ما هي متباينة المثلث؟

تنص متباينة المثلث على أن مجموع طولي أي ضلعين في المثلث يجب أن يكون أكبر تماماً من طول الضلع الثالث. إذا لم يتحقق هذا الشرط، فلا يمكن أن يوجد المثلث.

كيف تجد مساحة مثلث قائم الزاوية على مستوى إحداثي؟

أولاً، استخدم صيغة المسافة لإيجاد أطوال ضلعي القائمة في المثلث قائم الزاوية. بعد ذلك، اضرب طولي ضلعي القائمة ببعضهما واقسَم على 2، باستخدام صيغة المساحة: المساحة = 1/2 × القاعدة × الارتفاع.

كيف تستخدم المثلثات المتشابهة لإيجاد أطوال الأضلاع المفقودة؟

عندما يتشابه مثلثان، تكون أضلاعهما المتناظرة متناسبة. يمكنك إعداد نسبة تقارن الضلع المعلوم لمثلث بالضلع المعلوم المناظر في المثلث الآخر، ومساواتها بنسبة الضلع الذي تحاول إيجاده.

مسائل مثلثات الصف الثامن: أسئلة تدريبية وحلول خطوة بخطوة

متباينة المثلث: طولا ضلعين في مثلث هما 20 مم و 13 مم. أي من هذه الأطوال لا يمكن أن يمثل طول الضلع الثالث؟

35 مم
10 سم
20 مم
45 مم

تلميح: يجب أن يكون مجموع أي ضلعين في المثلث أكبر تماماً من طول الضلع الثالث.

عرض الحل خطوة بخطوة

في أي مثلث، يجب أن يكون مجموع طولي أي ضلعين أكبر من طول الضلع الثالث.

بمعلومية ضلعين بطولي 20 مم و 13 مم، مجموعهما هو:

$ 20 + 13 = 33 \text{ مم} $

لذلك، يجب أن يحقق طول الضلع الثالث $ x $:

$ x \lt 33 \text{ مم} $

الآن تحقق من الخيارات المعطاة (مع تذكر تحويل سم إلى مم):

أ) $ 35 \text{ مم} \gt 33 \text{ مم} $ (غير ممكن)
ب) $ 10 \text{ سم} = 100 \text{ مم} \gt 33 \text{ مم} $ (غير ممكن)
ج) $ 20 \text{ مم} \lt 33 \text{ مم} $ (ممكن)
د) $ 45 \text{ مم} \gt 33 \text{ مم} $ (غير ممكن)

الإجابة: الأطوال 35 مم، 10 سم، و 45 مم لا يمكن أن تمثل الضلع الثالث.

زوايا المثلث متساوي الساقين: المثلث ABC مثلث متساوي الساقين. أوجد قياس الزاوية ABC. $Isosceles triangle ABC with top angle 72 degrees$

عرض الحل خطوة بخطوة

مجموع الزوايا الداخلية في أي مثلث هو $ 180^\circ $:

$ 72^\circ + \angle ACB + \angle ABC = 180^\circ $

بما أن المثلث ABC متساوي الساقين (مشار إليه بالعلامات على الضلعين AB و AC)، فإن زوايا قاعدته متساوية:

$ \angle ACB = \angle ABC $

ليكن $ \angle ABC = x $. إذن:

$ 72^\circ + 2x = 180^\circ $
$ 2x = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ $
$ x = 54^\circ $

الإجابة: $ \angle ABC = 54^\circ $

محيط المثلث متطابق الأضلاع: محيط مثلث متطابق الأضلاع يساوي 210 سم. ما طول ضلع واحد من هذا المثلث؟

عرض الحل خطوة بخطوة

في المثلث متطابق الأضلاع، أضلاعه الثلاثة متساوية في الطول. إذا كان طول ضلع واحد هو $ x \5008 $، فإن المحيط هو:

$ 3x = 210 $
$ x = \dfrac{210}{3} $
$ x = 70 \text{ سم} $

الإجابة: طول الضلع الواحد هو 70 سم.

جبر فيثاغورس: أوجد $ x $ بحيث يكون المثلث الموضح أدناه مثلثاً قائم الزاوية. $Right triangle with legs 12x and 16x and hypotenuse 10$

عرض الحل خطوة بخطوة

استخدم نظرية فيثاغورس ($ a^2 + b^2 = c^2 $):

$ (12x)^2 + (16x)^2 = 10^2 $
$ 144x^2 + 256x^2 = 100 $
$ 400x^2 = 100 $
$ x^2 = \dfrac{100}{400} = \dfrac{1}{4} $

أخذ الجذر التربيعي الموجب (بما أن معامل طول الضلع يجب أن يكون موجباً):

$ x = \dfrac{1}{2} $

الإجابة: $ x = 0.5 $

الانعكاس الإحداثي: ما هي رؤوس المثلث الناتج عن انعكاس عبر محور السينات (x-axis) للمثلث المعرّف بالرؤوس (1, 2) و (2, -3) و (4, -1)؟

عرض الحل خطوة بخطوة

عند انعكاس نقطة $ (x, y) $ عبر محور السينات، يظل موقعها الأفقي كما هو، بينما تتغير إشارة موقعها الرأسي. القاعدة هي $ (x, y) \to (x, -y) $.

