مسائل تدريب الهندسة
-
المسألة 1: الزوايا المتتامة
الزاويتان \( A \) و \( B \) متتامتان، وقياس الزاوية \( A \) يساوي ضعف قياس الزاوية \( B \). أوجد قياسي الزاويتين \( A \) و \( B \).
عرض الحل خطوة بخطوة
لتكن \( A \) قياس الزاوية \( A \) و \( B \) قياس الزاوية \( B \). لقد علمنا أن:
\[ A = 2B \]
لأن الزاويتين \( A \) و \( B \) متتامتان، فمجموعهما يساوي \( 90^\circ \):
\[ A + B = 90^\circ \]
عوض بـ \( 2B \) بدلاً من \( A \) في المعادلة:
\[ 2B + B = 90^\circ \]
\[ 3B = 90^\circ \]
\[ B = \dfrac{90^\circ}{3} = 30^\circ \]
الآن، عوض بـ \( B \) مرة أخرى لإيجاد \( A \):
\[ A = 2(30^\circ) = 60^\circ \]
الإجابة: قياس \( A = 60^\circ \)، قياس \( B = 30^\circ \).
-
المسألة 2: مساحة متوازي الأضلاع
\( ABCD \) هو متوازي أضلاع بحيث أن \( AB \) يوازي \( DC \) و \( DA \) يوازي \( CB \). طول الضلع \( AB \) هو \( 20 \text{ cm} \). النقطة \( E \) تقع بين \( A \) و \( B \) بحيث يكون طول \( AE \) هو \( 3 \text{ cm} \). النقطة \( F \) تقع بين النقطتين \( D \) و \( C \).
أوجد طول \( DF \) بحيث تقسم القطعة المستقيمة \( EF \) متوازي الأضلاع إلى منطقتين متساويتين في المساحة.
عرض الحل خطوة بخطوة
ليكن \( A_1 \) مساحة شبه المنحرف \( AEFD \). مساحته تعطى بواسطة:
\[ A_1 = \dfrac{1}{2} h (AE + DF) = \dfrac{1}{2} h (3 + DF) \]
حيث \( h \) هو ارتفاع متوازي الأضلاع.
ليكن \( A_2 \) مساحة شبه المنحرف \( EBCF \). مساحته تعطى بواسطة:
\[ A_2 = \dfrac{1}{2} h (EB + FC) \]
يمكننا إيجاد أطوال القواعد المتبقية لأن الطول الكلي لأضلاع متوازي الأضلاع هو \( 20 \):
\[ EB = 20 - AE = 20 - 3 = 17 \]
\[ FC = 20 - DF \]
عوض بـ \( EB \) و \( FC \) في معادلة \( A_2 \):
\[ A_2 = \dfrac{1}{2} h (17 + 20 - DF) = \dfrac{1}{2} h (37 - DF) \]
لكي تقسم القطعة المستقيمة \( EF \) متوازي الأضلاع إلى منطقتين متساويتين في المساحة، اجعل \( A_1 = A_2 \):
\[ \dfrac{1}{2} h (3 + DF) = \dfrac{1}{2} h (37 - DF) \]
اضرب كلا الطرفين في 2 واقسم على \( h \):
\[ 3 + DF = 37 - DF \]
\[ 2DF = 34 \]
\[ DF = 17 \text{ cm} \]
-
المسألة 3: الزوايا الداخلية للمثلث
أوجد قياس الزاوية \( A \) في الشكل أدناه.
عرض الحل خطوة بخطوة
لإيجاد الزاوية \( A \)، يجب علينا أولاً إيجاد الزاويتين الداخليتين الأخريين للمثلث باستخدام الزوايا الخارجية المتكاملة.
