مسائل كلمات رياضيات الصف الثامن: الأسئلة والحلول خطوة بخطوة

تتميز هذه الصفحة بمجموعة متنوعة من مسائل كلمات رياضيات الصف الثامن المصممة لتعزيز التفكير النقدي لدى الطلاب مهارات حل المشكلات. تجدون أدناه تحديات مختارة بعناية وحلولها المفصلة خطوة بخطوة مع الشرح. قم بتوسيع الحلول المخفية أسفل كل سؤال لمراجعة التسلسل المنطقي المطلوب للأسئلة الجبرية والهندسية المعقدة.

تغطي المسائل الموجودة على هذه الصفحة مواضيع أساسية لرياضيات المرحلة المتوسطة، بما في ذلك:

أسئلة التدريب والحلول

  1. قطعت سيارة مسافة 281 ميلاً في 4 ساعات و 41 دقيقة. ما هو متوسط سرعة السيارة بالميل في الساعة؟
    عرض الحل خطوة بخطوة

    نحول أولاً الزمن من 4 ساعات و 41 دقيقة إلى ساعات:

    \[ 4\ \text{ساعات} + 41\ \text{دقيقة} = 4 + \dfrac{41}{60} = \dfrac{240 + 41}{60} = \dfrac{281}{60}\ \text{ساعة} \]

    متوسط السرعة \( S \) يُعطى بقسمة المسافة على الزمن:

    \[ S = \dfrac{281\ \text{ميل}}{\dfrac{281}{60}\ \text{ساعة}} = 281 \times \dfrac{60}{281} = 60\ \text{ميل في الساعة} \]
  2. حل المعادلة لأجل \( x \):
    \[ 5x - 7 = 3x + 9 \]
    عرض الحل خطوة بخطوة

    بالبدء من المعادلة \( 5x - 7 = 3x + 9 \):

    اطرح \( 3x \) من الطرفين: \( 2x - 7 = 9 \)

    أضف 7 إلى الطرفين: \( 2x = 16 \)

    اقسم الطرفين على 2: \( x = 8 \)

  3. حل نظام المعادلات:
    \[ 2x + 3y = 12 \]
    \[ 4x - y = 7 \]
    عرض الحل خطوة بخطوة

    من المعادلة الثانية \( 4x - y = 7 \)، أوجد قيمة \( y \): \( y = 4x - 7 \)

    عوض بـ \( y \) في المعادلة الأولى \( 2x + 3y = 12 \):

    \[ 2x + 3(4x - 7) = 12 \] \[ 2x + 12x - 21 = 12 \] \[ 14x - 21 = 12 \implies 14x = 33 \implies x = \dfrac{33}{14} \]

    عوض بـ \( x \) مرة أخرى في المعادلة \( y = 4x - 7 \):

    \[ y = 4\left(\dfrac{33}{14}\right) - 7 = \dfrac{132}{14} - \dfrac{98}{14} = \dfrac{34}{14} = \dfrac{17}{7} \]
  4. بسط التعبير:
    \[ \sqrt{50} + \sqrt{18} \]
    عرض الحل خطوة بخطوة

    أولاً، بسط كل جذر تربيعي بإيجاد عوامل المربعات الكاملة:

    \[ \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \] \[ \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \]

    اجمع الحدين المبسطين: \( 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \)

  5. أوجد مساحة شبه منحرف ضلعاه المتوازيان بطول 10 سم و 14 سم، وارتفاعه 6 سم.
    عرض الحل خطوة بخطوة

    صيغة مساحة شبه المنحرف هي \( A = \dfrac{1}{2} \times (b_1 + b_2) \times h \).

    \[ A = \dfrac{1}{2} \times (10 + 14) \times 6 = \dfrac{1}{2} \times 24 \times 6 = 72\ \text{سم}^2 \]
  6. طول المستطيل يساوي أربعة أضعاف عرضه. إذا كانت المساحة 100 متر مربع، فما هو طول المستطيل؟
    عرض الحل خطوة بخطوة

    ليكن \( W \) العرض. الطول \( L \) هو \( 4W \). تعطينا صيغة المساحة:

    \[ \text{المساحة} = L \times W = (4W) \times W = 4W^2 \] \[ 4W^2 = 100 \implies W^2 = 25 \implies W = 5\ \text{متر} \]

    الطول هو \( L = 4 \times 5 = 20\ \text{متراً} \).