بتطبيق هذه القاعدة على كل رأس:

$ (1, 2) \to $ $ (1, -2) $
$ (2, -3) \to $ $ (2, 3) $
$ (4, -1) \to $ $ (4, 1) $

المثلثات المتشابهة: المثلثان الموضحان أدناه متشابهان. أوجد طول وتر المثلث الأكبر. $Two similar right triangles. Small triangle has legs 6 and 8. Large triangle has corresponding leg 15.$

عرض الحل خطوة بخطوة

أولاً، أوجد وتر $ h $ المثلث قائم الزاوية الأصغر باستخدام نظرية فيثاغورس:

$ h^2 = 8^2 + 6^2 $
$ h^2 = 64 + 36 = 100 $
$ h = 10 $

في المثلثات المتشابهة، الأضلاع المتناظرة متناسبة. ليكن $ H $ وتر المثلث الأكبر. نسبة ضلعي القائمة المتناظرين تساوي نسبة الوترين:

$ \dfrac{6}{15} = \dfrac{10}{H} $

اضرب ضرباً تبادلياً لحل $ H $:

$ 6 H = 150 $
$ H = \dfrac{150}{6} $
$ H = 25 $

الإجابة: طول وتر المثلث الأكبر هو 25 وحدة.

تطبيق من العالم الحقيقي: سلم بطول 13 قدماً مستند إلى حائط رأسي. أدنى نقطة في السلم تبعد 4 أقدام عن الحائط. ما هو ارتفاع النقطة التي يلامس فيها السلم الحائط؟ (قرب إجابتك لأقرب جزء من عشرة من القدم).

عرض الحل خطوة بخطوة

يشكل السلم والحائط والأرض مثلثاً قائم الزاوية حيث السلم هو الوتر ($ c = 13 $) والمسافة الأرضية هي أحد ضلعي القائمة ($ a = 4 $). ليكن ارتفاع الحائط هو $ x $.

استخدم نظرية فيثاغورس:

$ x^2 + 4^2 = 13^2 $
$ x^2 + 16 = 169 $
$ x^2 = 169 - 16 = 153 $
$ x = \sqrt{153} $

حساب الجذر التربيعي:

$ x \approx 12.369 $

الإجابة: يلامس السلم الحائط على ارتفاع يقارب 12.4 قدماً.

المثلثات قائمة الزاوية الخاصة: طول وتر مثلث قائم الزاوية هو 40 سم. قياس إحدى زواياه هو 45 درجة. ما هي الأطوال الدقيقة للضلعين الآخرين للمثلث؟

عرض الحل خطوة بخطوة

في المثلث قائم الزاوية، إذا كانت إحدى الزوايا $ 45^\circ $، يجب أن تكون الزاوية الحادة الأخرى أيضاً $ 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ $. وبما أن زوايا القاعدة متساوية، فالصنف متساوي الساقين، مما يعني أن كلا ضلعي القائمة لهما نفس الطول تماماً. ليكن طول كل ضلع قائمة هو $ x $.

باستخدام نظرية فيثاغورس:

$ x^2 + x^2 = 40^2 $
$ 2x^2 = 1600 $
$ x^2 = 800 $
$ x = \sqrt{800} = \sqrt{400 \times 2} = 20\sqrt{2} $

الإجابة: الطول الدقيق لكل من الضلعين الآخرين هو $ 20\sqrt{2} $ سم.

محيط المثلث متساوي الساقين: المثلث ABC مثلث متساوي الساقين. طول القاعدة 20 متراً والارتفاع المناظر 24 متراً. أوجد محيط ABC.

عرض الحل خطوة بخطوة

ارتفاع المثلث متساوي الساقين ينصف القاعدة، مقسماً إياها إلى قطعتين متساويتين طول كل منهما 10 أمتار، ويشكل مثلثين قائمي الزاوية متطابقين.

$Isosceles triangle divided into two right triangles by its height$

استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد طول $ x $ للأضلاع المائلة (وتر المثلثين قائمي الزاوية):

$ x^2 = 24^2 + 10^2 $
$ x^2 = 576 + 100 = 676 $
$ x = \sqrt{676} = 26 \text{ مترأ} $

محيط المثلث هو مجموع القاعدة والأضلعين المائلين المتطابقين:

$ \text{المحيط} = 20 + 26 + 26 = 72 $

الإجابة: المحيط هو 72 متراً.

جبر المساحة: مثلث مساحته 90 سنتيمتراً مربعاً. أوجد طول القاعدة إذا كانت القاعدة أكبر بـ 3 سم من الارتفاع.

عرض الحل خطوة بخطوة

ليكن $ h $ هو الارتفاع. القاعدة $ b $ معطاة كـ $ b = h + 3 $.

