كيف تجد القاسم المشترك الأكبر (GCF) لعددين؟

لإيجاد القاسم المشترك الأكبر، اكتب التحليل إلى عوامل أولية لكل عدد واضرب العوامل الأولية المشتركة. على سبيل المثال، القاسم المشترك الأكبر لـ 100 و 180 هو 20.

كيف تتحقق مما إذا كان العدد قابلاً للقسمة على 6؟

يكون العدد قابلاً للقسمة على 6 إذا كان قابلاً للقسمة على كل من 2 (ينتهي بعدد زوجي) و 3 (مجموع أجزائه مضاعف لـ 3).

كيف تحسب احتمال حدثين مستقلين؟

اضرب احتمال الحدث الأول في احتمال الحدث الثاني. على سبيل المثال، رمي عملة معدنية (1/2) ورمي رقم معين على حجر نرد (1/6) لها احتمال مشترك قدره 1/12.

اختبار تدريبي لرياضيات الصف الثامن: الأسئلة والحلول خطوة بخطوة

تقييم التعابير التالية:
أ) $[-2 \times (-4) + 3] \times [3 \times (-4) - 4]$
ب) $[-2 \times (-3 + 1) + 3] \times [2 \times (-3 - 5) - 4]$

عرض الحل خطوة بخطوة

أ)
$[-2 \times (-4) + 3] \times [3 \times (-4) - 4]$
$= [8 + 3] \times [-12 - 4]$
$= 11 \times (-16) = -176$

ب)
$[-2 \times (-3 + 1) + 3] \times [2 \times (-3 - 5) - 4]$
$= [-2 \times (-2) + 3] \times [2 \times (-8) - 4]$
$= [4 + 3] \times [-16 - 4]$
$= 7 \times (-20) = -140$

أي مما يلي ليس عدداً نسبياً؟
أ) $0.2$ ب) $\pi$ ج) $\dfrac{2}{5}$

عرض الحل خطوة بخطوة

الإجابة: ب) $\pi$

$\pi$ ليس عدداً نسبياً لأنه لا يمكن التعبير عنه ككسر بسيط لعددين صحيحين.

ما قيمة الرقم 5 في العدد 34.6597؟

عرض الحل خطوة بخطوة

يقع الرقم 5 في منزلة الأجزاء من مئة، مما يجعل قيمته $0.05$ أو $\dfrac{5}{100}$.

ما هو الحد التالي في المتتابعة؟ $3, 6, 9, 12, \ldots$

عرض الحل خطوة بخطوة

نلاحظ أنه عندما ننتقل من حد إلى الحد الذي يليه، نضيف $3$؛ وبالتالي فإن الحد التالي يساوي: $12 + 3 = 15$.

ما هو الحد التالي في المتتابعة؟ $1, 3, 9, 27, \ldots$

عرض الحل خطوة بخطوة

نلاحظ أنه عندما ننتقل من حد إلى الحد الذي يليه، نضرب في $3$؛ وبالتالي يتم إعطاء الحد التالي بواسطة: $27 \times 3 = 81$.

متتابعة من الأعداد معرفة كالتالي $2n + 1$ حيث $n = 1, 2, 3, \ldots$
أ) أوجد الحدود الخمسة الأولى للمتتابعة بدءاً من $n = 1$.
ب) هل المتتابعة المعطاة حسابية، هندسية، أم غير ذلك؟

عرض الحل خطوة بخطوة

أ) عوض بـ $n = 1, 2, 3, 4, 5$ في التعبير $2n + 1$:
عندما $n=1$، $2(1)+1 = 3$
عندما $n=2$، $2(2)+1 = 5$
عندما $n=3$، $2(3)+1 = 7$
عندما $n=4$، $2(4)+1 = 9$
عندما $n=5$، $2(5)+1 = 11$

ب) بالانتقال من حد إلى آخر، نضيف 2، وبالتالي فهي متتابعة حسابية بفارق مشترك يساوي 2.

متتابعة من الأعداد معرفة كالتالي $3 \times 2^{n-1}$ حيث $n = 1, 2, 3, \ldots$
أ) أوجد الحدود الخمسة الأولى للمتتابعة بدءاً من $n = 1$.
ب) هل المتتابعة المعطاة حسابية، هندسية، أم غير ذلك؟

عرض الحل خطوة بخطوة

أ) عوض بـ $n = 1, 2, 3, 4, 5$ في التعبير $3 \times 2^{n-1}$:
عندما $n=1$، $3 \times 2^{1-1} = 3 \times 2^0 = 3$
عندما $n=2$، $3 \times 2^{2-1} = 3 \times 2^1 = 6$
عندما $n=3$، $3 \times 2^{3-1} = 3 \times 2^2 = 12$
عندما $n=4$، $3 \times 2^{4-1} = 3 \times 2^3 = 24$
عندما $n=5$، $3 \times 2^{5-1} = 3 \times 2^4 = 48$

ب) بالانتقال من حد إلى آخر، نضرب في 2، وبالتالي فهي متتابعة هندسية بنسبة مشتركة تساوي 2.

المجموعتان $S_1$ و $S_2$ معرفتان كالتالي: $S_1 = \{0, 2, 9, 12\}$ و $S_2 = \{2, 9, 10, 11, 12\}$. أوجد عناصر:
أ) $S_1 \cap S_2$
ب) $S_1 \cup S_2$

عرض الحل خطوة بخطوة

أ) تقاطع مجموعتين هو مجموعة كافة العناصر المشتركة في كلتا المجموعتين. إذن $S_1 \cap S_2 = \{2, 9, 12\}$.

ب) اتحاد مجموعتين هو مجموعة كافة العناصر في المجموعتين (بدون تكرار). إذن $S_1 \cup S_2 = \{0, 2, 9, 10, 11, 12\}$.

