جبر الصف التاسع: أسئلة التدريب والحلول

توفر هذه الصفحة مجموعة شاملة من أسئلة تدريب جبر الصف التاسع مكتملة بـ حلول خطوة بخطوة. قم بتوسيع الحلول المخفية أسفل كل مجموعة أسئلة للكشف عن الاستدلال الجبري المفصل.

تشمل المواضيع التي تغطيها مجموعة التمارين هذه:

مسائل تدريب الجبر

  1. تبسيط التعبيرات الجبرية: بسط التعبيرات الجبرية التالية.
    1. \( -6x + 5 + 12x - 6 \)
    2. \( 2(x - 9) + 6(-x + 2) + 4x \)
    3. \( 3x^2 + 12 + 9x - 20 + 6x^2 - x \)
    4. \( (x + 2)(x + 4) + (x + 5)(-x - 1) \)
    5. \( 1.2(x - 9) - 2.3(x + 4) \)
    6. \( (x^2y)(xy^2) \)
    7. \( (-x^2y^2)(xy^2) \)
    عرض الحلول خطوة بخطوة

    1. جمع الحدود المتشابهة وبسط:

      • \( (-6x + 12x) + (5 - 6) \)
      • \( = 6x - 1 \)

    2. فك الأقواس، ثم اجمع الحدود المتشابهة:

      • \( 2x - 18 - 6x + 12 + 4x \)
      • \( (2x - 6x + 4x) + (-18 + 12) \)
      • \( = -6 \)

    3. جمع الحدود المتشابهة وبسط:

      • \( (3x^2 + 6x^2) + (9x - x) + (12 - 20) \)
      • \( = 9x^2 + 8x - 8 \)

    4. فك الأقواس وتجميع الحدود المتشابهة:

      • \( (x^2 + 4x + 2x + 8) + (-x^2 - x - 5x - 5) \)
      • \( x^2 + 6x + 8 - x^2 - 6x - 5 \)
      • \( (x^2 - x^2) + (6x - 6x) + (8 - 5) \)
      • \( = 3 \)

    5. فك الأقواس وتجميع الأعداد العشرية:

      • \( 1.2x - 10.8 - 2.3x - 9.2 \)
      • \( (1.2x - 2.3x) + (-10.8 - 9.2) \)
      • \( = -1.1x - 20 \)

    6. أعد الكتابة باستخدام قواعد الأسس (اجمع أسس الأساسات المتشابهة):

      • \( (x^2 \cdot x^1)(y^1 \cdot y^2) \)
      • \( = x^3y^3 \)

    7. طبق قواعد الأسس واحتفظ بالإشارة السالبة:

      • \( -(x^2 \cdot x^1)(y^2 \cdot y^2) \)
      • \( = -x^3y^4 \)
  2. التعبيرات الكسرية: بسط الكسور الجبرية التالية.
    1. \( \dfrac{(a b^2)(a^3 b)}{a^2 b^3} \)
    2. \( \dfrac{21 x^5}{3 x^4} \)
    3. \( \dfrac{(6 x^4)(4 y^2)}{(3 x^2)(16 y)} \)
    4. \( \dfrac{4x - 12}{4} \)
    5. \( \dfrac{-5x - 10}{x + 2} \)
    6. \( \dfrac{x^2 - 4x - 12}{x^2 - 2x - 24} \)
    عرض الحلول خطوة بخطوة

    1. بسط البسط أولاً، ثم اقسم:

      • البسط: \( a^1 \cdot a^3 = a^4 \)، و \( b^2 \cdot b^1 = b^3 \) \(\rightarrow a^4b^3\)
      • الكسر: \( \dfrac{a^4 b^3}{a^2 b^3} = \left(\dfrac{a^4}{a^2}\right) \cdot \left(\dfrac{b^3}{b^3}\right) \)
      • \( = a^2 \)

    2. اقسم المعاملات وطبق قاعدة خارج قسمة الأسس:

      • \( \left(\dfrac{21}{3}\right) \cdot \left(\dfrac{x^5}{x^4}\right) \)
      • \( = 7x \)

