مسائل وأسئلة هندسة الصف الثامن مع الإجابات

صُممت هذه الصفحة لمساعدة الطلاب، أولياء الأمور، والمعلمين على ممارسة مفاهيم الهندسة الأساسية من خلال أسئلة مستهدفة وحلول مفصلة خطوة بخطوة. قم بتوسيع الحلول المخفية أسفل كل سؤال للكشف عن الصيغ والتفكير وراء كل إجابة.

تتناول الأسئلة الموجودة على هذه الصفحة مواضيع الهندسة الأساسية للصف الثامن، بما في ذلك:

أسئلة تدريبية

  1. قوانين الأسطوانة: أوجد المساحة السطحية الكلية وحجم وعاء أسطواني مغلق نصف قطره 5 سم وارتفاعه 34 سم.
    تلميح: المساحة \( A = 2\pi r^2 + 2\pi rh \)، الحجم \( V = \pi r^2 h \)
    عرض الحل خطوة بخطوة

    الخطوة 1: حساب المساحة السطحية الكلية

    • \( A = 2\pi(5)^2 + 2\pi(5)(34) \) (التعويض بـ \( r=5 \) و \( h=34 \))
    • \( A = 2\pi(25) + 2\pi(170) \)
    • \( A = 50\pi + 340\pi \)
    • المساحة = \( 390\pi \text{ cm}^2 \)

    الخطوة 2: حساب الحجم

    • \( V = \pi(5)^2(34) \)
    • \( V = \pi(25)(34) \)
    • الحجم = \( 850\pi \text{ cm}^3 \)
  2. قوانين المخروط: أوجد المساحة السطحية الكلية وحجم وعاء مخروطي مغلق نصف قطره 5 سم وارتفاعه 15 سم. (قرب إجاباتك إلى أقرب عدد صحيح).
    تلميح: المساحة \( A = \pi r^2 + \pi r\sqrt{r^2 + h^2} \)، الحجم \( V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h \)
    عرض الحل خطوة بخطوة

    الخطوة 1: حساب المساحة السطحية الكلية

    • أولاً، أوجد الارتفاع الجانبي: \( \sqrt{5^2 + 15^2} = \sqrt{25 + 225} = \sqrt{250} \approx 15.81 \) سم.
    • \( A = \pi(5)^2 + \pi(5)(15.81) \)
    • \( A = 25\pi + 79.05\pi = 104.05\pi \)
    • \( 104.05 \times 3.14159 \approx 326.88 \)
    • المساحة \(\approx 327 \text{ cm}^2 \)

    الخطوة 2: حساب الحجم

    • \( V = \dfrac{1}{3}\pi(5)^2(15) \)
    • \( V = \dfrac{1}{3}\pi(25)(15) = \pi(25)(5) = 125\pi \)
    • \( 125 \times 3.14159 \approx 392.69 \)
    • الحجم \(\approx 393 \text{ cm}^3 \)
  3. العمل بالعكس (المكعبات): مكعب مساحته السطحية الكلية للأوجه الستة تساوي 150 قدمًا مربعة. ما حجم المكعب؟
    تلميح: المساحة \( A = 6s^2 \)، الحجم \( V = s^3 \) (حيث \( s \) هو طول الضلع)
    عرض الحل خطوة بخطوة

    الخطوة 1: إيجاد طول الضلع (\( s \))

    • المساحة السطحية الكلية هي مجموع 6 أوجه مربعة متطابقة.
    • \( 6s^2 = 150 \)
    • \( s^2 = 25 \) (القسمة على 6)
    • \( s = 5 \text{ feet} \) (أخذ الجذر التربيعي)

    الخطوة 2: حساب الحجم

    • \( V = s^3 = 5^3 = 5 \times 5 \times 5 \)
    • الحجم = \( 125 \text{ cubic feet} \)
  4. الزوايا المتتامة: أي زاويتين متتامتان؟
    1. \(21^{\circ}\) و \(78^{\circ}\)
    2. \(58^{\circ}\) و \(22^{\circ}\)
    3. \(67^{\circ}\) و \(23^{\circ}\)
    4. \(140^{\circ}\) و \(40^{\circ}\)
    التعريف: مجموع الزوايا المتتامة يساوي \(90^{\circ}\).
    عرض الحل خطوة بخطوة