ليكن $Q$ = جميع الأعداد النسبية، $P$ = جميع الأعداد غير النسبية، $R$ = جميع الأعداد الحقيقية. أي مما يلي صحيح؟
أ) $Q \cap P = R$ ب) $Q \cup P = R$ ج) $Q \cup P = \text{مجموعة خالية}$ د) $Q \cap P = \text{مجموعة خالية}$

عرض الحل خطوة بخطوة

أي عدد حقيقي إما أن يكون نسبياً أو غير نسبياً ولكن ليس كليها، لذا فإن $Q \cap P = \text{مجموعة خالية}$ صحيحة. مجموعة كافة الأعداد الحقيقية هي اتحاد الأعداد النسبية وغير النسبية، لذا فإن $Q \cup P = R$ صحيحة.

العبارتان ب) و د) صحيحتان.

عبر عن الأعداد التالية كحاصل ضرب عوامل أولية: أ) 345 ب) 150 ج) 210

عرض الحل خطوة بخطوة

أ) $345 = 3 \times 5 \times 23$

ب) $150 = 2 \times 3 \times 5 \times 5$

ج) $210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7$

ما هو القاسم المشترك الأكبر (GCF) للعددين 100 و 180؟

عرض الحل خطوة بخطوة

القاسم المشترك الأكبر للعددين 100 و 180 هو 20.

ما هو المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للعددين 100 و 15؟

عرض الحل خطوة بخطوة

المضاعف المشترك الأصغر للعددين 100 و 15 هو 300.

أي الأعداد يقبل القسمة على 3؟ أ) 101899 ب) 900234 ج) 134567280

عرض الحل خطوة بخطوة

يكون العدد قابلاً للقسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه قابلاً للقسمة على 3.

أ) 101899: المجموع = $1+0+1+8+9+9 = 28$. (لا يقبل القسمة)

ب) 900234: المجموع = $9+0+0+2+3+4 = 18$. (نعم، يقبل القسمة)

ج) 134567280: المجموع = $1+3+4+5+6+7+2+8+0 = 36$. (نعم، يقبل القسمة)

أي الأعداد يقبل القسمة على 4؟ أ) 189001 ب) 1005612 ج) 1003456024

عرض الحل خطوة بخطوة

يكون العدد قابلاً للقسمة على 4 إذا كان رقماه الأيمنان يشكلان عدداً قابلاً للقسمة على 4.

أ) 189001: الرقمان الأخيران $01$. (لا يقبل القسمة)

ب) 1005612: الرقمان الأخيران $12$. (نعم، يقبل القسمة)

ج) 1003456024: الرقمان الأخيران $24$. (نعم، يقبل القسمة)

أي الأعداد يقبل القسمة على 6؟ أ) 234 ب) 12345 ج) 12114290910

عرض الحل خطوة بخطوة

لكي يكون العدد قابلاً للقسمة على 6، يجب أن يكون قابلاً للقسمة على 2 (زوجي) وعلى 3.

أ) 234: زوجي، ومجموع الأرقام $2+3+4=9$ (نعم، يقبل القسمة)

ب) 12345: فردي (لا يقبل القسمة على 2، وبالتالي لا يقبل القسمة على 6)

ج) 12114290910: زوجي، ومجموع الأرقام $30$. (نعم، يقبل القسمة)

أي من أزواج الكسور التالية متكافئ؟
أ) $\dfrac{10}{15}, \dfrac{7}{3}$ ب) $\dfrac{8}{12}, \dfrac{2}{3}$ ج) $\dfrac{7}{12}, \dfrac{21}{36}$

عرض الحل خطوة بخطوة

ابدأ بالكسر في أبسط صورة واضربه في معامل للحصول على الكسر الثاني.

أ) اضرب بسط ومقام $\dfrac{7}{3}$ في 5 لتصبح $\dfrac{35}{15}$. هذا لا يطابق $\dfrac{10}{15}$. (غير متكافئان)

ب) اضرب بسط ومقام $\dfrac{2}{3}$ في 4 لتصبح $\dfrac{8}{12}$. (متكافئان)

ج) اضرب بسط ومقام $\dfrac{7}{12}$ في 3 لتصبح $\dfrac{21}{36}$. (متكافئان)

احسب قيم ما يلي:
أ) $\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{10} - \dfrac{1}{15}$ ب) $\dfrac{7}{16} \times \dfrac{4}{14}$ ج) $\dfrac{11}{2} \div 4$
د) $4\dfrac{3}{4} - 1\dfrac{1}{2} + 1\dfrac{1}{8}$ هـ) $1\dfrac{3}{4} \div \left(3 + \dfrac{1}{3}\right)$

عرض الحل خطوة بخطوة

أ) المضاعف المشترك الأصغر لـ $5, 10, 15$ هو $30$. $\dfrac{12}{30} + \dfrac{9}{30} - \dfrac{2}{30} = \dfrac{19}{30}$

ب) $\dfrac{7}{16} \times \dfrac{4}{14}$. تحليل العوامل: $\dfrac{7 \times 4}{(4 \times 4) \times (2 \times 7)}$. احذف العوامل المشتركة لتحصل على $\dfrac{1}{8}$

ج) اضرب في المقلوب: $\dfrac{11}{2} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{11}{8}$

د) اجمع الأجزاء الصحيحة والكسور معاً: $(4-1+1) + (\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8}) = 4 + (\dfrac{6}{8} - \dfrac{4}{8} + \dfrac{1}{8}) = 4\dfrac{3}{8}$

هـ) حول إلى كسور: $\dfrac{7}{4} \div \dfrac{10}{3} = \dfrac{7}{4} \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{21}{40}$

اكتب في صورة كسور في أبسط صورة: أ) $0.2 \div 0.6$ ب) $1 \div 0.4$

عرض الحل خطوة بخطوة

أ) $0.2 \div 0.6 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

ب) $1 \div 0.4 = \dfrac{10}{4} = \dfrac{8+2}{4} = 2\dfrac{1}{2}$

تنفق داليا ربع راتبها على الطعام والمشروبات. وهي تنفق خمس ذلك المبلغ على المشروبات الغازية وسدس ذلك المبلغ على الكعك. ما هو كسر راتبها الذي يُنفق على المشروبات الغازية والكعك؟

عرض الحل خطوة بخطوة

المشروبات الغازية: $\dfrac{1}{5}$ من $\dfrac{1}{4}$ من راتبها.