  7. تم زيادة طول المستطيل إلى ضعف حجمه الأصلي، وزيادة عرضه إلى 3 أضعاف حجمه الأصلي. إذا كانت مساحة المستطيل الجديد تساوي 1800 متر مربع، فما هي مساحة المستطيل الأصلي؟
    عرض الحل خطوة بخطوة

    ليكن المساحة الأصلية \( A_{\text{original}} = L \times W \).

    البعدان الجديدان هما \( 2L \) و \( 3W \). المساحة الجديدة هي:

    \[ A_{\text{new}} = (2L) \times (3W) = 6(LW) = 1800 \]

    حل لأجل المساحة الأصلية (\( LW \)): \( L \times W = \dfrac{1800}{6} = 300\ \text{م}^2 \).

  8. تم زيادة كل بعد من أبعاد مكعب إلى ضعف حجمه الأصلي. إذا كان حجم المكعب الجديد يساوي 64,000 سنتيمتراً مكعباً، فما هي مساحة وجه واحد من المكعب الأصلي؟
    عرض الحل خطوة بخطوة

    ليكن \( x \) طول الحافة الأصلي. طول الحافة الجديد هو \( 2x \).

    الحجم الجديد هو \( (2x)^3 = 8x^3 = 64,000 \).

    \[ x^3 = 8,000 \implies x = \sqrt[3]{8,000} = 20\ \text{سم} \]

    مساحة وجه واحد من المكعب الأصلي هي \( x^2 = 20^2 = 400\ \text{سم}^2 \).

  9. تستطيع المضخة A ملء خزان ماء في 5 ساعات. وتستطيع المضخة B ملء نفس الخزان في 8 ساعات. كم يستغرق عمل المضختين معاً لملء الخزان؟ (قرب إجابتك إلى أقرب دقيقة).
    عرض الحل خطوة بخطوة

    تملا المضخة A نسبة \( 1/5 \) من الخزان في الساعة. وتملا المضخة B نسبة \( 1/8 \) في الساعة.

    معاً تملان: \( \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{13}{40} \) من الخزان في الساعة.

    الزمن الكلي \( t = \dfrac{40}{13} \) ساعة، وهو ما يعادل \( 3\dfrac{1}{13} \) ساعة.

    تحويل الكسر إلى دقائق: \( \dfrac{1}{13} \times 60 \approx 4.6 \) دقائق، والتي تقرب إلى 5 دقائق. الزمن الكلي هو 3 ساعات و 5 دقائق.

  10. يتم ضخ الماء بمعدل ثابت في خزان تخزين أرضي على شكل منشور مستطيل. أي من الرسوم البيانية أدناه يمثل بشكل أفضل التغيرات في ارتفاع الماء في الخزان كدالة في الزمن؟
    rectangular prism and height-time graphs
    عرض الحل خطوة بخطوة

    بما أن الماء يتم ضخه بمعدل ثابت، يجب أن يرتفع الارتفاع بشكل خطي. الرسم البياني الذي يُظهر خطاً تنازلياً أو خطاً مستوياً ثابتاً غير صحيح. الرسم البياني السفلي الأيسر الذي يوضح ارتفاعاً متزايداً بشكل مطرد يمثل السيناريو بشكل صحيح.