باستخدام صيغة المساحة $ A = \dfrac{1}{2} \times b \times h $:

$ 90 = \dfrac{1}{2}(h + 3)h $

اضرب كلا الطرفين في 2 للتخلص من الكسر:

$ 180 = h(h + 3) $
$ h^2 + 3h - 180 = 0 $

حلل المعادلة التربيعية:

$ (h + 15)(h - 12) = 0 $

بما أن الارتفاع يجب أن يكون قياساً موجباً، فإن $ h = 12 $.

احسب القاعدة:

$ b = 12 + 3 = 15 $

الإجابة: طول القاعدة هو 15 سم.

جبر المحيط: محيط مثلث هو 74 بوصة. طول الضلع الأول ضعف طول الضلع الثاني. الضلع الثالث أكبر بـ 4 بوصات من الضلع الأول. أوجد طول كل ضلع.

عرض الحل خطوة بخطوة

ليكن $ x $ طول الضلع الثاني. يمكننا تعريف الأضلاع الأخرى بناءً على $ x $:

الضلع الأول = $ 2x $
الضلع الثاني = $ x $
الضلع الثالث = $ 2x + 4 $

المحيط هو مجموع الأضلاع الثلاثة:

$ 2x + x + (2x + 4) = 74 $
$ 5x + 4 = 74 $
$ 5x = 70 $
$ x = 14 $

الآن، عوض بـ $ x = 14 $ في تعبيرات الأضلاع:

الضلع الأول: $ 2(14) = 28 \text{ بوصة} $
الضلع الثاني: $ 14 \text{ بوصة} $
الضلع الثالث: $ 28 + 4 = 32 \text{ بوصة} $

الإجابة: أطوال الأضلاع هي 28 و 14 و 32 بوصة.

مساحة الإحداثيات: أوجد مساحة المثلث المحاط بالمستقيمات $ y = -4 $ و $ x = 1 $ و $ y = -2x + 8 $.

عرض الحل خطوة بخطوة

رؤوس المثلث هي النقاط التي تتقاطع فيها هذه المستقيمات الثلاثة. دعنا نجد النقاط A و B و C.

$Triangle graphed on coordinate plane intersecting lines$

إيجاد النقطة A (تقاطع $ x = 1 $ و $ y = -2x + 8 $):

عوض بـ $ x = 1 $ في المعادلة: $ y = -2(1) + 8 = 6 $
A = (1, 6)

إيجاد النقطة C (تقاطع $ y = -4 $ و $ y = -2x + 8 $):

عوض بـ $ y = -4 $ في المعادلة: $ -4 = -2x + 8 \implies -2x = -12 \implies x = 6 $
C = (6, -4)

إيجاد النقطة D (تقاطع $ x = 1 $ و $ y = -4 $):

D = (1, -4)

بما أن المستقيميْن $ x = 1 $ (رأسي) و $ y = -4 $ (أفقي) متعامدان، فهذا مثلث قائم الزاوية. القاعدة والارتفاع هما المسافتان الرأسية والأفقية المستقيمتان:

الارتفاع (AB) = المسافة الرأسية من $ y = 6 $ إلى $ y = -4 $ = $ |6 - (-4)| = 10 $
القاعدة (BC) = المسافة الأفقية من $ x = 1 $ إلى $ x = 6 $ = $ |6 - 1| = 5 $

حساب المساحة:

$ \text{المساحة} = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 10 = 25 $

الإجابة: مساحة المثلث هي 25 وحدة مربعة.

صيغة المسافة: أثبت أن المثلث الذي رؤوسه A(-1,6) و B(2,6) و C(2,2) هو مثلث قائم الزاوية وأوجد مساحته.

عرض الحل خطوة بخطوة

احسب مربع طول كل ضلع باستخدام صيغة المسافة $ d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 $:

$ AB^2 = (2 - (-1))^2 + (6 - 6)^2 = 3^2 + 0^2 = 9 $
$ BC^2 = (2 - 2)^2 + (2 - 6)^2 = 0^2 + (-4)^2 = 16 $
$ CA^2 = (-1 - 2)^2 + (6 - 2)^2 = (-3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 $

تحقق مما إذا كانت نظرية فيثاغورس ($ a^2 + b^2 = c^2 $) تنطبق:

$ AB^2 + BC^2 = 9 + 16 = 25 $
بما أن $ AB^2 + BC^2 = CA^2 $ (25 = 25)، فإن المثلث قائم الزاوية ووتره هو الضلع CA.

لأنه مثلث قائم الزاوية، فإن AB و BC هما القاعدة والارتفاع. أطوال الأضلاع هي $ AB = \sqrt{9} = 3 $ و $ BC = \sqrt{16} = 4 $.

حساب المساحة:

$ \text{المساحة} = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 $

الإجابة: المثلث قائم الزاوية ومساحته 6 وحدات مربعة.

مسائل وأسئلة رياضيات الصف الثامن حول المثلثات

أسئلة التدريب والحلول

المراجع وروابط مفيدة