الكعك: $\dfrac{1}{6}$ من $\dfrac{1}{4}$ من راتبها.

المجموع: $\dfrac{1}{5} \times \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} \left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6}\right) = \dfrac{1}{4} \left(\dfrac{11}{30}\right) = \dfrac{11}{120}$

يقضي جيمس ساعتين في اليوم على الواجب المنزلي من الإثنين إلى الجمعة. يقضي بن $\dfrac{3}{4}$ تلك المدة؛ وتُقضي ليندا $\dfrac{5}{4}$ تلك المدة. كم ساعة يقضونها في الواجب خلال الأسبوع؟

عرض الحل خطوة بخطوة

جيمس: $2 \times 5 = 10$ ساعات في الواجب خلال أيام الأسبوع.

بن: $\dfrac{3}{4} \times 10 = 7.5$ ساعات في الواجب خلال أيام الأسبوع.

ليندا: $\dfrac{5}{4} \times 10 = 12.5$ ساعة في الواجب خلال أيام الأسبوع.

صنعت سارة 1.5 لتر من العصير. تسع كؤوسها $\dfrac{1}{6}$ لتر. كم كأساً يمكنها ملؤه؟

عرض الحل خطوة بخطوة

باستخدام الكسور المختلطة، يُكتب 1.5 لتر كـ $1\dfrac{1}{2}$ أو $\dfrac{3}{2}$ لتر.

عدد الكؤوس = $\dfrac{3}{2} \div \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{2} \times 6 = 9$ كؤوس.

احسب قيم ما يلي:
أ) $(-2)^3 - 5^3 + (-3)^4$
ب) $(-1)^{-3} - 5^0 + \dfrac{4^2}{(-2)^4}$
ج) $\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{4}{3}\right)^{-2}$

عرض الحل خطوة بخطوة

أ) $-8 - 125 + 81 = -52$

ب) $\dfrac{1}{(-1)^3} - 1 + \dfrac{16}{16} = -1 - 1 + 1 = -1$

ج) $\dfrac{3^2}{4^2} + \dfrac{4^{-2}}{3^{-2}} = \dfrac{9}{16} + \dfrac{3^2}{4^2} = \dfrac{9}{16} + \dfrac{9}{16} = \dfrac{18}{16} = \dfrac{9}{8}$

اكتب بالصيغة الأسية (للأساس عشرة): أ) 10000 ب) 0.0000001 ج) $\dfrac{1}{100000}$

عرض الحل خطوة بخطوة

أ) $10^4$ ب) $10^{-7}$ ج) $\dfrac{1}{10^5} = 10^{-5}$

اكتب بالصيغة العلمية: أ) $12.4 \times 10^3$ ب) $0.0023 \times 10^{-2}$ ج) $\dfrac{12}{100000}$

عرض الحل خطوة بخطوة

أ) $1.24 \times 10^4$ ب) $2.3 \times 10^{-5}$ ج) $\dfrac{12}{10^5} = 12 \times 10^{-5} = 1.2 \times 10^{-4}$

بسط: أ) $\sqrt{16}$ ب) $\sqrt{9}$ ج) $\sqrt[3]{8}$

عرض الحل خطوة بخطوة

أ) 4 لأن $4^2=16$ ب) 3 لأن $3^2=9$ ج) 2 لأن $2^3=8$

اختصر إلى أبسط صورة: أ) $\sqrt{3 \times 25}$ ب) $\sqrt{36 \times 5}$ ج) $\sqrt[3]{8 \times 7}$

عرض الحل خطوة بخطوة

أ) $\sqrt{3} \times \sqrt{25} = 5\sqrt{3}$ ب) $\sqrt{36} \times \sqrt{5} = 6\sqrt{5}$ ج) $\sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{7} = 2\sqrt[3]{7}$

مشت ليلى لمدة 5 ساعات. يوضح الرسم البياني المسافة $d$ مقابل الزمن $t$.
أ) اكتب معادلة $d = kt$.
ب) إذا بدأت في الساعة 8 صباحاً، فمتى كانت على بعد 10 كم؟ $Distance against time graph$

عرض الحل خطوة بخطوة

أ) استخدم نقطة على الرسم البياني. على سبيل المثال، عندما يكون $t = 1$ فإن $d = 4$. عوض بـ $t$ بـ 1 و $d$ بـ 4 في المعادلة $d = k \times t$ للحصول على $4 = k \times 1$، ومن ثم $k = 4$. العلاقة هي $d = 4t$.

ب) أوجد الزمن الذي تستغرقه ليلى لقطع مسافة $d = 10$ كم بحل المعادلة $10 = 4t \rightarrow t = 10 \div 4 = 2.5$ ساعة. يمكن كتابة 2.5 ساعة كـ 2:30. إنها على بعد 10 كم في تمام الساعة: 8:00 + 2:30 = 10:30 صباحاً.

هل يشير الجدول إلى أن $y$ يتناسب طردياً مع $x$؟ $Tables of proportionality$
أ) إذا كانت الإجابة بنعم، أوجد $k$ بحيث $y = kx$.
ب) أوجد $y$ عندما $x=10.2$.

عرض الحل خطوة بخطوة

تمت إضافة عمود يحتوي على النسبة $y / x$ وهو يوضح أن النسبة ثابتة وتساوي 3. إذن $y$ يتناسب طردياً مع $x$.

$Tables of Proportionality Solution$

أ) بما أن $y / x = 3$، يمكننا كتابة $y = 3x$. إذن $k = 3$.

