قواعد الأسس: الأسئلة والحلول خطوة بخطوة - الصف التاسع

صُممت هذه الصفحة لمساعدة الطلاب، أولياء الأمور، والمعلمين على إتقان خصائص الأسس من خلال أسئلة مختارة بعناية وحلول مفصلة خطوة بخطوة متوفرة مباشرة تحت كل مجموعة أسئلة.

الصيغة الأسية هي طريقة مريحة لكتابة عمليات ضرب طويلة ومتكررة لنفس العدد في نفسه:

\[ \underbrace{ a \cdot a \cdot a \dots a}_{ n \text{ times} } = a^n \]

هنا، يسمى \( a \) الأساس (عدد حقيقي) و \( n \) يسمى الأس (عدد صحيح). يُقرأ التعبير \( a^n \) على أنه "\( a \) مرفوع للقوة \( n \)." يُعد فهم هذه القواعد خطوة أساسية متقدمة للجبر والتحليل.

قواعد وخصائص الأسس

راجع هذه الخصائص الأساسية قبل محاولة حل الأسئلة أدناه:

# اسم القاعدة التعريف الأمثلة
1 الصيغة الأسية \( \underbrace{ a \cdot a \cdot a \dots a}_{ n \text{ times} } = a^n \) \( 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5 \)
\( 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \)
2 الأس السالب \( a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \)  أو  \( a^{n} = \dfrac{1}{a^{-n}} \) \( 3^{-4} = \dfrac{1}{3^4} \)
\( 5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} \)
3 قاعدة الضرب (نفس الأساس) \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) \( 2^4 \cdot 2^6 = 2^{4+6} = 2^{10} \)
\( 3^{2+6} = 3^2 \cdot 3^6 \)
4 قاعدة الضرب (نفس الأس) \( a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m \) \( 2^5 \cdot 3^5 = (2 \cdot 3)^5 = 6^5 \)
\( (4 \cdot 3)^2 = 4^2 \cdot 3^2 \)
5 قاعدة القسمة (نفس الأساس) \( \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m - n} \) \( \dfrac{2^6}{2^4} = 2^{6-4} = 2^{2} \)
\( 3^{5-2} = \dfrac{3^5}{3^2} \)
6 قاعدة القسمة (نفس الأس) \( \left( \dfrac{a}{b} \right)^m = \dfrac{a^m}{b^m} \) \( \left( \dfrac{3}{5} \right)^4 = \dfrac{3^4}{5^4} \)
\( \dfrac{4^2}{5^2} = \left( \dfrac{4}{5} \right)^2 \)
7 قاعدة القسمة (أس سالب) \( \left( \dfrac{a}{b} \right)^{-m} = \dfrac{b^m}{a^m} \) \( \left( \dfrac{3}{5} \right)^{-2} = \dfrac{5^2}{3^2} \)
8 قاعدة القوة \( (a^n)^m = a^{n \cdot m} \) \( (2^3)^4 = 2^{3\cdot4} = 2^{12} \)
\( 3^{4 \cdot 5} = (3^4)^5 = (3^5)^4 \)
9 قاعدة الأس صفر \( a^0 = 1 \)   (لكل \( a \neq 0 \)) \( 10000000^0 = 1 \)
ملاحظة: \( \color{red}{0^0 \text{ غير معرّف}} \)
10 قاعدة الأس واحد \( a^1 = a \) \( 45^1 = 45 \)
\( 100 = 100^1 \)
11 قاعدة الأساس واحد \( 1^n = 1 \) \( 1^{230} = 1 \)
\( 1^{-100} = 1 \)
12 قاعدة أساس الواحد السالب \( (-1)^n = \begin{cases} 1, & \text{إذا كان } n \text{ زوجياً} \\ -1, & \text{إذا كان } n \text{ فردياً} \end{cases} \) \( (-1)^{19} = -1 \)
\( (-1)^{18} = 1 \)

أسئلة التدريب والحلول

التعليمات: حاول حل جميع الأسئلة التالية بدون استخدام الآلة الحاسبة قبل توسيع مربع الحلول.

