تقدم هذه الصفحة مجموعة من مسائل كلمات المعادلات التربيعية للصف الثامن، مكتملة بـ حلول مفصلة خطوة بخطوة وشرح واضح. قم بتوسيع الحلول المخفية أسفل كل سؤال للكشف عن الاستدلال الجبري المطلوب لتحويل سيناريوهات العالم الحقيقي إلى نماذج رياضية.
تساعد الأسئلة على هذه الصفحة الطلاب على إتقان التطبيقات الرئيسية للمعادلات التربيعية، بما في ذلك:
عددان صحيحان متتاليان هما من الشكل:
\[ x \quad \text{و} \quad x + 1 \]حاصل ضربهما يساوي 56:
\[ x(x + 1) = 56 \]حل وأوجد العددين \( x \) و \( x + 1 \). يمكن فك المعادلة أعلاه وكتابتها في الصورة القياسية كالتالي:
\[ x^{2} + x - 56 = 0 \]حلل وحل:
\[ (x - 7)(x + 8) = 0 \]الحلول: \( x = 7 \) أو \( x = -8 \).
\( x = -8 \) غير صالح لأن المسألة تنص على أن الأعداد يجب أن تكون موجبة. ومن ثم، \( x = 7 \).
العددين الصحيحين الموجبين المتتاليين هما 7 و 8 (بما أن \( 7 + 1 = 8 \)).
عددان صحيحان متتاليان هما من الشكل:
\[ x \quad \text{و} \quad x + 1 \]مجموع مربعيهما يساوي 145:
\[ x^{2} + (x + 1)^{2} = 145 \]افرد واجمع الحدود المتشابهة، ثم اكتب في الصورة القياسية:
\[ x^{2} + (x^{2} + 2x + 1) = 145 \] \[ 2x^{2} + 2x + 1 - 145 = 0 \] \[ 2x^{2} + 2x - 144 = 0 \]اقسم جميع الحدود على 2 لتسيير المعادلة:
\[ x^{2} + x - 72 = 0 \]حلل وحل:
\[ (x + 9)(x - 8) = 0 \]الحلول: \( x = -9 \) أو \( x = 8 \).
بما أن المسألة تحدد أعداداً صحيحة موجبة، فإن \( x = 8 \) هو الوحيد الصالح.
العددان الصحيحان الموجبان المتتاليان هما 8 و 9.
مساحة المستطيل تساوي الطول في العرض، إذن:
\[ (x + 2)(x + 1) = 42 \]افرد واجمع الحدود المتشابهة:
\[ x^{2} + 3x + 2 = 42 \]أعد الكتابة في الصورة القياسية بطرح 42 من كلا الطرفين:
\[ x^{2} + 3x - 40 = 0 \]حلل وحل:
\[ (x + 8)(x - 5) = 0 \]الحلول: \( x = -8 \) و \( x = 5 \).
إذا كان \( x = -8 \)، فسيكون العرض (\( x+1 \)) مساوياً لـ -7، وهو مستحيل فيزيائياً. فقط \( x = 5 \) يعطي طولاً وعرضاً موجباً صالحاً.
احسب الأبعاد:
المحيط هو \( 2 \times \text{الطول} + 2 \times \text{العرض} \):
\[ 2(7) + 2(6) = 14 + 12 = 26 \]محيط الحديقة هو 26.
ليكن \( y \) طول ضلع القائمة الأقصر. إذن ضلع القائمة الأطول هو:
\[ y + 3 \]الوتر أطول بـ 3 سم من ضلع القائمة الأطول، إذن:
\[ (y + 3) + 3 = y + 6 \]استخدم نظرية فيثاغورس (\( a^2 + b^2 = c^2 \)):
\[ y^{2} + (y + 3)^{2} = (y + 6)^{2} \]افرد المربعات وبسط:
\[ y^{2} + (y^{2} + 6y + 9) = y^{2} + 12y + 36 \]اطرح \( y^2 + 12y + 36 \) من كلا الطرفين لتكوين معادلة تربيعية قياسية:
\[ y^{2} - 6y - 27 = 0 \]حلل وحل:
\[ (y - 9)(y + 3) = 0 \]الحلول: \( y = 9 \) أو \( y = -3 \).
فقط \( y = 9 \) صالح لأن الطول يجب أن يكون موجباً.
طول الوتر هو \( y + 6 \):
\[ 9 + 6 = 15 \text{ سم} \]يكون الجسم على ارتفاع 80 قدماً فوق الأرض عندما يكون \( h = 80 \)، لذا عوض بـ 80 في المعادلة:
\[ -16t^{2} + 64t + 32 = 80 \]أعد الكتابة في الصورة القياسية بطرح 80 من كلا الطرفين:
\[ -16t^{2} + 64t + 32 - 80 = 0 \] \[ -16t^{2} + 64t - 48 = 0 \]اقسم المعادلة بأكملها على -16 للتبسيط:
\[ t^{2} - 4t + 3 = 0 \]حلل وحل:
\[ (t - 1)(t - 3) = 0 \]الحلول: \( t = 1 \) ثانية و \( t = 3 \) ثوانٍ.