ب) $y = 3 \times 10.2 = 30.6$.

صنبور يملأ 10 لترات في دقيقتين، و20 لترًا في 4 دقائق، و30 لترًا في 6 دقائق.
أ) ارسم النقاط بحيث يكون الحجم $V$ على المحور الرأسي، والزمن $t$ على المحور الأفقي.
ب) هل $V$ متناسب مع $t$?
ج) إذا كانت الإجابة بنعم، أوجد $k$ بحيث $V = kt$.
د) أوجد الزمن اللازم لملء 100 لتر.

عرض الحل خطوة بخطوة

أ) من المعلومات المعطاة، يمكننا كتابة ثلاث نقاط $(V, t)$: $(2,10)$، $(4,20)$ و $(6,30)$ والتي تم رسمها أدناه.

$Volume Versus Time$

ب) النقاط الثلاث تقع على نفس الخط المستقيم المار بنقطة الأصل، وبالتالي توجد علاقة تناسب بين $V$ و $t$.

ج) ثابت التناسب $k$ هو $V \div t$. إذن $k = 10 \div 2 = 5$. وعليه $V = 5t$.

د) عوض بـ $V=100$ في المعادلة: $100 = 5t \rightarrow t = 100 \div 5 = 20$ دقيقة.

سعر سلعة 120 دولاراً ويزداد بنسبة 12%. ما هو السعر الجديد؟

عرض الحل خطوة بخطوة

السعر بعد الزيادة = 120 دولاراً + 12% من 120 دولاراً.

مكتوبة رياضياً: $120 + \dfrac{12}{100} \times 120 = 120 + 14.4 = \$134.40$.

ينفق جيمي 50% من راتبه على الإيجار والفواتير، و15% من هذا المبلغ على الفواتير. ما هي النسبة المئوية من إجمالي راتبه التي تنفق على الفواتير؟

عرض الحل خطوة بخطوة

النسبة المئوية المنفقة على الفواتير = 15% من 50% من راتبه.

مكتوبة رياضياً: $\dfrac{15}{100} \times \dfrac{50}{100} = \dfrac{750}{10000} = \dfrac{7.5}{100} = 7.5\%$.

تخلف وجبة تكلفة 40 دولاراً. الضريبة 15%؛ والبقشيش 5% من المبلغ الخاضع للضريبة. ما هي التكلفة الإجمالية؟

عرض الحل خطوة بخطوة

التكلفة بعد الضريبة = $40 + \dfrac{15}{100} \times 40 = \$46$.

التكلفة بعد البقشيش = $46 + \dfrac{5}{100} \times 46 = \$48.30$.

تكسب كاميليا $ \$5000 $ وتنقذ: $ \$400 $ على الملابس، $ \$1200 $ إيجار، $ \$200 $ فواتير، $ \$1200 $ طعام/خروجات، $ \$600 $ سيارة، وتدخر الباقي. ما هي النسبة المئوية المدخرة؟

عرض الحل خطوة بخطوة

مصروفات كاميليا = $\$400 + \$1200 + \$200 + \$1200 + \$600 = \$3600$.

المدخرات = الراتب - المصروفات = $\$5000 - \$3600 = \$1400$.

مدخرات كاميليا كنسبة مئوية من الراتب = $\dfrac{1400}{5000} = 0.28 = 28\%$.

10% من ثلث عدد ما يساوي 3. ما هو هذا العدد؟

عرض الحل خطوة بخطوة

ليكن $x$ هو العدد المجهول. $\dfrac{10}{100} \times \dfrac{1}{3} \times x = 3$.

$\dfrac{10x}{300} = 3$. اضرب الطرفين في 300 لتحصل على $10x = 900 \rightarrow x = 90$.

ارتفع سعر البنزين من $ \$3 $ إلى $ \$4 $ للجالون في الولايات المتحدة، ومن 1.5 إلى 2 يورو للتر في فرنسا. أيهما شهد زيادة مئوية أكبر؟

عرض الحل خطوة بخطوة

النسبة المئوية لزيادة البنزين في الولايات المتحدة = $\dfrac{4 - 3}{3} = 0.33333 = 33.33\%$.

النسبة المئوية لزيادة البنزين في فرنسا = $\dfrac{2 - 1.5}{1.5} = 0.33333 = 33.33\%$.

كلا البلدين شهدا نفس النسبة المئوية للزيادة تماماً.

حول 10.5 قدم إلى أمتار بمعلومية أن 1 متر = 3.28084 قدم.

عرض الحل خطوة بخطوة

اقسم طرفي المعادلة على 3.28084 قدم لتحصل على $\dfrac{1 \text{ m}}{3.28084 \text{ ft}} = 1$.

$10.5 \text{ ft} \times \dfrac{1 \text{ m}}{3.28084 \text{ ft}} = 3.20039 \text{ m}$.

حول 1.3 كم إلى ياردات بمعلومية أن 1 كم = 1093.61 ياردة.

عرض الحل خطوة بخطوة

$1.3 \text{ km} = 1.3 \times 1093.61 \text{ yd} = 1421.69 \text{ yd}$.

حول $1.2 \text{ m}^2$ إلى $\text{yd}^2$ بمعلومية 1 متر = 1.09361 ياردة.

عرض الحل خطوة بخطوة

ربع طرفي المعادلة المعطاة للحصول على $1 \text{ m}^2 = (1.09361)^2 \text{ yd}^2 = 1.19598 \text{ yd}^2$.

$1.2 \text{ m}^2 = 1.2 \times 1.19598 \text{ yd}^2 = 1.435176 \text{ yd}^2$.

حول 100 كم/ساعة إلى متر/ثانية.

عرض الحل خطوة بخطوة

$1 \text{ km} = 1000 \text{ m}$ و $1 \text{ hr} = 3600 \text{ sec}$.

