \(C_2\) يساوي نصف قطر \(C_1\) (10 وحدات). إذن، \(r_2 = 5\) وحدات.
    • قطر الدائرة \(C_3\) يساوي نصف قطر \(C_2\) (5 وحدات). إذن، نصف قطر \(C_3\) (\(r_3\)) هو 2.5 وحدة.
    • مساحة \(B\) للدائرة \(C_3\) = \(\pi(2.5)^2\).

    الخطوة 3: إيجاد النسبة

    • \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{\pi(10)^2}{\pi(2.5)^2}\)
    • \(= \left(\dfrac{10}{2.5}\right)^2 = 4^2 = 16\)
    • النسبة هي 16:1.
  2. الأشكال المركبة: تتكون حديقة السيدة باركنسون من 4 مربعات و 2 نصف دائرة كما هو موضح أدناه. كل مربع صغير مساحته 4 أمتار مربعة. أوجد المساحة الإجمالية للحديقة. Garden layout with 4 central squares flanked by 2 semicircles
    عرض الحل خطوة بخطوة

    الخطوة 1: مساحة المربعات

    • المساحة الإجمالية للمربعات الأربعة = \(4 \times 4 = 16 \text{ m}^2\).

    الخطوة 2: إيجاد أبعاد نصفي الدائرة

    • مساحة المربع الصغير الواحد هي \(4 \text{ m}^2\)، مما يعني أن طول ضلعه هو \(\sqrt{4} = 2 \text{ m}\).
    • نصف قطر كل نصف دائرة يطابق ضلع المربع، إذن \(r = 2 \text{ m}\).

    الخطوة 3: حساب المساحة الإجمالية

    • يتحد نصفي الدائرة لتشكيل دائرة كاملة واحدة.
    • مساحة الدائرة = \(\pi \times 2^2 = 4\pi \text{ m}^2\).
    • المساحة الإجمالية = \(16 + 4\pi \approx 16 + 12.56 =\) \(28.56 \text{ m}^2\) (باستخدام \(\pi \approx 3.14\)).
  3. تطبيق من الواقع: يمكن لرشاش ماء رش الماء لمسافة قصوى تبلغ 12 متراً في جميع الاتجاهات. ما هي مساحة الحديقة التي يمكن لهذا الرشاش ريها؟ قرب إجابتك إلى أقرب متر مربع.
    عرض الحل خطوة بخطوة
    • دورة كاملة واحدة للرشاش تروي مساحة دائرية نصف قطرها 12 متراً.
    • المساحة = \(\pi r^2\)
    • المساحة = \(\pi(12)^2 = 144\pi\)
    • \(144 \times 3.14159 \approx 452.389\)
    • يمكن للرشاش ري حوالي 452 متراً مربعاً.
  4. الدوائر المتحدة في المركز: حديقة دائرية نصف قطرها 10 أمتار محاطة بممر عرضه متر واحد. أوجد مساحة الممر (الجزء المظلل). Inner circle surrounded by a shaded outer ring representing a walkway
    عرض الحل خطوة بخطوة
    • الممر محصور بين دائرة داخلية أصغر ودائرة خارجية أكبر.
    • نصف القطر الداخلي = 10 أمتار.
    • نصف القطر الخارجي = \(10 + 1 = 11\) متراً.
    • مساحة الممر = مساحة الدائرة الخارجية - مساحة الدائرة الداخلية
    • المساحة = \((\pi \times 11^2) - (\pi \times 10^2)\)
    • المساحة = \(121\pi - 100\pi =\) \(21\pi \text{ m}^2\)
  5. تطبيق تكلفة الوحدة: بيتزا دائرية تكلف 19.99 دولاراً. ما هي تكلفة سنتيمتر مربع واحد إذا كان قطر البيتزا 36 سم؟
    عرض الحل خطوة بخطوة
    • أولاً، أوجد نصف القطر: \(36 \div 2 = 18 \text{ cm}\).
    • احسب المساحة الإجمالية: \(\pi \times 18^2 = 324\pi \approx 1017.87 \text{ cm}^2\).
    • احسب التكلفة لكل سنتيمتر مربع بتقسيم التكلفة الإجمالية على المساحة الإجمالية.
    • \(\dfrac{19.99}{1017.87} \approx 0.0196 \text{ dollars}\)
    • التكلفة حوالي سنتين لكل سنتيمتر مربع.
  6. العمل بالعكس من المساحة: ما هي كمية السياج اللازمة لحيطة حديقة الزهور الدائرية لعائلة روبنسون والتي تبلغ مساحتها 5 أمتار مربعة؟ (قرب إجابتك إلى أقرب متر).
    عرض الحل خطوة بخطوة

    السياج يحيط بالخارج، لذا نحتاج إلى إيجاد المحيط. أولاً، يجب أن نجد نصف القطر.