    3. اضرب الحدود في البسط والمقام، ثم بسط:

      • \( \dfrac{24 x^4 y^2}{48 x^2 y} \)
      • \( \left(\dfrac{24}{48}\right) \cdot \left(\dfrac{x^4}{x^2}\right) \cdot \left(\dfrac{y^2}{y^1}\right) \)
      • \( = \dfrac{1}{2} x^2 y \)

    4. أخرج العامل المشترك من البسط:

      • \( \dfrac{4(x - 3)}{4} \)
      • \( = x - 3 \)

    5. أخرج -5 كعامل مشترك من البسط:

      • \( \dfrac{-5(x + 2)}{x + 2} \)
      • اختصر العامل المشترك \( (x + 2) \) (بافتراض أن \(x \neq -2\))
      • \( = -5 \)

    6. حلل كلا من البسط والمقام:

      • البسط: \( (x - 6)(x + 2) \)
      • المقام: \( (x - 6)(x + 4) \)
      • \( \dfrac{(x - 6)(x + 2)}{(x - 6)(x + 4)} \)
      • \( = \dfrac{x + 2}{x + 4} \) (لكل من \( x \neq 6 \) و \( x \neq -4 \))
  3. المعادلات الخطية: أوجد قيمة \( x \) في المعادلات التالية.
    1. \( 2x = 6 \)
    2. \( 6x - 8 = 4x + 4 \)
    3. \( 4(x - 2) = 2(x + 3) + 7 \)
    4. \( 0.1x - 1.6 = 0.2x + 2.3 \)
    5. \( -\dfrac{x}{5} = 2 \)
    6. \( \dfrac{x - 4}{-6} = 3 \)
    7. \( \dfrac{-3x + 1}{x - 2} = -3 \)
    8. \( \dfrac{x}{5} + \dfrac{x - 1}{3} = \dfrac{1}{5} \)
    عرض الحلول خطوة بخطوة
      • اقسم كلا الطرفين على 2: \( x = \dfrac{6}{2} \)
      • \( x = 3 \)
      • اطرح \(4x\) وأضف \(8\) إلى كلا الطرفين:
      • \( 6x - 4x = 4 + 8 \)
      • \( 2x = 12 \)
      • \( x = 6 \)
      • فك الأقواس: \( 4x - 8 = 2x + 6 + 7 \)
      • بسط الطرف الأيمن: \( 4x - 8 = 2x + 13 \)
      • اطرح \(2x\) وأضف \(8\): \( 4x - 2x = 13 + 8 \)
      • \( 2x = 21 \)
      • \( x = \dfrac{21}{2} \)
      • اطرح \(0.2x\) وأضف \(1.6\):
      • \( 0.1x - 0.2x = 2.3 + 1.6 \)
      • \( -0.1x = 3.9 \)
      • اقسم على -0.1: \( x = \dfrac{3.9}{-0.1} \)
      • \( x = -39 \)
      • اضرب كلا الطرفين في -5:
      • \( x = -10 \)
      • اضرب كلا الطرفين في -6: \( x - 4 = -18 \)
      • أضف 4: \( x = -18 + 4 \)
      • \( x = -14 \)
      • اضرب كلا الطرفين في \( (x - 2) \):
      • \( -3x + 1 = -3(x - 2) \)
      • فك الطرف الأيمن: \( -3x + 1 = -3x + 6 \)
      • أضف \(3x\) إلى كلا الطرفين: \( 1 = 6 \)
      • هذه عبارة خاطئة. لا توجد حلول حقيقية.
      • اضرب جميع الحدود في المضاعف المشترك الأصغر (15):
      • \( 15\left(\dfrac{x}{5}\right) + 15\left(\dfrac{x - 1}{3}\right) = 15\left(\dfrac{1}{5}\right) \)
      • بسط: \( 3x + 5(x - 1) = 3 \)
      • فك الأقواس: \( 3x + 5x - 5 = 3 \)
      • جمع الحدود المتشابهة: \( 8x - 5 = 3 \)
      • أضف 5 واقسم على 8: \( 8x = 8 \)
      • \( x = 1 \)
  4. المعادلات التربيعية: أوجد جميع الحلول الحقيقية للمعادلات التالية.