$\dfrac{100 \text{ km}}{1 \text{ hr}} = \dfrac{100 \times 1000 \text{ m}}{1 \times 3600 \text{ sec}} \approx 27.77777 \text{ m/sec}$.

احسب قيمة التعبير $\dfrac{1}{x+2} - \dfrac{1}{x-2}$ عندما $x=1$.

عرض الحل خطوة بخطوة

عوض بـ $x$ بـ 1: $\dfrac{1}{(1)+2} - \dfrac{1}{(1)-2} = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{-1} = \dfrac{1}{3} + 1 = 1\dfrac{1}{3}$.

احسب قيمة التعبير $\left|\dfrac{-x+1}{-6}\right| + x^2 - 1$ عندما $x=-5$.

عرض الحل خطوة بخطوة

عوض بـ $x$ بـ -5: $\left|\dfrac{-(-5)+1}{-6}\right| + (-5)^2 - 1 = \left|\dfrac{5+1}{-6}\right| + 25 - 1 = |-1| + 25 - 1 = 1 + 25 - 1 = 25$.

احسب قيمة $2^a - \sqrt{b^2}$ عندما $a=2$ و $b=-2$.

عرض الحل خطوة بخطوة

عوض بـ $a$ بـ 2 و $b$ بـ -2: $2^{(2)} - \sqrt{(-2)^2} = 4 - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2$.

بسط: أ) $3(x+2) + x - 12$ ب) $\dfrac{1}{5}(15x+20) + 2x + 4$ ج) $0.2(5x+10) + 3x - 4$

عرض الحل خطوة بخطوة

أ) $3x + 6 + x - 12 = (3x+x) + (6-12) = 4x - 6$

ب) $\dfrac{1}{5} \times 15x + \dfrac{1}{5} \times 20 + 2x + 4 = 3x + 4 + 2x + 4 = 5x + 8$

ج) $0.2 \times 5x + 0.2 \times 10 + 3x - 4 = x + 2 + 3x - 4 = 4x - 2$

بسط: أ) $2x \cdot 3x$ ب) $\dfrac{1}{2}x \cdot \dfrac{4}{5}x$ ج) $3x^2 \cdot 5x^3$

عرض الحل خطوة بخطوة

أ) $(2 \times 3) \times (x \times x) = 6x^2$

ب) $\left(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{5}\right) \times (x \times x) = \dfrac{2}{5}x^2$

ج) $(3 \times 5) \times (x^2 \times x^3) = 15x^5$

حلل إلى عوامل: أ) $21x + 7$ ب) $24 - 20x$ ج) $8b - 4a + 32$

عرض الحل خطوة بخطوة

أ) القاسم المشترك الأكبر لـ 21 و 7 هو 7. إذن $7(3x + 1)$

ب) القاسم المشترك الأكبر لـ 24 و 20 هو 4. إذن $4(6 - 5x)$

ج) القاسم المشترك الأكبر لـ 8 و 4 و 32 هو 4. إذن $4(2b - a + 8)$

حل المعادلات التالية:
أ) $3(x - 2 ) = 3$
ب) $2(9 - x) = - (x + 5)$
ج) $\dfrac{x+1}{3} = 6$
د) $4\left(x + \dfrac{1}{4}\right) = -15$
هـ) $x - \dfrac{x}{2} = 3$

عرض الحل خطوة بخطوة

أ) $3x - 6 = 3 \rightarrow 3x = 9 \rightarrow x = 3$

ب) $18 - 2x = -x - 5 \rightarrow 18 = x - 5 \rightarrow x = 23$

ج) اضرب في 3: $x + 1 = 18 \rightarrow x = 17$

د) $4x + 1 = -15 \rightarrow 4x = -16 \rightarrow x = -4$

هـ) اضرب في 2: $2x - x = 6 \rightarrow x = 6$

حديقة مستطيلة طولها 12 م وعرضها 8 م. تم إنشاء ممر بعرض $x$ حول الحديقة بحيث يكون المحيط الخارجي ضعف المحيط الأصلي. $Rectangular Garden with Path$
أ) اكتب معادلة بدلالة $x$.
ب) أوجد قيمة $x$.
ج) أوجد طول وعرض المحيط الخارجي.
د) أوجد المساحة الكلية (الحديقة + الممر).
هـ) أوجد مساحة الحديقة.
و) أوجد مساحة الممر.

عرض الحل خطوة بخطوة

أ) طول المحيط الخارجي: $L = 12 + 2x$. العرض: $W = 8 + 2x$. المحيط الخارجي = $2(12 + 2x) + 2(8 + 2x) = 40 + 8x$. محيط الحديقة (البيضاء) = $2(12) + 2(8) = 40$. المحيط الخارجي ضعف محيط الحديقة، إذن $40 + 8x = 2 \times 40$.

ب) $40 + 8x = 80 \rightarrow 8x = 40 \rightarrow x = 5 \text{ m}$.

ج) الطول = $12 + 2(5) = 22 \text{ m}$، العرض = $8 + 2(5) = 18 \text{ m}$.

د) المساحة الكلية = $22 \times 18 = 396 \text{ m}^2$.

هـ) مساحة الحديقة = $12 \times 8 = 96 \text{ m}^2$.

و) مساحة الممر = المساحة الكلية - مساحة الحديقة = $396 - 96 = 300 \text{ m}^2$.

عند طرح 10 من ضعفي عدد ما وضرب الناتج في النصف، تكون الإجابة 5. ما هو العدد الأصلي؟

عرض الحل خطوة بخطوة

ليكن $x$ العدد الأصلي. عبارة "طرح 10 من ضعفي عدد" تصبح $2x - 10$. و"ضرب الناتج في النصف" تصبح $\dfrac{1}{2}(2x - 10)$. الإجابة تساوي 5: $\dfrac{1}{2}(2x - 10) = 5$.

اضرب الطرفين في 2: $2x - 10 = 10 \rightarrow 2x = 20 \rightarrow x = 10$.