  1. أوجد قيمة التعبيرات التالية:
    1. \( 1^1 \)
    2. \( 2^3 \)
    3. \( (-2)^2 \)
    4. \( (-2)^3 \)
    5. \( 3^4 \)
    6. \( 4^2 \)
    7. \( 2^5 \)
    8. \( 5^2 \)
    9. \( (-1)^6 \)
    10. \( 7^2 \)
    11. \( (-9)^2 \)
    12. \( 3^3 \)
    13. \( 10^2 \)
    14. \( 10^3 \)
    15. \( 0.1^3 \)
    عرض الحلول خطوة بخطوة للسؤال 1
    1. \( 1^1 = 1 \)
    2. \( 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \)
    3. \( (-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4 \)
    4. \( (-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8 \)
    5. \( 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81 \)
    6. \( 4^2 = 4 \cdot 4 = 16 \)
    7. \( 2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32 \)
    8. \( 5^2 = 5 \cdot 5 = 25 \)
    9. \( (-1)^6 = 1 \) (أس زوجي للعدد السالب واحد)
    10. \( 7^2 = 7 \cdot 7 = 49 \)
    11. \( (-9)^2 = (-9) \cdot (-9) = 81 \)
    12. \( 3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 \)
    13. \( 10^2 = 10 \cdot 10 = 100 \)
    14. \( 10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000 \)
    15. \( 0.1^3 = 0.1 \cdot 0.1 \cdot 0.1 = 0.001 \)
  2. اكتب الأعداد التالية في الصيغة الأسية على ألا يساوي الأس الرقم 1:
    (قد يكون هناك أكثر من إجابة صحيحة)
    1. \( 0 \)
    2. \( 1 \)
    3. \( 4 \)
    4. \( 8 \)
    5. \( 9 \)
    6. \( 16 \)
    7. \( 25 \)
    8. \( 32 \)
    9. \( 49 \)
    10. \( 64 \)
    11. \( 81 \)
    12. \( 100 \)
    13. \( -27 \)
    14. \( -8 \)
    15. \( -64 \)
    عرض الحلول خطوة بخطوة للسؤال 2
    1. \( 0 = 0^2 = 0^3 = 0^4 \dots \)
      (إجابات عديدة ممكنة. ملاحظة: \(0^0\) غير معرّف)
    2. \( 1 = 1^0 = 1^2 = 1^3 \dots \)
      (إجابات عديدة ممكنة)
    3. \( 4 = 2^2 = (-2)^2 \)
    4. \( 8 = 2^3 \)
    5. \( 9 = 3^2 = (-3)^2 \)
    6. \( 16 = 2^4 = 4^2 = (-2)^4 = (-4)^2 \)
    7. \( 25 = 5^2 = (-5)^2 \)
    8. \( 32 = 2^5 \)
    9. \( 49 = 7^2 = (-7)^2 \)
    10. \( 64 = 8^2 = 4^3 = (-8)^2 \)
    11. \( 81 = 9^2 = (-9)^2 \)
    12. \( 100 = 10^2 = (-10)^2 \)
    13. \( -27 = (-3)^3 \)
    14. \( -8 = (-2)^3 \)
    15. \( -64 = (-4)^3 \)
  3. استخدم قواعد الأسس لتقييم التعبيرات التالية:
    1. \( 120^0 \)
    2. \( 2^{-3} \)
    3. \( 2^{-3} \cdot 2^6 \)
    4. \( 2^3 \cdot 3^3 \)
    5. \( \dfrac{3^{10}}{3^8} \)
    6. \( 4^{-1} \)
    7. \( \dfrac{8^3}{4^3} \)