    يجب أن نجد الزوج الذي يبلغ مجموعه تماماً \(90^{\circ}\):

    • أ) 21 + 78 = 99^{\circ}
    • ب) 58 + 22 = 80^{\circ}
    • ج) 67 + 23 = 90^{\circ} (هاتان زاويتان متتامتان)
    • د) 140 + 40 = 180^{\circ} (هاتان زاويتان متكاملتان)

    الإجابة: ج

  5. الزوايا المتكاملة: أي زاويتين ليستا متكاملتين؟
    1. \(30^{\circ}\) و \(150^{\circ}\)
    2. \(5^{\circ}\) و \(175^{\circ}\)
    3. \(89^{\circ}\) و \(91^{\circ}\)
    4. \(23^{\circ}\) و \(177^{\circ}\)
    التعريف: مجموع الزوايا المتكاملة يساوي \(180^{\circ}\).
    عرض الحل خطوة بخطوة

    يجب أن نجد الزوج الذي لا يبلغ مجموعه تماماً \(180^{\circ}\):

    • أ) 30 + 150 = 180^{\circ}
    • ب) 5 + 175 = 180^{\circ}
    • ج) 89 + 91 = 180^{\circ}
    • د) 23 + 177 = 200^{\circ} (هاتان لا تساويان 180)

    الإجابة: د

  6. مساحة شبه المنحرف: أوجد الارتفاع \( h \) لشبه المنحرف بحيث تكون مساحته تساوي 400 سنتيمتر مربع. Trapezoid with top base 10cm, bottom base 30cm, and height h
    تلميح: \( A_{\text{trapezoid}} = \dfrac{1}{2}h(b_1 + b_2) \)
    عرض الحل خطوة بخطوة
    • القاعدتان المعطتان هما \( b_1 = 27 \) و \( b_2 = 13 \). المساحة هي 400.
    • \( 400 = \dfrac{1}{2}h(27 + 13) \) (التعويض بالقيم المعطاة)
    • \( 400 = \dfrac{1}{2}h(40) \)
    • \( 400 = 20h \)
    • \( h = \dfrac{400}{20} \)
    • \( h = 20 \text{ cm} \)
  7. مساحة متوازي الأطراف: أوجد العرض \( w \) لمتوازي الأطراف بحيث تكون مساحته تساوي 600 قدم مربع. Parallelogram with height 20 feet and base w
    تلميح: \( A_{\text{parallelogram}} = \text{base} \times \text{height} \)
    عرض الحل خطوة بخطوة
    • الارتفاع المعطى هو 20 قدماً. المساحة هي 600. القاعدة مسماة بـ \( w \).
    • \( 600 = w \times 20 \)
    • \( w = \dfrac{600}{20} \)
    • \( w = 30 \text{ feet} \)
  8. المساحة المركبة: أوجد مساحة الشكل المظلل بناءً على الأبعاد المرئية المقدمة. Complex geometric shape
    عرض الحل خطوة بخطوة
    • مساحة المنطقة المظللة تساوي مساحة المستطيل الكبير (40 في 25) مطروحاً منها مساحة المستطيل الأبيض الصغير (14 في 12) على اليسار ومساحة المثلث الأبيض الذي ارتفاعه 10 وعرضه 25 على اليمين.
    • \( \text{Area of Shaded Region} = 40 \times 25 - 14 \times 12 - \dfrac{1}{2} \times 10 \times 25 = 707 \; \text {cm}^2 \)
  9. المساحة السطحية لصندوق مفتوح: أوجد المساحة السطحية الكلية للصندوق، وهو مفتوح من الأعلى. Open rectangular box dimensions
    عرض الحل خطوة بخطوة

    لإيجاد المساحة السطحية لصندوق مفتوح، نحسب مساحة القاعدة (12 في 9) ونضيف ضعف مساحة الواجهة الأمامية (12 في 11) وضعف مساحة الجانب الأيمن (11 في 9). نحن لا نضمن الوجه العلوي.