حل: أ) $x + 2 < 4$ ب) $2(x + 3) \ge 2$ ج) $-3x + 2 \le 11$ د) $\dfrac{4x+1}{2} \ge x + 3$

عرض الحل خطوة بخطوة

أ) $x < 2$

ب) $2x + 6 \ge 2 \rightarrow 2x \ge -4 \rightarrow x \ge -2$

ج) $-3x \le 9 \rightarrow x \ge -3$ (اعكس اتجاه علامة المتباينة لأن -3 عدد سالب).

د) $4x + 1 \ge 2x + 6 \rightarrow 2x \ge 5 \rightarrow x \ge 5/2$

أي من الأزواج المرتبة التالية يمثل دالة؟
أ) $\{(1,2), (3,4), (5,7), (5,9)\}$
ب) $\{(-1,-2), (3,4), (5,7), (7,9)\}$
ج) $\{(3,3), (9,4), (5,7), (9,0)\}$

عرض الحل خطوة بخطوة

الدالة هي علاقة بين مجموعتين بحيث يوافق كل مدخلة مخرجة واحدة فقط.

العلاقة ب) هي دالة. الخيار أ) يحتوي على المدخلة 5 مرتبطة بـ 7 و 9. الخيار ج) يحتوي على المدخلة 9 مرتبطة بـ 4 و 0.

أي من الرسوم البيانية أدناه قد يكون تمثيلاً بيانيا لدالة خطية؟ أوجد معادلتها. $Graph of Functions$

عرض الحل خطوة بخطوة

الرسم البياني (3) هو خط مستقيم وبالتالي فهو تمثيل بياني لدالة خطية.

أوجد نقطتين (0,2) و (2,6) واحسب الميل: $ m = \dfrac{6-2}{2-0} = 2 $

اكتب معادلة الخط المستقيم بصيغة الميل والمقطع: $ y = 2 + 2x $

بالتحديد $y = 2x + 1$:
أ) أوجد $y$ عندما $x = 0$ و $x = 1$.
ب) استخدم هذه القيم لتمثيل $y = 2x + 1$ بيانيا.

عرض الحل خطوة بخطوة

أ) عندما $x=0$، $y = 2(0)+1 = 1$. عندما $x=1$، $y = 2(1)+1 = 3$. الزوجان المرتبان هما $(0, 1)$ و $(1, 3)$.

ب) التمثيل البياني لدالة خطية هو خط مستقيم. يمكن استخدام الزوجين المرتبين اللذين تم الحصول عليهما لتمثيل الدالة بيانيا كما هو موضح أدناه.

$Graph of the Function y = 2x + 1$

تم تمثيل دالتين بيانيا أدناه. $Graph of Linear Functions$
أ) بدون إجراء حسابات، أيهما له معدل تغير أعلى؟
ب) أوجد إحداثيات نقطتين على كل منهما.
ج) احسب معدل التغير لكل منهما لتأكيد (أ).

عرض الحل خطوة بخطوة

أ) الدالة المقابلة للرسم البياني (1) لها معدل تغير أعلى لأنها تزداد بشكل أسرع كلما زاد $x$.

$Graph of Linear Functions with Points$

ب) النقاط على الرسم البياني (1): $(0,1)$ و $(3,7)$. النقاط على الرسم البياني (2): $(0,3)$ و $(8,8)$.

ج) المعدل 1: $\dfrac{7-1}{3-0} = \dfrac{6}{3} = 2$. المعدل 2: $\dfrac{8-3}{8-0} = 5/8$. الحسابات تؤكد أن معدل التغير لـ (1) هو الأعلى.

ضلعا القائمة في مثلث قائم الزاوية هما 6 سم و 8 سم. ما هو طول الوتر؟

عرض الحل خطوة بخطوة

ليكن $h$ هو الوتر. باستخدام نظرية فيثاغورس: $h^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. إذن $h = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}$.

يتقاطع ثلاثة خطوط مستقيمة في $O$. بمعلومية $\angle AOB = 31^\circ$ و $\angle AOC = 79^\circ$، أوجد قياس $\angle EOF$. $Vertical Angles$

عرض الحل خطوة بخطوة

لاحظ أن $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC$. إذن $79^\circ = 31^\circ + \angle BOC$. ومن ثم $\angle BOC = 79^\circ - 31^\circ = 48^\circ$.

الزاويتان $\angle BOC$ و $\angle EOF$ متقابلتان بالرأس وبالتالي لهما قياسان متساويان. إذن $\angle EOF = 48^\circ$.

كم عدد خطوط التناظر التي يمتلكها المربع؟

عرض الحل خطوة بخطوة

يمتلك المربع 4 خطوط تناظر كما هو موضح أدناه.

$Lines of Symmetry of a Square$

بمعلومية $m\angle 1 = 40^\circ$، أوجد قياسات جميع الزوايا الثمانية في التقاطع الموازي. $Parallel and Intersecting Lines$

عرض الحل خطوة بخطوة

الزاويتان $m\angle 1$ و $m\angle 2$ متكاملتان ومجموعهما $180^\circ$. إذن $m\angle 2 = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.

$m\angle 1$ و $m\angle 3$ متقابلتان بالرأس (متساويتان). $m\angle 3 = 40^\circ$.

$m\angle 2$ و $m\angle 4$ متقابلتان بالرأس (متساويتان). $m\angle 4 = 140^\circ$.

$m\angle 1$ و $m\angle 5$ متناظرتان (متساويتان). $m\angle 5 = 40^\circ$.

$m\angle 2$ و $m\angle 6$ متناظرتان (متساويتان). $m\angle 6 = 140^\circ$.

$m\angle 4$ و $m\angle 8$ متناظرتان (متساويتان). $m\angle 8 = 140^\circ$.

$m\angle 3$ و $m\angle 7$ متناظرتان (متساويتان). $m\angle 7 = 40^\circ$.