    • \(\pi \times r^2 = 5\)
    • \(r^2 = \dfrac{5}{\pi}\)
    • \(r = \sqrt{\dfrac{5}{\pi}} \approx 1.26 \text{ meters}\)

    الآن، احسب المحيط:

    • \(C = 2\pi r\)
    • \(C = 2 \times \pi \times 1.26 \approx 7.92 \text{ meters}\)
    • مطلوب حوالي 8 أمتار من السياج.
  7. الزيادة النسبية: تم زيادة نصف قطر قرص دائري بنسبة 20%. ما هي نسبة الزيادة في مساحة القرص؟
    عرض الحل خطوة بخطوة
    • المساحة الأصلية = \(\pi r^2\).
    • إذا زاد نصف القطر بنسبة 20%، يصبح نصف القطر الجديد \(r + 0.20r = 1.2r\).
    • المساحة الجديدة = \(\pi(1.2r)^2 = 1.44\pi r^2\).
    • أوجد الفرق في المساحة: \(1.44\pi r^2 - 1\pi r^2 = 0.44\pi r^2\).
    • لإيجاد النسبة المئوية للتغير، اقسم الفرق على المساحة الأصلية واضرب في 100.
    • \(\left(\dfrac{0.44\pi r^2}{\pi r^2}\right) \times 100\% = 0.44 \times 100\% =\) \(44\%\).
  8. تطبيق التدلي: طاولة دائرية قطرها 100 بوصة. مفرش مائدة دائري يتدلى من الحواف بمقدار 15 بوصة من جميع الجهات حول الطاولة. ما هي مساحة مفرش المائدة؟
    عرض الحل خطوة بخطوة
    • إذا كان قطر الطاولة 100 بوصة، والمفرش يتدلى 15 بوصة من كلا الجانبين، فإن القطر الإجمالي لمفرش المائدة هو \(100 + 15 + 15 = 130 \text{ inches}\).
    • نصف قطر مفرش المائدة هو \(130 \div 2 = 65 \text{ inches}\).
    • المساحة = \(\pi r^2 = \pi(65)^2\)
    • المساحة = \(4225\pi \approx\) \(13,273 \text{ square inches}\) (ملاحظة: إذا تم استخدام 3.14 لـ \(\pi\)، تقرَب الإجابة إلى حوالي 13,267 بوصة مربعة).
  9. المربعات والدوائر: ABCD مربع له رأس واحد في مركز الدائرة ورأسان على الدائرة. ما هو طول القطر \(AC\) إذا كانت مساحة الدائرة 100 سم مربع؟ Square inscribed partially in a circle with vertex A at the center
    عرض الحل خطوة بخطوة

    الخطوة 1: إيجاد مربع نصف القطر

    • المساحة = \(\pi r^2 = 100 \implies r^2 = \dfrac{100}{\pi}\).

    الخطوة 2: استخدام نظرية فيثاغورس

    • نظراً لأن الرأس A في المركز و B و D على الدائرة، فإن الضلعين \(AB\) و \(AD\) مساويان لنصف قطر الدائرة (\(r\)).
    • في المثلث القائم الزاوية \(\triangle ABC\)، القطر \(AC\) هو الوتر.
    • \(AC^2 = AB^2 + BC^2 = r^2 + r^2 = 2r^2\)
    • عوض بقيمة \(r^2\): \(AC^2 = 2\left(\dfrac{100}{\pi}\right) = \dfrac{200}{\pi}\).
    • \(AC = \sqrt{\dfrac{200}{\pi}} = 10\sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \approx\) \(8 \text{ cm}\).
  10. نسب المحيط إلى المساحة: نسبة محيط الدائرة A إلى محيط الدائرة B هي 3:1. ما هي نسبة مساحة الدائرة A إلى مساحة الدائرة B؟
    عرض الحل خطوة بخطوة
    • ليكن \(R_A\) نصف قطر الدائرة A و \(R_B\) نصف قطر الدائرة B.
    • نسبة محيطيهما هي \(\dfrac{2\pi R_A}{2\pi R_B} = \dfrac{R_A}{R_B} = \dfrac{3}{1}\).
    • إذن، \(R_A = 3R_B\).
    • نسبة مساحتيهما هي \(\dfrac{\pi R_A^2}{\pi R_B^2}\).
    • عوض بـ \(3R_B\) بدلاً من \(R_A\): \(\dfrac{\pi(3R_B)^2}{\pi R_B^2} = \dfrac{9\pi R_B^2}{\pi R_B^2} = 9\).
    • نسبة المساحات هي 9:1.
  11. الأوتار المتقاطعة: في دائرة مركزها \(O\)، الوتر \(AB\) عمودي على نصف قطر. يقطع نصف القطر الوتر عند منتصفه \(P\). إذا كان طول نصف قطر الدائرة 10 والمسافة من المركز إلى الوتر (\(OP\)) هي 6، فأوجد طول الوتر \(AB\). A circle showing a chord intersected by a perpendicular radius
    عرض الحل خطوة بخطوة
    • بما أن نصف القطر عمودي على الوتر، فإنه ينشئ مثلثاً قائم الزاوية \(\triangle OAP\)، حيث \(O\) هو المركز، و \(A\) هو أحد طرفي الوتر، و \(P\) هو المنتصف.
    • الوتر \(OA\) هو نصف القطر = 10.
    • الضلع \(OP\) هو المسافة إلى الوتر = 6.

    الخطوة 1: استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد \(AP\)

    • \(OA^2 = OP^2 + AP^2\)
    • \(10^2 = 6^2 + AP^2\)
    • \(100 = 36 + AP^2\)
    • \(AP^2 = 100 - 36 = 64 \implies AP = 8\).

    الخطوة 2: إيجاد الطول الإجمالي للوتر

    • بما أن \(P\) ينصف الوتر، فإن \(AB = 2 \times AP\).
    • \(AB = 2 \times 8 = 16\).

المراجع وروابط مفيدة

الصفحة الرئيسية