الشرح: يصل الجسم إلى 80 قدماً في طريقه صعوداً عند \( t = 1 \) ثانية، ويستمر إلى ذروته، ثم يمر بـ 80 قدماً مرة أخرى في طريقه نزولاً عند \( t = 3 \) ثوانٍ.
ليكن \( L \) هو الطول و \( W \) هو العرض. بناءً على المساحة:
\[ L \times W = 96 \]المحيط هو 40، مما يعطي:
\[ 2L + 2W = 40 \]اقسم على 2 وأوجد قيمة \( L \):
\[ L + W = 20 \implies L = 20 - W \]عوض بهذه العبارة عن \( L \) في معادلة المساحة:
\[ (20 - W) \times W = 96 \]افرد وأعد الترتيب إلى الصورة التربيعية القياسية:
\[ 20W - W^{2} = 96 \implies W^{2} - 20W + 96 = 0 \]حلل وحل:
\[ (W - 8)(W - 12) = 0 \]الحلول: \( W = 8 \) أو \( W = 12 \).
الآن، أوجد الأطوال المقابلة:
حسب الاصطلاح، عادة ما يكون الطول هو الضلع الأطول. لذلك، الأبعاد هي العرض = 8 م و الطول = 12 م.
ليكن \( b \) القاعدة. إذن الارتفاع هو \( b + 3 \). باستخدام صيغة مساحة المثلث (\( A = \frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع} \)):
\[ 54 = \frac{1}{2} \times b \times (b + 3) \]اضرب كلا الطرفين في 2 للتخلص من الكسر:
\[ 108 = b(b + 3) \]افرد وأعد الكتابة كمعادلة تربيعية قياسية:
\[ b^{2} + 3b - 108 = 0 \]حلل وحل:
\[ (b + 12)(b - 9) = 0 \]الحلول: \( b = -12 \) أو \( b = 9 \).
بما أن طول القاعدة يجب أن يكون موجباً، إذن \( b = 9 \).
الارتفاع هو \( b + 3 = 9 + 3 = 12 \).
القاعدة 9 أقدام و الارتفاع 12 قدماً.
لتكن الأعداد الصحيحة الموجبة المتتالية الثلاثة هي \( x \) و \( x + 1 \) و \( x + 2 \).
حاصل ضرب الأول والثالث هو:
\[ x(x + 2) = x^{2} + 2x \]أقل بواحد من مربع العدد الصحيح الثاني هو:
\[ (x + 1)^{2} - 1 = (x^{2} + 2x + 1) - 1 = x^{2} + 2x \]لاحظ أن كلا التعبيرين الجبريين يبستان إلى \( x^2 + 2x \). هذا ينشئ المعادلة:
\[ x^{2} + 2x = x^{2} + 2x \]بما أن هذا ينتج عنه \( 0 = 0 \)، فهو متطابقة جبرية. هذا يعني أن المعادلة صحيحة لـ جميع الأعداد الحقيقية \( x \).
لذلك، أي مجموعة من ثلاثة أعداد صحيحة موجبة ومتتالية تحقق هذا الشرط (مثل 1، 2، 3 أو 10، 11، 12).
ليكن \( x \) العدد الأصغر. بما أن الفرق بينهما هو \( \frac{7}{2} \)، فالعدد الأكبر هو \( x + \frac{7}{2} \).
حاصل ضربهما هو 2:
\[ x \left( x + \frac{7}{2} \right) = 2 \]افرد التعبير:
\[ x^{2} + \frac{7}{2} x = 2 \]أعد الكتابة كمعادلة تربيعية قياسية بطرح 2:
\[ x^{2} + \frac{7}{2} x - 2 = 0 \]اضرب المعادلة بأكملها في 2 للتخلص من الكسر:
\[ 2x^{2} + 7x - 4 = 0 \]حلل المعادلة التربيعية:
\[ (2x - 1)(x + 4) = 0 \]الحلول: \( x = \frac{1}{2} \) أو \( x = -4 \).
تطلب المسألة أعداداً موجبة، لذا العدد الأصغر هو \( x = \frac{1}{2} \).
العدد الأكبر هو \( \frac{1}{2} + \frac{7}{2} = \frac{8}{2} = 4 \).
العددان هما \( \frac{1}{2} \) و 4.
لتكن الأعداد الصحيحة المتتالية الثلاثة هي \( x \) و \( x + 1 \) و \( x + 2 \).
مجموع مربعيهما يساوي 77:
\[ x^{2} + (x + 1)^{2} + (x + 2)^{2} = 77 \]افرد المربعات:
\[ x^{2} + (x^{2} + 2x + 1) + (x^{2} + 4x + 4) = 77 \]اجمع الحدود المتشابهة:
\[ 3x^{2} + 6x + 5 = 77 \]اطرح 77 من كلا الطرفين لتكوين معادلة تربيعية قياسية:
\[ 3x^{2} + 6x - 72 = 0 \]اقسم المعادلة بأكملها على 3 للتبسيط:
\[ x^{2} + 2x - 24 = 0 \]حلل وحل:
\[ (x + 6)(x - 4) = 0 \]الحلول: \( x = -6 \) أو \( x = 4 \).
نظراً لأن المسألة تطلب أعداداً صحيحة (ولا تقيدها بالموجبة فقط)، فهناك مجموعتان صالحتان من الإجابات.