احسب مساحة دائرة قطرها 20 سم.

عرض الحل خطوة بخطوة

نصف القطر $r = \text{القطر} \div 2 = 20 \div 2 = 10 \text{ cm}$. المساحة $= \pi \times r^2 = 3.14 \times 10^2 = 314 \text{ cm}^2$.

احسب مساحة مثلث قائم الزاوية طول أحد ضلعي القائمة فيه 16 سم ووتره 20 سم.

عرض الحل خطوة بخطوة

استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد ضلعي القائمة الثاني $b$: $b^2 + 16^2 = 20^2 \rightarrow b^2 = 400 - 256 = 144 \rightarrow b = 12 \text{ cm}$.

المساحة $= \dfrac{1}{2} \times 16 \times 12 = 96 \text{ cm}^2$.

في الشكل، ABDE هو مربع و FC خط تناظر. أوجد مساحة السهم الأزرق. $Area of Arrow$

عرض الحل خطوة بخطوة

بسبب التناظر، نقوم بحساب مساحة الجزء السفلي من السهم والذي يمثل شبه منحرف.

$Area of Half Arrow$

مساحة شبه المنحرف $= \dfrac{1}{2}(\overline{FG} + \overline{ED}) \times \overline{HE}$.

$\overline{FG} = 12 + 16 - 4 = 24$. $\overline{ED} = 16$. $\overline{HE} = \dfrac{1}{2} \overline{AE} = 8$.

المساحة $= \dfrac{1}{2}(24 + 16) \times 8 = 160$.

مساحة السهم هي ضعف مساحة شبه المنحرف: $2 \times 160 = 320 \text{ وحدة}^2$.

أوجد مساحة الشكل المحاط بنصف دائرة (قطرها DE) ومثلث متساوي الساقين ABG. قرب الناتج إلى منزلتين عشريتين. $Area of Compound Shape$

عرض الحل خطوة بخطوة

نُجزئ الشكل المعطى إلى أشكال أساسية يمكن حساب مساحاتها بسهولة باستخدام الصيغ.

$Area of Compound Shape Decomposed$

مساحة المثلث متساوي الساقين ABG $= \dfrac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$

مساحة شبه المنحرف BCFG $= \dfrac{1}{2} \times 2 \times (4+1) = 5$

مساحة شبه المنحرف CDEF $= \dfrac{1}{2} \times 3 \times (1+3) = 6$

مساحة نصف الدائرة ذات القطر DE $= \dfrac{1}{2} \times \pi \times 1.5^2 \approx 3.53$

المساحة الكلية $= 8 + 5 + 6 + 3.53 = 22.53 \text{ مم}^2$.

أوجد الحجم والمساحة السطحية (باستثناء القاع) لصومعة تتكون من أسطوانة ($h = 10$ م) ونصف كرة ($r = 6$ م) في الأعلى. $Cylinder and Half Sphere$

عرض الحل خطوة بخطوة

$Cylinder and Half Sphere Solution$

حجم نصف الكرة $= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3} \pi r^3 = \dfrac{4}{6} \times 3.14 \times 6^3 = 452.16 \text{ m}^3$

حجم الأسطوانة $= \pi \times r^2 \times h = 3.14 \times 6^2 \times 10 = 1130.4 \text{ m}^3$

المساحة السطحية لنصف الكرة $= \dfrac{1}{2} \times 4 \times \pi \times r^2 = 2 \times 3.14 \times 6^2 = 226.08 \text{ m}^2$

المساحة السطحية للأسطوانة (بدون القاع) $= 2 \times \pi \times r \times h = 2 \times 3.14 \times 6 \times 10 = 376.8 \text{ m}^2$

الحجم الكلي للصومعة $= 452.16 + 1130.4 = 1582.56 \text{ m}^3$

المساحة السطحية الكلية للصومعة $= 226.08 + 376.8 = 602.88 \text{ m}^2$

تم تقسيم منشور مستطيل قطرياً إلى منشورين ثلاثيين متطابقين. أوجد الحجم والمساحة السطحية لأحد المنشورين الثلاثيين. $Triangular Prism split$

عرض الحل خطوة بخطوة

بسبب التناظر، حجم المنشور الثلاثي هو نصف حجم المنشور المستطيل.

$Triangular Prism Solution$

حجم المنشور المستطيل $= 6 \times 3 \times 4 = 72 \text{ وحدة}^3$. حجم المنشور الثلاثي $= 36 \text{ وحدة}^3$.

المساحة السطحية هي نصف المساحة السطحية للمنشور المستطيل مضافاً إليها مساحة المستطيل الناتج عن الأقطار الحمراء.

المساحة السطحية للمنشور المستطيل $= 2 \times (6 \times 3 + 3 \times 4 + 6 \times 4) = 108 \text{ وحدة}^2$.

استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد طول القطر $d$: $d^2 = 3^2 + 4^2 = 25 \rightarrow d=5$.

مساحة شريحة المستطيل $= 5 \times 6 = 30 \text{ وحدة}^2$.

المساحة السطحية للمنشور الثلاثي $= \dfrac{1}{2} \times 108 + 30 = 84 \text{ وحدة}^2$.

يوضح الرسم البياني الخطي متوسط درجات الحرارة العظمى (بالسيليزية) لمدة 12 شهراً في أوتاوا.
أ) متوسط حرارة الشهر الأبرد؟
ب) متوسط حرارة الشهر الأحر؟
ج) الفرق بين الأبرد والأحر؟
د) أصغر زيادة بين شهرين متتاليين؟
هـ) أصغر نقص بين شهرين متتاليين؟ $Average High Temperature in Ottawa$

عرض الحل خطوة بخطوة

أ) شهر يناير لديه أدنى متوسط حرارة وهو $-5^\circ$C.

ب) شهر يوليو لديه أعلى متوسط حرارة وهو $26^\circ$C.