  11. أحد ضلعي القائمة في مثلث قائم الزاوية هو 18 سم، ومساحته 216 سنتيمترا مربعا. أوجد محيطه.
    عرض الحل خطوة بخطوة

    المساحة = \( \dfrac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع} \). بمعلومية المساحة = 216 وضلع القائمة \( a = 18 \):

    \[ 216 = \dfrac{1}{2} \times 18 \times b \implies 9b = 216 \implies b = 24\ \text{سم} \]

    استخدم نظرية فيثاغورس للوتر \( c \):

    \[ c^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900 \implies c = 30\ \text{سم} \]

    المحيط = \( 18 + 24 + 30 = 72\ \text{سم} \).

  12. ما هو مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمضلع له 53 ضلعاً؟
    عرض الحل خطوة بخطوة

    صيغة مجموع الزوايا الداخلية هي \( 180(n - 2) \). لأجل \( n = 53 \):

    \[ \text{المجموع} = 180(53 - 2) = 180 \times 51 = 9180^\circ \]
  13. جاك أطول من سارة ولكنه أقصر من كل من مليكا وتانيا. مليكا أقصر من تانيا. ناتاشا أقصر من سارة. من هو الأقصر؟
    عرض الحل خطوة بخطوة

    من النص: ناتاشا < سارة < جاك. وجاك < مليكا < تانيا.

    دمج هذه الأحجام يعطي الترتيب المتواصل: ناتاشا < سارة < جاك < مليكا < تانيا. ناتاشا هي الأقصر.

  14. ما هو الارتفاع (أحد ضلعي القائمة) والوتر لمثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين مساحته 800 قدم مربع؟
    عرض الحل خطوة بخطوة

    ليكن كلا الضلعين \( x \). المساحة = \( \dfrac{1}{2} x^2 = 800 \implies x^2 = 1600 \implies x = 40\ \text{قدم} \).

    الوتر \( h \) باستخدام نظرية فيثاغورس: \( h^2 = 40^2 + 40^2 = 3200 \).

    \[ h = \sqrt{3200} = 40\sqrt{2} \approx 56.57\ \text{قدم} \]
  15. أوجد محيط دائرة محاطة داخل مربع ضلعه 20 متراً.
    عرض الحل خطوة بخطوة

    قطر الدائرة المحاطة يساوي طول ضلع الم مربع (20 م)، إذن نصف القطر \( r = 10\ \text{م} \).

    المحيط \( C = 2\pi r = 2\pi(10) = 20\pi \approx 62.8\ \text{م} \).

  16. مدرستان مختلفتان (A و B) لديهما نفس عدد الطلاب. نسبة الأولاد في المدرسة A إلى الأولاد في المدرسة B هي 2:1، ونسبة البنات في المدرسة A إلى البنات في المدرسة B هي 4:5. أوجد نسبة الأولاد في المدرسة A إلى البنات في المدرسة A.
    عرض الحل خطوة بخطوة

    ليكن عدد الأولاد في B يساوي \( x \)، إذن الأولاد في A هو \( 2x \). وليكن عدد البنات في B يساوي \( 5y \)، إذن البنات في A هو \( 4y \).

    إجمالي الطلاب متساوٍ: \( 2x + 4y = x + 5y \implies x = y \).

    نسبة الأولاد إلى البنات في المدرسة A: \( \dfrac{2x}{4y} = \dfrac{2x}{4x} = \dfrac{1}{2} \). النسبة هي 1:2.

  17. في صف دراسي، نسبة الأولاد إلى البنات هي 5:6. إذا كان إجمالي عدد الطلاب 66 طلباً، فكم عدد البنات في الصف؟
    عرض الحل خطوة بخطوة

    ليكن الأولاد = \( 5x \) والبنات = \( 6x \). إجمالي الطلاب = \( 11x = 66 \implies x = 6 \).

    عدد البنات = \( 6x = 6(6) = 36 \).