    8. \( \dfrac{100^3}{10^3} \)
    9. \( (2^2)^2 \)
    10. \( (1^3)^{25} \)
    11. \( ((-1)^2)^{20} \)
    12. \( - 2^{-2} \)
    13. \( ((-1)^{-1})^{-1} \)
    14. \( \left(\dfrac{100}{10}\right)^{-2} \)
    15. \( \left(\dfrac{10}{1000}\right)^{-2} \)
    عرض الحلول خطوة بخطوة للسؤال 3
    1. \( 120^0 = 1 \) (القاعدة 9: أي عدد غير صفري مرفوع للقوة 0 يساوي 1)
    2. \( 2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8} = 0.125 \) (القاعدة 2)
    3. \( 2^{-3} \cdot 2^6 = 2^{-3+6} = 2^3 = 8 \) (القاعدة 3)
    4. \( 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 216 \) (القاعدة 4)
    5. \( \dfrac{3^{10}}{3^8} = 3^{10-8} = 3^2 = 9 \) (القاعدة 5)
    6. \( 4^{-1} = \dfrac{1}{4^1} = \dfrac{1}{4} = 0.25 \) (القاعدة 2)
    7. \( \dfrac{8^3}{4^3} = \left(\dfrac{8}{4}\right)^3 = 2^3 = 8 \) (القاعدة 6)
    8. \( \dfrac{100^3}{10^3} = \left(\dfrac{100}{10}\right)^3 = 10^3 = 1000 \) (القاعدة 6)
    9. \( (2^2)^2 = 2^{2 \cdot 2} = 2^4 = 16 \) (القاعدة 8)
    10. \( (1^3)^{25} = 1^{3 \cdot 25} = 1^{75} = 1 \) (القاعدتان 8 و 11)
    11. \( ((-1)^2)^{20} = (-1)^{2 \cdot 20} = (-1)^{40} = 1 \) (القاعدتان 8 و 12)
    12. \( -2^{-2} = - \dfrac{1}{2^2} = - \dfrac{1}{4} = -0.25 \) (القاعدة 2)
    13. \( ((-1)^{-1})^{-1} = (-1)^{(-1) \cdot (-1)} = (-1)^1 = -1 \) (القاعدتان 8 و 12)
    14. \( \left(\dfrac{100}{10}\right)^{-2} = \left(\dfrac{10}{100}\right)^2 = 0.1^2 = 0.01 \) (القاعدة 7)
    15. \( \left(\dfrac{10}{1000}\right)^{-2} = \left(\dfrac{1000}{10}\right)^2 = 100^2 = 10000 \) (القاعدة 7)
  4. بسط واكتب التعبيرات التالية بأس موجب واحد إن أمكن:
    1. \( 3^2 \cdot 3^8 \)
    2. \( \dfrac{2^5}{2^2} \)
    3. \( \left(3^5\right)^2 \)
    4. \( 6^4 \cdot \dfrac{6^5}{6^2} \)
    5. \( (-7)^2 \cdot (-7)^3 \)
    6. \( (5^2)^2 \cdot (5^3)^3 \cdot 5 \)
    7. \( x^{-1} \cdot x^3 \)
    8. \( \dfrac{a^5}{a^2} \)
    9. \( \dfrac{a^2}{a^7} \)
    10. \( 2^x \cdot 4^3 \cdot 2^y \)
    11. \( (3^{-1})^x \)
    12. \( 3^x \cdot 9^x \)
    13. \( \dfrac{a^x}{a^4} \cdot a^6 \)
    عرض الحلول خطوة بخطوة للسؤال 4
    1. \( 3^2 \cdot 3^8 = 3^{2+8} = 3^{10} \) (القاعدة 3)
    2. \( \dfrac{2^5}{2^2} = 2^{5-2} = 2^3 \) (القاعدة 5)
    3. \( \left(3^5\right)^2 = 3^{5 \cdot 2} = 3^{10} \) (القاعدة 8)
    4. \( 6^4 \cdot \dfrac{6^5}{6^2} = 6^4 \cdot 6^{5-2} = 6^4 \cdot 6^3 = 6^{4+3} = 6^7 \) (القاعدتان 5 و 3)