    1. \( 2x^2 - 8 = 0 \)
    2. \( x^2 = -5 \)
    3. \( 2x^2 + 5x - 7 = 0 \)
    4. \( (x - 2)(x + 3) = 0 \)
    5. \( (x + 7)(x - 1) = 9 \)
    6. \( x(x - 6) = -9 \)
    عرض الحلول خطوة بخطوة
      • اقسم على 2: \( x^2 - 4 = 0 \)
      • حلل فرق المربعين: \( (x - 2)(x + 2) = 0 \)
      • مجموعة الحل: \( \{-2, 2\} \)
      • لا يمكن أن يكون مربع عدد حقيقي سالباً.
      • لا توجد حلول حقيقية.
      • حلل الطرف الأيسر: \( (2x + 7)(x - 1) = 0 \)
      • ساوي العوامل بالصفر: \( 2x + 7 = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{7}{2} \)
      • \( x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \)
      • مجموعة الحل: \( \left\{-\dfrac{7}{2}, 1\right\} \)
      • المعادلة محللة بالفعل. ساوي العوامل بالصفر:
      • \( x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \)
      • \( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \)
      • مجموعة الحل: \( \{-3, 2\} \)
      • فك الطرف الأيسر: \( x^2 + 6x - 7 = 9 \)
      • ساوي بالصفر: \( x^2 + 6x - 16 = 0 \)
      • حلل: \( (x + 8)(x - 2) = 0 \)
      • مجموعة الحل: \( \{-8, 2\} \)
      • فك الأقواس: \( x^2 - 6x = -9 \)
      • ساوي بالصفر: \( x^2 - 6x + 9 = 0 \)
      • حلل كمربع كامل: \( (x - 3)^2 = 0 \)
      • مجموعة الحل: \( \{3\} \)
  5. معادلات غير خطية أخرى: أوجد أي حلول حقيقية للمعادلات التالية.
    1. \( x^3 - 1728 = 0 \)
    2. \( x^3 = -64 \)
    3. \( \sqrt{x} = -1 \)
    4. \( \sqrt{x} = 5 \)
    5. \( \sqrt{\dfrac{x}{100}} = 4 \)
    6. \( \sqrt{\dfrac{200}{x}} = 2 \)
    عرض الحلول خطوة بخطوة
      • أعد الكتابة: \( x^3 = 1728 \)
      • خذ الجذر التكعيبي: \( x = \sqrt[3]{1728} \)
      • \( x = 12 \)
      • خذ الجذر التكعيبي: \( x = \sqrt[3]{-64} \)
      • \( x = -4 \)
      • الجذر التربيعي الأساسي لعدد حقيقي لا يكون سالباً أبداً.
      • لا توجد حلول حقيقية.
      • ربع الطرفين: \( (\sqrt{x})^2 = 5^2 \)
      • \( x = 25 \)
      • ربع الطرفين: \( \dfrac{x}{100} = 16 \)
      • اضرب في 100: \( x = 16 \times 100 \)
      • \( x = 1600 \)
      • ربع الطرفين: \( \dfrac{200}{x} = 4 \)
      • اضرب في \( x \) واقسم على 4: \( x = \dfrac{200}{4} \)
      • \( x = 50 \)
  6. تقييم التعبيرات: أوجد قيمة التعبيرات للقيم المعطاة لـ \( a \) و \( b \).
    1. \( a^2 + b^2 \) لـ \( a = 2 \) و \( b = 2 \)
    2. \( |2a - 3b| \) لـ \( a = -3 \) و \( b = 5 \)
    3. \( 3a^3 - 4b^4 \) لـ \( a = -1 \) و \( b = -2 \)
    عرض الحلول خطوة بخطوة
      • عوض بالقيم: \( (2)^2 + (2)^2 \)
      • \( = 4 + 4 \)
      • \( = 8 \)