  18. يحتوي كيس على 5 كرات حمراء، و3 كرات خضراء، وكرتين زرقاوتين. إذا تم اختيار كرة عشوائياً من الكيس، فما هو احتمال أن تكون الكرة إما حمراء أو زرقاء؟
    عرض الحل خطوة بخطوة

    إجمالي الكرات = \( 5 + 3 + 2 = 10 \). الكرات الحمراء أو الزرقاء = \( 5 + 2 = 7 \).

    الاحتمال \( = \dfrac{7}{10} \).

  19. سلم مستند إلى حائط. تبعد قاعدة السلم 6 أمتار عن الحائط، ويصل السلم إلى ارتفاع 8 أمتار. ما طول السلم؟
    عرض الحل خطوة بخطوة

    يشكل الحائط والأرض والسلم مثلثاً قائم الزاوية. طول السلم \( L \) هو الوتر:

    \[ L = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\ \text{متر} \]
  20. ارتفع سعر سترة من 80 دولاراً إلى 100 دولار. ما هي النسبة المئوية للزيادة؟
    عرض الحل خطوة بخطوة

    الزيادة = \( \$100 - \$80 = \$20 \).

    النسبة المئوية للزيادة = \( \left( \dfrac{\text{الزيادة}}{\text{الأصلية}} \right) \times 100 = \left(\dfrac{20}{80}\right) \times 100 = 25\% \).

  21. قاد جو بسرعة 45 ميلاً في الساعة لمسافة معينة. ثم قاد بسرعة 55 ميلاً في الساعة لنفس المسافة. ما هو متوسط السرعة للرحلة بأكملها؟
    عرض الحل خطوة بخطوة

    ليكن المسافة \( d \). إجمالي المسافة = \( 2d \). إجمالي الزمن = \( \dfrac{d}{45} + \dfrac{d}{55} \).

    المقام المشترك هو 495: \( \dfrac{11d}{495} + \dfrac{9d}{495} = \dfrac{20d}{495} \).

    متوسط السرعة = \( \dfrac{2d}{\dfrac{20d}{495}} = 2d \times \dfrac{495}{20d} = \dfrac{990}{20} = 49.5\ \text{ميل/ساعة} \).

  22. تدور كرتان A و B على مسار دائري. تقوم الكرة A بـ دورات كاملة في 26 دقيقة. وتقوم الكرة B بـ 5 دورات كاملة في 35 دقيقة. إذا بدأتا الدوران الآن من نفس النقطة، متى ستكونان في نقطة البداية نفسها مرة أخرى؟
    عرض الحل خطوة بخطوة

    زمن الدورة الواحدة للكرة A = \( 26 / 2 = 13 \) دقيقة. للكرة B = \( 35 / 5 = 7 \) دقائق.

    الزمن الذي تلتقيان فيه مرة أخرى هو المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لـ 13 و 7، وهو \( 13 \times 7 = 91 \) دقيقة.

  23. الأعداد x و y و z و w لها متوسط يساوي 25. متوسط الأعداد x و y و z يساوي 27. أوجد w.
    عرض الحل خطوة بخطوة

    مجموع 4 أعداد: \( x + y + z + w = 4 \times 25 = 100 \).

    مجموع أول 3 أعداد: \( x + y + z = 3 \times 27 = 81 \).

    إذن، \( 81 + w = 100 \implies w = 19 \).

  24. قاد بيتر بسرعة ثابتة لمدة ساعتين. ثم توقف لمدة ساعة للقيام ببعض التسوق والراحة ثم قاد سيارته عائداً إلى المنزل بسرعة ثابتة. أي رسم بياني يمثل بشكل أفضل التغيرات في المسافة من المنزل أثناء قيادة بيتر؟
    graphs of distance-time
    عرض الحل خطوة بخطوة

    يجب أن تزيد المسافة من المنزل أولاً (الابتعاد)، وتبقى مسطحة (التسوق/الراحة)، ثم تنخفض مرة أخرى إلى الصفر (القيادة إلى المنزل). فقط الرسم البياني الموجود في أسفل اليسار يُظهر هذا المسار الدقيق.