الزاوية الداخلية الأولى (أسفل اليسار) متكاملة مع الزاوية ذات القياس \( 129^\circ \). الخط المستقيم قياسه \( 180^\circ \)، إذن:
\[ 180^\circ - 129^\circ = 51^\circ \]
الزاوية الداخلية الثانية (أسفل اليمين) متكاملة مع الزاوية ذات القياس \( 138^\circ \):
\[ 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ \]
مجموع زوايا المثلث الداخلية الثلاث يساوي دائماً \( 180^\circ \). بناءً على ذلك:
\[ A + 51^\circ + 42^\circ = 180^\circ \]
\[ A = 180^\circ - 51^\circ - 42^\circ = 87^\circ \]
-
المسألة 4: الزوايا في مثلث قائم الزاوية
\( ABC \) مثلث قائم الزاوية. \( AM \) عمودي على \( BC \). قياس الزاوية \( ABC \) يساوي \( 55^\circ \). أوجد قياس الزاوية \( MAC \).
عرض الحل خطوة بخطوة
مجموع زوايا المثلث الكبير \( \triangle ABC \) هو \( 180^\circ \). وبما أنه قائم الزاوية عند \( A \)، نعلم أن الزوايا هي \( 90^\circ \) و \( 55^\circ \) (المعطاة لـ \( \angle ABC \)) و \( \angle ACB \):
\[ \angle ABC + \angle ACB + 90^\circ = 180^\circ \]
عوض بـ \( \angle ABC = 55^\circ \) وحل من أجل \( \angle ACB \):
\[ 55^\circ + \angle ACB + 90^\circ = 180^\circ \]
\[ \angle ACB = 180^\circ - 145^\circ = 35^\circ \]
الآن انظر إلى المثلث الأصغر \( \triangle AMC \). الخط \( AM \) عمودي على \( BC \)، مما يعني أن \( \angle AMC = 90^\circ \). مجموع زوايا \( \triangle AMC \) هو \( 180^\circ \):
\[ \angle MAC + \angle ACM + 90^\circ = 180^\circ \]
لاحظ أن \( \angle ACM \) هي نفس الزاوية تماماً مثل \( \angle ACB \). عوض بـ \( 35^\circ \) في المعادلة:
\[ \angle MAC + 35^\circ + 90^\circ = 180^\circ \]
\[ \angle MAC = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ \]
-
المسألة 5: الزوايا المتقابلة بالرأس
أوجد قياس الزاوية \( MBD \) في الشكل أدناه.
عرض الحل خطوة بخطوة
أولاً، أوجد الزاوية المفقودة في المثلث الأيسر، \( \triangle AMC \). مجموع زواياه هو \( 180^\circ \):
\[ 56^\circ + 78^\circ + \angle AMC = 180^\circ \]
\[ \angle AMC = 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ \]
الزاويتان \( \angle AMC \) و \( \angle DMB \) متقابلتان بالرأس، مما يعني أن لهما نفس القياس:
\[ \angle DMB = \angle AMC = 46^\circ \]
الآن، استخدم مجموع زوايا المثلث الأيمن، \( \triangle DMB \)، وهو أيضاً \( 180^\circ \):
\[ \angle MBD + \angle DMB + 62^\circ = 180^\circ \]
عوض بـ \( \angle DMB = 46^\circ \):
\[ \angle MBD + 46^\circ + 62^\circ = 180^\circ \]
\[ \angle MBD = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ \]
-
المسألة 6: المستقيمات والزوايا المتقاطعة
قياس الزاوية \( AOB \) يساوي \( 132^\circ \) وقياس الزاوية \( COD \) يساوي \( 141^\circ \). أوجد قياس الزاوية \( DOB \).
عرض الحل خطوة بخطوة
الزاوية \( \angle AOB = 132^\circ \) وتتكون من مجموع الزاويتين \( \angle AOD \) و \( \angle DOB \):
\[ \angle AOD + \angle DOB = 132^\circ \quad \text{(المعادلة 1)} \]
الزاوية \( \angle COD = 141^\circ \) وتتكون من مجموع الزاويتين \( \angle COB \) و \( \angle DOB \):
\[ \angle COB + \angle DOB = 141^\circ \quad \text{(المعادلة 2)} \]
اجمع المعادلة 1 والمعادلة 2 معاً:
\[ \angle AOD + \angle DOB + \angle COB + \angle DOB = 132^\circ + 141^\circ \]
بما أن \( A, O, \) و \( C \) تشكل خطاً مستقيماً، فإن الزوايا \( \angle AOD, \angle DOB, \) و \( \angle COB \) تشكل زاوية مستقيمة، مما يعني:
\[ \angle AOD + \angle DOB + \angle COB = 180^\circ \]
عوض بـ \( 180^\circ \) في معادلتنا المجموعية:
\[ 180^\circ + \angle DOB = 273^\circ \]
\[ \angle DOB = 273^\circ - 180^\circ = 93^\circ \]
-
المسألة 7: زوايا الشكل الرباعي
أوجد قياس الزاوية \( x \) في الشكل.