      • عوض بالقيم: \( |2(-3) - 3(5)| \)
      • \( = |-6 - 15| \)
      • \( = |-21| \)
      • \( = 21 \) (القيمة المطلقة تزيل الإشارة السالبة)
      • عوض بالقيم: \( 3(-1)^3 - 4(-2)^4 \)
      • احسب الأسس أولاً: \( 3(-1) - 4(16) \)
      • \( = -3 - 64 \)
      • \( = -67 \)
  7. المتباينات: حل المتباينات التالية.
    1. \( x + 3 < 0 \)
    2. \( x + 1 > -x + 5 \)
    3. \( 2(x - 2) < -(x + 7) \)
    عرض الحلول خطوة بخطوة
      • اطرح 3 من كلا الطرفين:
      • \( x < -3 \)
      • أضف \( x \) إلى كلا الطرفين: \( 2x + 1 > 5 \)
      • اطرح 1: \( 2x > 4 \)
      • اقسم على 2: \( x > 2 \)
      • فك الأقواس في كلا الطرفين: \( 2x - 4 < -x - 7 \)
      • أضف \( x \): \( 3x - 4 < -7 \)
      • أضف 4: \( 3x < -3 \)
      • اقسم على 3: \( x < -1 \)
  8. المميز: ما هي قيمة الثابت \( k \) التي تجعل للمعادلة التربيعية \( x^2 + 2x = -2k \) حلين حقيقيين متميزين؟
    عرض الحل خطوة بخطوة
    • أولاً، اكتب المعادلة في الصورة القياسية (\(ax^2 + bx + c = 0\)):
      \( x^2 + 2x + 2k = 0 \)
    • حدد المعاملات: \( a = 1, b = 2, c = 2k \)
    • احسب المميز \( D = b^2 - 4ac \):
      \( D = (2)^2 - 4(1)(2k) = 4 - 8k \)
    • لكي يكون هناك حلان حقيقيان متميزان، يجب أن يكون المميز موجباً تماماً (\( D > 0 \)):
      \( 4 - 8k > 0 \)
    • حل المتباينة: \( 4 > 8k \)
    • \( k < \dfrac{1}{2} \)
  9. ميول المعادلات الخطية: ما هي قيمة الثابت \( b \) التي تجعل ميل المعادلة الخطية \( 2x + by = 2 \) يساوي 2؟
    عرض الحل خطوة بخطوة
    • أوجد قيمة \( y \) للحصول على صيغة الميل والمقطع (\( y = mx + c \)):
    • \( by = -2x + 2 \)
    • \( y = -\dfrac{2}{b}x + \dfrac{2}{b} \)
    • الميل \( m \) هو \( -\dfrac{2}{b} \). ساوي هذا بـ 2:
    • \( -\dfrac{2}{b} = 2 \)
    • اضرب في \( b \): \( -2 = 2b \)
    • \( b = -1 \)
  10. المقاطع: ما هو مقطع الصادات (y-intercept) للمستقيم \( -4x + 6y = -12 \)?
    عرض الحل خطوة بخطوة
    • لإيجاد مقطع الصادات، اجعل \( x = 0 \) وحل من أجل \( y \):
    • \( -4(0) + 6y = -12 \)
    • \( 6y = -12 \)
    • \( y = -2 \)
    • مقطع الصادات: \( (0, -2) \)
  11. المقاطع: ما هو مقطع السينات (x-intercept) للمستقيم \( -3x + y = 3 \)?
    عرض الحل خطوة بخطوة
    • لإيجاد مقطع السينات، اجعل \( y = 0 \) وحل من أجل \( x \):
    • \( -3x + 0 = 3 \)
    • \( -3x = 3 \)
    • \( x = -1 \)
    • مقطع السينات: \( (-1, 0) \)
  12. أنظمة المعادلات الخطية: ما هي نقطة تقاطع المستقيمين \( x - y = 3 \) و \( -5x - 2y = -22 \)?
    عرض الحل خطوة بخطوة
    • نقطة التقاطع تحل كلا المعادلتين معاً. استخدم التعويض.
    • حل المعادلة الأولى من أجل \( x \):