    • باستخدام الأبعاد المقدمة في الرسم، احسب الأوجه المستطيلة الفردية.
    • \( \text{Total Surface Area} = 12 \times 9 + 2 \times 11 \times 9 + 2 \times 11 \times 12 = 570 \; \text{cm}^2 \).
  10. الهندسة الإحداثية: إذا كان الشكل الرباعي ABCD متوازي أطراف، فما هي إحداثيات النقطة D؟ Coordinate grid showing points A, B, and C
    عرض الحل خطوة بخطوة

    لكي يكون الشكل ABCD متوازي أطراف، يجب أن يكون الضّلعان المتقابلان متوازيين ومتساويين في الطول. باستخدام المتجهات، لكي يكون ABCD متوازي أطراف، يجب أن يتساوى المتجهان \( \vec{AB} \) و \( \vec{DC} \).

    • مركبات \( \vec{AB} = \langle 8-2, 6-6 \rangle = \langle 6, 0 \rangle \).
    • لتكن \( (a,b) \) إحداثيات النقطة D.
    • مركبات \( \vec{DC} = \langle 7-a, 2-b \rangle \).
    • تتساوى المتجهات إذا تساوت مركباتها، وبالتالي المعادلات: \( 7 - a = 6 \) و \( 2 - b = 0 \).
    • حل المعادلتين لإيجاد: \( a = 1 \) و \( b = 2 \)
    • تقع النقطة D عند (1, 2).
  11. المثلثات القائمة: أي المثلثات المعروضة هي مثلثات قائمة الزاوية؟ Four triangles labeled A, B, C, D
    تلميح: في المثلث القائم الزاوية، \( a^2 + b^2 = c^2 \) (نظرية فيثاغورس) ويجب أن تساوي إحدى الزوايا \(90^{\circ}\).
    عرض الحل خطوة بخطوة
    • أ: الزوايا معطاة في المثلث A: الزاوية الثالثة تساوي \(180 - 62 - 28 = 90^{\circ}\)، إذن المثلث A مثلث قائم الزاوية.
    • ب: الأضلاع معطاة في المثلث B: استخدم نظرية فيثاغورس بافتراض أن الضلع الأطول بطول \(5\) هو الوتر: \(3^2 + 3.9^2 = 24.21\) لا تساوي \(5^2\)، وبالتالي المثلث B ليس مثلثاً قائم الزاوية.
    • ج: الأضلاع معطاة في المثلث C: استخدم نظرية فيثاغورس بافتراض أن الضلع الأطول بطول \(15\) هو الوتر: \(9^2 + 12^2 = 225\) تساوي \(15^2 = 225\)، وبالتالي المثلث C مثلث قائم الزاوية.
    • المثلثان A و C هما مثلثان قائما الزاوية.
  12. زوايا المثلث: أوجد الزاوية الخارجية \( x \) إذا كان المثلث ABC مثلثاً قائم الزاوية مع الزاوية \( B = 90^{\circ} \). Right triangle with an exterior angle x
    تلميح: مجموع الزوايا الداخلية يساوي \(180^{\circ}\). الزوايا الخارجية والزاوية الداخلية المجاورة لها متكاملتان (مجموعهما \(180^{\circ}\)).
    عرض الحل خطوة بخطوة
    • أولاً، حدد الزاوية الداخلية المفقودة باستخدام قاعدة أن مجموع الزوايا الداخلية يساوي \(180^{\circ}\) في المثلث ABC.
    • الزاوية الداخلية المجاورة لـ \( x \) هي \( 180^{\circ} - 90^{\circ} - 47^{\circ} = 43^{\circ} \).
    • بما أن \( x \) يشكل خطاً مستقيماً مع تلك الزاوية الداخلية والزاوية التي قياسها \(35^{\circ}\)، فيجب أن يكون مجموعها \(180^{\circ}\).
    • \( x + 43 + 35 = 180^{\circ} \)
    • حل المعادلة لأجل \( x \): \( x = 102^{\circ} \)
  13. المثلثات المتشابهة: أوجد جميع الأضلاع المجهولة \( x, y, z \) و \( w \) إذا كانت المثلثات الثلاثة متشابهة. Three similar triangles of increasing scale
    تلميح: عندما يكون مثلثان متشابهين، فإن أضلاعهما المتناظرة متناسبة: \( \dfrac{a}{a'} = \dfrac{b}{b'} = \dfrac{c}{c'} \)
    عرض الحل خطوة بخطوة

    لإيجاد الأضلاع المفقودة، قم بإعداد نسب باستخدام الأضلاع المتناظرة للمثلثات المتشابهة.