عرض الحل خطوة بخطوة
لإيجاد \( x \)، نحتاج أولاً إلى تحديد جميع الزوايا الداخلية للشكل الرباعي.
اثنتان من الزوايا الداخلية معطتان كـ \( 41^\circ \) و \( 94^\circ \).
الزاوية الداخلية المكملة للزاوية الخارجية \( x \) هي: \( 180^\circ - x \).
الزاوية الداخلية المكملة للزاوية الخارجية \( 111^\circ \) هي: \( 180^\circ - 111^\circ = 69^\circ \).
مجموع جميع الزوايا الداخلية لشكل رباعي هو \( 360^\circ \). بناءً على ذلك:
\[ 41^\circ + 94^\circ + (180^\circ - x) + 69^\circ = 360^\circ \]
اجمع القيم الثابتة:
\[ 384^\circ - x = 360^\circ \]
\[ x = 384^\circ - 360^\circ = 24^\circ \]
-
المسألة 8: محيط ومساحة الشبكة
المستطيل أدناه يتكون من 12 مربعاً متطابقاً (نفس الحجم). أوجد محيط المستطيل إذا كانت مساحة المستطيل تساوي \( 432 \text{ cm}^2 \).
عرض الحل خطوة بخطوة
إذا كانت المساحة الكلية للمستطيل هي \( 432 \text{ cm}^2 \)، فإن مساحة مربع صغير واحد هي:
\[ \dfrac{432}{12} = 36 \text{ cm}^2 \]
ليكن \( x \) طول ضلع مربع صغير واحد. مساحة مربع واحد هي \( x^2 \):
\[ x^2 = 36 \implies x = 6 \text{ cm} \]
تظهر الشبكة أن المستطيل طوله 4 مربعات وعرضه 3 مربعات. أبعاد المستطيل الكبير هي:
\[ \text{الطول } (L) = 4 \times 6 = 24 \text{ cm} \]
\[ \text{العرض } (W) = 3 \times 6 = 18 \text{ cm} \]
محيط \( P \) للمستطيل هو:
\[ P = 2(L + W) = 2(24 + 18) = 2(42) = 84 \text{ cm} \]
-
المسألة 9: المثلثات متساوية الساقين داخل مثلث قائم الزاوية
\( ABC \) مثلث قائم الزاوية مع قياس الزاوية \( ACB \) يساوي \( 74^\circ \). أطوال قطع الأضلاع \( AM \) و \( MQ \) و \( QP \) كلها متساوية. أوجد قياس الزاوية \( QPB \).
عرض الحل خطوة بخطوة
افترض أن الزاوية القائمة عند \( B \) (مما يجعل \( \angle ABC = 90^\circ \)). الزاوية \( \angle CAB \) في المثلث القائم الزاوية \( \triangle ACB \) هي:
\[ \angle CAB = 90^\circ - 74^\circ = 16^\circ \]
بما أن القطعتين \( AM \) و \( MQ \) متساويتان في الطول، فإن المثلث \( \triangle AMQ \) هو مثلث متساوي الساقين. لذلك، زوايا قاعدته متساوية:
\[ \angle AQM = \angle QAM = 16^\circ \]
مجموع جميع الزوايا الداخلية في \( \triangle AMQ \) هو \( 180^\circ \):
\[ 16^\circ + 16^\circ + \angle AMQ = 180^\circ \implies \angle AMQ = 148^\circ \]
الزاوية \( \angle QMP \) متكاملة مع الزاوية \( \angle AMQ \) (تشكلان خطاً مستقيماً على القاعدة):
\[ \angle QMP = 180^\circ - 148^\circ = 32^\circ \]
بما أن الطولين \( QM \) و \( QP \) متساويان، فإن المثلث \( \triangle QMP \) هو أيضاً مثلث متساوي الساقين. لذلك:
\[ \angle QPM = \angle QMP = 32^\circ \]
الزاوية \( \angle QPB \) متكاملة مع الزاوية \( \angle QPM \) (تشكلان خطاً مستقيماً):
\[ \angle QPB = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ \]
-
المسألة 10: طرح المساحة
أوجد مساحة الشكل المركب المعطى.