      \( x = 3 + y \)
    • عوض بـ \( (3 + y) \) بدلاً من \( x \) في المعادلة الثانية:
      \( -5(3 + y) - 2y = -22 \)
    • فك وبسط:
      \( -15 - 5y - 2y = -22 \)
      \( -7y - 15 = -22 \)
    • أضف 15 إلى كلا الطرفين:
      \( -7y = -7 \)
      \( y = 1 \)
    • عوض بـ \( y = 1 \) مرة أخرى في \( x = 3 + y \):
      \( x = 3 + 1 = 4 \)
    • نقطة التقاطع: \( (4, 1) \)
  13. نقاط على مستقيم: ما هي قيمة الثابت \( k \) التي تجعل المستقيم \( -4x + ky = 2 \) يمر بالنقطة \( (2, -3) \)?
    عرض الحل خطوة بخطوة
    • إذا كان مستقيم يمر بالنقطة، فإن إحداثياتها تحقق المعادلة. عوض بـ \( x = 2 \) و \( y = -3 \):
    • \( -4(2) + k(-3) = 2 \)
    • \( -8 - 3k = 2 \)
    • أضف 8 إلى كلا الطرفين: \( -3k = 10 \)
    • \( k = -\dfrac{10}{3} \)
  14. ميول المستقيمات الخاصة: ما هو ميل المستقيم الذي معادلته \( y - 4 = 10 \)?
    عرض الحل خطوة بخطوة
    • بسط المعادلة إلى صيغة الميل والمقطع (\( y = mx + c \)):
    • \( y = 14 \)
    • هذا يمثل خطاً أفقياً. بما أن حد \( x \) غير موجود، فإن \( m = 0 \).
    • الميل = 0
  15. ميول المستقيمات الخاصة: ما هو ميل المستقيم الذي معادلته \( 2x = -8 \)?
    عرض الحل خطوة بخطوة
    • بسط المعادلة:
    • \( x = -4 \)
    • هذا يمثل خطاً رأسياً. الخطوط الرأسية ليس لها ميل معرّف لأن التغير الأفقي يساوي صفراً (القسمة على صفر).
    • الميل غير معرّف
  16. مقاطع المستقيمات الخاصة: أوجد مقطعي السينات والصادات للمستقيم الذي معادلته \( x = -3 \).
    عرض الحل خطوة بخطوة
    • \( x = -3 \) هو خط رأسي يوازي محور الصادات.
    • يقطع محور السينات عند -3، لذا فإن مقطع السينات هو \( (-3, 0) \).
    • لأنه يوازي محور الصادات، فلن يقطعه أبداً. ليس له مقطع صادات.
  17. مقاطع المستقيمات الخاصة: أوجد مقطعي السينات والصادات للمستقيم الذي معادلته \( 3y - 6 = 3 \).
    عرض الحل خطوة بخطوة
    • بسط المعادلة:
      \( 3y = 9 \Rightarrow y = 3 \)
    • \( y = 3 \) هو خط أفقـي يوازي محور السينات.
    • يقطع محور الصادات عند 3، لذا فإن مقطع الصادات هو \( (0, 3) \).
    • لأنه يوازي محور السينات، فلن يقطعه أبداً. ليس له مقطع سينات.
  18. الميول والمحاور: ما هو ميل مستقيم موازٍ لمحور السينات؟
    عرض الحل خطوة بخطوة
    • المستقيم الموازي لمحور السينات هو خط أفقـي.
    • الخط الأفقـي لا يرتفع أو ينخفض، وبالتالي ميله يساوي 0.
  19. الميول والمحاور: ما هو ميل مستقيم عمودي على محور السينات؟
    عرض الحل خطوة بخطوة
    • المستقيم العمودي على محور السينات هو خط رأسي (موازٍ لمحور الصادات).
    • التغير في \( x \) يساوي صفراً، مما يعني أنك ستضطر للقسمة على صفر لحساب الميل.
    • الميل غير معرّف.

المراجع وروابط مفيدة