  25. في البداية، كان المنشور المستطيل على اليسار مليئاً بالماء. ثم تم صب الماء في الحاوية الأسطوانية على اليمين بحيث يكون ارتفاع الماء في كلا الحاويتين متساوياً. أوجد ارتفاع الماء h في كلا الحاويتين (قرب إجابتك إلى أقرب جزء من عشرة من السنتيمتر).
    rectangular prisms and a cylinder
    عرض الحل خطوة بخطوة

    حجم المنشور الأيمن = \( 2 \times 4 \times 10 = 80\ \text{سم}^3 \). يتم مشاركة هذا الماء بين المنشور الأوسط والأسطوانة.

    حجم المنشور الأوسط = \( 2 \times 4 \times h = 8h \). حجم الأسطوانة = \( \pi (1)^2 h = \pi h \).

    الإجمالي: \( 8h + \pi h = 80 \implies h(8 + \pi) = 80 \implies h = \dfrac{80}{8 + 3.14} \approx 7.2\ \text{سم} \).

  26. حجم محيط المربع ABCD يساوي 100 سم. طول القطعة المستقيمة MN يساوي 5 سم والمثلث MNC هو مثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين. أوجد مساحة الخماسية ABNMD.
    square ABCD with triangle MNC
    عرض الحل خطوة بخطوة

    محيط المربع = 100، لذا طول الضلع = 25 سم. المساحة الكلية = 625 سم².

    المثلث MNC هو مثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين ووتره MN = 5. بنظرية فيثاغورس: \( MC^2 + NC^2 = 5^2 \). بما أن \( MC = NC \)، فإن \( 2MC^2 = 25 \implies MC^2 = 12.5 \).

    مساحة المثلث = \( \dfrac{1}{2} \times MC \times NC = \dfrac{1}{2}(12.5) = 6.25\ \text{سم}^2 \).

    مساحة الشكل الخماسي = \( 625 - 6.25 = 618.75\ \text{سم}^2 \).

  27. اشترى داني إجمالي 20 بطاقة ألعاب يكلف بعضها 0.25 دولار لكل منها والبعض الآخر يكلف 0.15 دولار لكل منها. إذا أنفق داني 4.20 دولار لشراء هذه البطاقات، فكم عدد البطاقات من كل نوع اشتراها؟
    عرض الحل خطوة بخطوة

    ليكن \( X \) عدد بطاقات 0.25 دولار، و \( Y \) عدد بطاقات 0.15 دولار.

    \[ X + Y = 20 \implies Y = 20 - X \] \[ 0.25X + 0.15Y = 4.20 \implies 25X + 15Y = 420 \]

    عوض بـ \( Y \): \( 25X + 15(20 - X) = 420 \implies 10X + 300 = 420 \implies 10X = 120 \implies X = 12 \).

    لذلك، \( Y = 8 \). لقد اشترى 12 بطاقة بسعر 0.25 دولار و 8 بطاقات بسعر 0.15 دولار.

  28. يتم رمي حجر نرد ذي 6 وجوه مرة واحدة. ما هو احتمال أن يكون العدد الظاهر عددًا زوجيًا أكبر من 2؟
    عرض الحل خطوة بخطوة

    النتائج الممكنة: 1، 2، 3، 4، 5، 6. الأعداد الزوجية الأكبر من 2: 4 و 6.

    الاحتمال = \( \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \).

  29. حاوية أسطوانية لها نصف قطر 4 سم وارتفاع 10 سم. ما هو حجمها؟ (استخدم \( \pi \approx 3.14 \))
    عرض الحل خطوة بخطوة

    الصيغة: \( V = \pi r^2 h \).

    \[ V = 3.14 \times 4^2 \times 10 = 3.14 \times 16 \times 10 = 502.4\ \text{سم}^3 \]

المراجع وروابط مفيدة