ج) الفرق $= 26 - (-5) = 31^\circ$C.

د) أصغر زيادة تحدث من يناير إلى فبراير ومن يونيو إلى يوليو.

هـ) أصغر نقص يحدث من يوليو إلى أغسطس.

درجات الاختبار: 31, 44, 54, 69, 45, 55, 91, 76, 76, 77, 78, 70, 79, 67, 60, 85, 84, 89, 56, 67, 86, 64, 97, 88, 92.
أ) رتب من الأصغر إلى الأكبر.
ب) أوجد المدى.
ج) أنشئ جدول تكرار يبدأ من 30–39.
د) ارسم مخططاً بيانيا (هيستوجرام).
هـ) إذا كانت الدرجات أقل من 60 راسبة، فما هي النسبة المئوية للراسبين؟

عرض الحل خطوة بخطوة

أ) مرتبة: $31, 44, 45, 54, 55, 56, 60, 64, 67, 67, 69, 70, 76, 76, 77, 78, 79, 84, 85, 86, 88, 89, 91, 92, 97$.

ب) المدى = أكبر قيمة - أصغر قيمة $= 97 - 31 = 66$.

ج) ابدأ بالفئة 30-39 وأضف طول الفئة (10) للحصول على الفئات المتبقية.

$Frequency Table$

د) يتم عمل الهيستوجرام باستخدام عدد الطلاب على المحور الرأسي والفئات على المحور الأفقي.

$Histogram$

هـ) الدرجات في الفئات الثلاث 30-39 و 40-49 و 50-59 أقل من 60. رسب $1 + 2 + 3 = 6$ طلاب. النسبة المئوية $= \dfrac{6}{25} = 0.24 = 24\%$.

أوجد الوسيط، والربيع الأدنى، والربيع الأعلى للمجموعة $\{9, 4, 3, 2, 3, 0, 2, 3, 1, 9, 10\}$.

عرض الحل خطوة بخطوة

البيانات مرتبة: $\{0, 1, 2, 2, 3, \textbf{3}, 3, 4, 9, 9, 10\}$

الوسيط: القيمة في المنتصف هي 3.

الربيع الأدنى: وسيط قيم البيانات التي تقع تحت الوسيط $\{0, 1, \textbf{2}, 2, 3\}$ هو 2.

الربيع الأعلى: وسيط قيم البيانات التي تقع فوق الوسيط $\{3, 4, \textbf{9}, 9, 10\}$ هو 9.

حصل مارك على درجات 83، 94، 97، 93 في اختباراته الأربعة الأولى. كم يجب أن يحصل في الاختبار الخامس ليكون متوسطه 90 على الأقل؟

عرض الحل خطوة بخطوة

ليكن $x$ درجة الاختبار الخامس. المتوسط على الأقل 90: $\dfrac{83 + 94 + 97 + 93 + x}{5} \ge 90$

اضرب في 5: $367 + x \ge 450$.

حل لأجل $x$: $x \ge 450 - 367 \rightarrow x \ge 83$. يجب أن يحصل مارك على 83 على الأقل.

عند رمي حجر نرد عادل ذو 6 وجوه، ما هو احتمال الحصول على عدد زوجي؟

عرض الحل خطوة بخطوة

فضاء العينة = $\{1,2,3,4,5,6\}$. مجموعة الأعداد الزوجية = $\{2,4,6\}$.

الاحتمال $= \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.

رمي عملة معدنية ورمي نرد: أ) احتمال الحصول على كتابة ورقم 4؟ ب) احتمال الحصول على وجه ورقم فردي؟

عرض الحل خطوة بخطوة

أ) احتمال الحصول على كتابة هو $1/2$. احتمال الحصول على 4 هو $1/6$. حدثان مستقلان: $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{12}$.

ب) احتمال الحصول على وجه هو $1/2$. احتمال الحصول على عدد فردي هو $3/6 = 1/2$. حدثان مستقلان: $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$.

يختار بن بطاقة من مجموعة من 3 بطاقات مرقمة (1)، (2)، (3)، ثم يعيدها ويسحب مرة أخرى. أ) احتمال سحب الرقم 3 مرتين؟ ب) احتمال سحب نفس الرقم في المرتين؟

عرض الحل خطوة بخطوة

أ) توجد نتيجة واحدة فيها الرقم 3 في السحبين $(3,3)$ من أصل $3 \times 3 = 9$ نتائج محتملة. الاحتمال $= \dfrac{1}{9}$.

ب) ثلاث نتائج من أصل 9 تحتوي على نفس الرقم: $(1,1), (2,2), (3,3)$. الاحتمال $= \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$.

في استطلاع رأي: يفضل 5 طلاب اللون الأزرق، ويفضل 6 اللون البني، من إجمالي 20 طالباً. ما هو احتمال أن يفضل طالب يتم اختياره عشوائياً أياً منهما؟

عرض الحل خطوة بخطوة

إذا قال 5 أزرق و 6 بني، إذن $20 - 5 - 6 = 11$ لم يختاروا أياً منهما.

الاحتمال هو $\dfrac{11}{20}$.

اختبار تدريبي لرياضيات الصف الثامن والحلول

أسئلة التدريب والحلول

1 - الأعداد

2 - المتتابعات

3 - المجموعات

4 - العوامل، المضاعفات وقابلية القسمة

5 - الكسور والكسور المختلطة

6 - الأسس والصيغة العلمية

7 - الجذور

8 - التناسب

9 - النسبة المئوية

10 - تحويل الوحدات

11 - تقييم التعابير الجبرية

12 - الجبر

13 - المعادلات والمسائل اللفظية

14 - المتباينات

15 - الدوال

16 - الأشكال ثنائية الأبعاد

17 - المحيط والمساحة

18 - الأحجام والمساحة السطحية

19 - البيانات والرسوم البيانية

20 - الإحصاء

21 - الاحتمالات

المراجع وروابط مفيدة