عرض الحل خطوة بخطوة
يمكن العثور على مساحة الشكل المعطى بسهولة عن طريق حساب مساحة المستطيل المحيط الكامل وطرح المثلث القائم الزاوية "المفقود" في الزاوية اليمنى العليا.
أبعاد المستطيل المحيط الكامل هي \( 20 \text{ cm} \) في \( 15 \text{ cm} \).
أضلاع المثلث القائم الزاوية "المفقود" (باللون الأحمر في الرسم التخطيطي) هي:
\[ \text{القاعدة} = 20 - 8 = 12 \text{ cm} \]
\[ \text{الارتفاع} = 15 - 10 = 5 \text{ cm} \]
احسب المساحة:
\[ \text{المساحة} = \text{مساحة المستطيل} - \text{مساحة المثلث} \]
\[ \text{المساحة} = (20 \times 15) - \left( \dfrac{1}{2} \times 12 \times 5 \right) \]
\[ \text{المساحة} = 300 - 30 = 270 \text{ cm}^2 \]
-
المسألة 11: المساحة المظللة
أوجد مساحة المنطقة المظللة.
عرض الحل خطوة بخطوة
يمكن إيجاد مساحة الشكل المظلل عن طريق طرح مساحة المستطيل غير المظلل في أعلى اليسار من المساحة الكلية للمستطيل الخارجي الكبير.
أولاً، أوجد أبعاد المستطيل غير المظلل في أعلى اليسار:
\[ \text{الطول} = 30 - 8 = 22 \text{ cm} \]
\[ \text{العرض} = 15 - 4 = 11 \text{ cm} \]
الآن، قم بطرح المساحة:
\[ \text{المساحة} = \text{مساحة المستطيل الكبير} - \text{مساحة المستطيل غير المظلل} \]
\[ \text{المساحة} = (30 \times 15) - (22 \times 11) \]
\[ \text{المساحة} = 450 - 242 = 208 \text{ cm}^2 \]
-
المسألة 12: نسبة المربع المدرج
رؤوس المربع المدرج (الداخلي) تنصف أضلاع المربع الثاني (الخارجي). أوجد نسبة مساحة المربع الخارجي إلى مساحة المربع الداخلي.
عرض الحل خطوة بخطوة
ليكن \( 2x \) طول ضلع المربع الخارجي الكبير. هذا يعني أن نقطة المنتصف للضلع تقسمه إلى قطعتين طول كل منهما \( x \).
مساحة المربع الخارجي الكبير هي:
\[ \text{المساحة}_{\text{الخارجي}} = (2x) \times (2x) = 4x^2 \]
ليكن \( y \) طول ضلع المربع الداخلي المدرج. مساحته هي \( y^2 \).
بما أن الرؤوس تنصف المربع الخارجي، فإنها تشكل أربعة مثلثات قائمة الزاوية في الزوايا بقاعدة \( x \) وارتفاع \( x \). يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد \( y^2 \):
\[ y^2 = x^2 + x^2 = 2x^2 \]
النسبة \( R \) لمساحة المربع الخارجي إلى مساحة المربع الداخلي هي:
\[ R = \dfrac{\text{المساحة}_{\text{الخارجي}}}{\text{المساحة}_{\text{الداخلي}}} = \dfrac{4x^2}{2x^2} = \dfrac{4}{2} = \dfrac{2}{1} \]
الإجابة: النسبة هي 2:1.