    • \( \dfrac{12}{36} = \dfrac{17}{y} = \dfrac{3}{x} \)
    • \( \dfrac{12}{z} = \dfrac{17}{204} = \dfrac{3}{w} \)
    • حل المعادلات: \( \dfrac{12}{36} = \dfrac{17}{y} \) و \( \dfrac{12}{36} = \dfrac{3}{x} \) و \( \dfrac{12}{z} = \dfrac{17}{204} \) و \( \dfrac{17}{204} = \dfrac{3}{w} \) للحصول على:
    • \( x = 9 \)
    • \( y = 51 \)
    • \( z = 144 \)
    • \( w = 36 \)
  14. الانعكاس الإحداثي: شكل رباعي رؤوسه (-2, 6) و (6, 8) و (9, 2) و (4, -1) منعكس حول محور السينات (x). ما هي إحداثيات الرؤوس بعد الانعكاس؟
    تلميح: الانعكاس حول محور السينات (x): \( (x,y) \to (x,-y) \)
    عرض الحل خطوة بخطوة

    لعكس نقطة عبر محور السينات (x)، يظل الإحداثي السيني كما هو، بينما يتغير إشارة الإحداثي الصادي.

    • \( (-2, 6) \to \) \( (-2, -6) \)
    • \( (6, 8) \to \) \( (6, -8) \)
    • \( (9, 2) \to \) \( (9, -2) \)
    • \( (4, -1) \to \) \( (4, 1) \)
  15. مقاييس الحجم: ضلع المكعب A يساوي 3 أضعاف ضلع المكعب B. حجم المكعب A هو 3,375 قدمًا مكعبة. أوجد حجم المكعب B.
    تلميح: \( V = s^3 \)
    عرض الحل خطوة بخطوة

    الطريقة الأولى: معامل التمدد (المقياس)

    • إذا كانت نسبة طول الضلع 3:1، فإن نسبة الحجم تكون مكعبة: \( 3^3 : 1^3 = 27:1 \).
    • هذا يعني أن المكعب A أكبر بـ 27 مرة في الحجم من المكعب B.
    • \( 3375 \div 27 = \) \( 125 \text{ cubic feet} \).

    الطريقة الثانية: الجبر

    • \( V_A = (s_A)^3 = 3375 \). إذن، \( s_A = \sqrt[3]{3375} = 15 \text{ feet} \).
    • بما أن \( s_A = 3 \times s_B \)، إذن \( 15 = 3 \times s_B \)، إذن \( s_B = 5 \text{ feet} \).
    • \( V_B = (5)^3 = \) \( 125 \text{ cubic feet} \).
  16. مقاييس المساحة (مستطيلات متشابهة): طول المستطيل A هو 24 سم وطول المستطيل B هو 96 سم. المستطيلان متشابهان. أوجد نسبة مساحة A إلى مساحة B.
    تلميح: نسبة مساحات الأشكال المتشابهة هي مربع نسبة أضلاعها المتناظرة.
    عرض الحل خطوة بخطوة
    • أوجد نسبة أطوالهما المتناظرة: \( \dfrac{24}{96} \).
    • بسط نسبة الأضلاع: \( \dfrac{24}{96} = \dfrac{1}{4} \).
    • لإيجاد نسبة المساحة، ربع نسبة الأضلاع: \( \left(\dfrac{1}{4}\right)^2 = \dfrac{1^2}{4^2} = \dfrac{1}{16} \).
    • نسبة مساحة A إلى مساحة B هي 1:16.

المراجع وروابط مفيدة

الصفحة الرئيسية