    5. \( (-7)^2 \cdot (-7)^3 = (-7)^{2+3} = (-7)^5 \) (القاعدة 3)
    6. \( (5^2)^2 \cdot (5^3)^3 \cdot 5 = 5^4 \cdot 5^9 \cdot 5^1 = 5^{4+9+1} = 5^{14} \) (القاعدتان 8 و 3)
    7. \( x^{-1} x^3 = x^{-1+3} = x^2 \) (القاعدة 3)
    8. \( \dfrac{a^5}{a^2} = a^{5-2} = a^3 \) (القاعدة 5)
    9. \( \dfrac{a^2}{a^7} = a^{2-7} = a^{-5} = \dfrac{1}{a^5} \) (القاعدتان 5 و 2)
    10. \( 2^x \cdot 4^3 \cdot 2^y \): اكتب \( 4 \) على شكل \( 2^2 \)، إذن \( (2^2)^3 = 2^6 \). بعد ذلك، \( 2^x \cdot 2^6 \cdot 2^y = 2^{x+6+y} \)
    11. \( (3^{-1})^x = 3^{-x} = \dfrac{1}{3^x} \) (القاعدتان 8 و 2)
    12. \( 3^x \cdot 9^x = (3 \cdot 9)^x = 27^x \) (القاعدة 4)
    13. \( \dfrac{a^x}{a^4} \cdot a^6 = a^{x-4} \cdot a^6 = a^{x-4+6} = a^{x+2} \) (القاعدتان 5 و 3)
  5. بسط التعبيرات الجبرية التالية:
    1. \( a^2 \cdot \dfrac{a^5}{a^2} \)
    2. \( \left (\dfrac{3x}{x} \right)^3 \)
    3. \( (2^2)^2 \)
    4. \( \dfrac{1}{4} \cdot \left (\dfrac{2x}{x} \right)^2 \)
    5. \( \dfrac{y^4 x^3}{x^2y^2} \)
    6. \( \dfrac{x^2}{4y^2} \cdot \left (\dfrac{8y}{x} \right)^2 \)
    7. \( (-6a)^2 \cdot (a^2 + 1)^0 \)
    عرض الحلول خطوة بخطوة للسؤال 5
    1. \( a^2 \cdot \dfrac{a^5}{a^2} \)
      تطبيق قاعدة القسمة: \( a^2 \cdot a^{5-2} = a^2 \cdot a^3 = a^{2+3} = a^5 \)
    2. \( \left (\dfrac{3x}{x} \right)^3 \)
      البسط باختصار \( x \) داخل القوس: \( \left(\dfrac{3}{1}\right)^3 = 3^3 = 27 \)
    3. \( (2^2)^2 \)
      حساب \( 2^2 \) داخل القوس أولاً: \( 4^2 = 16 \)
    4. \( \dfrac{1}{4} \cdot \left (\dfrac{2x}{x} \right)^2 \)
      اختصار \( x \) داخل القوس: \( \dfrac{1}{4} \cdot 2^2 = \dfrac{1}{4} \cdot 4 = 1 \)
    5. \( \dfrac{y^4 x^3}{x^2 y^2} \)
      التجميع حسب المتغير: \( \left(\dfrac{x^3}{x^2}\right) \cdot \left(\dfrac{y^4}{y^2}\right) = x^{3-2} \cdot y^{4-2} = xy^2 \)
    6. \( \dfrac{x^2}{4y^2} \cdot \left (\dfrac{8y}{x} \right)^2 \)
      تطبيق القاعدة 6 على الحد الثاني: \( \dfrac{x^2}{4y^2} \cdot \dfrac{(8y)^2}{x^2} = \dfrac{x^2}{4y^2} \cdot \dfrac{64y^2}{x^2} \)
      اختصار الحدود المتشابهة (\( x^2 \) و \( y^2 \)): \( \dfrac{64}{4} = 16 \)
    7. \( (-6a)^2 \cdot (a^2 + 1)^0 \)
      استخدام القاعدة 9 لتقييم \( (a^2 + 1)^0 = 1 \). ثم تطبيق القاعدة 4 على \( (-6a)^2 \): \( (-6)^2 \cdot a^2 \cdot 1 = 36a^2 \)

المراجع وروابط مفيدة

الصفحة الرئيسية