أسئلة التدريب
-
بسط التعبيرات التالية:
أ) \( 2\sqrt{8} - 4\sqrt{2} \qquad \) ب) \( \dfrac{2 + \sqrt{12}}{2} \qquad\) ج) \( 2\sqrt{3} + \dfrac{6}{\sqrt{3}} \qquad \) د) \( 3\sqrt{5} - \dfrac{1}{\sqrt{5} - 2} \)عرض حل الفيديو
تتضمن هذه المسألة تبسيط تعبيرات تحتوي على جذور تربيعية وجذور.
-
فك وبسط كثيرات الحدود أدناه:
أ) \( -(-2x - 2)(-x + 3) - (3x^2 + x - 2) \qquad \) ب) \( 3(-x - 5)^2 - 4x(-x - 7) \)عرض حل الفيديو
تتطلب هذه المسألة تطبيق خاصية التوزيع وجمع الحدود المتشابهة.
-
بسط التعبيرات أدناه:
أ) \( (2x^2)^2 (3x)^2 \qquad \) ب) \( (10x^4)^0 (3x^4)^3 \qquad \) ج) \( \dfrac{(-4x^4y^2)^2}{(2xy)^3} \)عرض حل الفيديو
طبق قواعد الأسس (قاعدة الضرب، قاعدة القسمة، وقاعدة القوة) للتبسيط.
-
بسط التعبيرات الكسرية:
أ) \( \dfrac{-3x + 2}{x - 1} \cdot \dfrac{2x - 2}{3x - 2} \qquad \) ب) \( \dfrac{(2n + 3)(3n + 15)}{(n - 5)(6n + 9)} \qquad \) ج) \( \dfrac{2x^2 + x}{x(2x + 1)} \qquad \) د) \( \dfrac{x^2 + 2x - 3}{(x + 3)(2x - 2)} \)عرض حل الفيديو
حلل البسوط والمقامات لإيجاد العوامل المشتركة التي يمكن اختصارها.
-
قيم وبسط التعبيرات للقيمة (أو القيم) المعطاة للمتغير (أو المتغيرات):
أ) \( \sqrt{x + 6} \)، لـ \( x = -2 \qquad \) ب) \( |x + y - 10| \)، لـ \( x = -4 \) و \( y = 3 \qquad \) ج) \( \dfrac{-x^3 + 1}{5} + \dfrac{x^2 - 2}{2} \)، لـ \( x = -2 \)عرض حل الفيديو
عوض بالقيم المعطاة في التعبيرات الجبرية وبسط باستخدام ترتيب العمليات.
-
حلل التعبيرات الجبرية:
أ) \( 4x - 16 \qquad \) ب) \( 6x^2 + 2x \qquad \) ج) \( x^2 - 9\qquad \) د) \( 9x^2 - 16y^2 \qquad \) هـ) \( x^2 - 4x - 5 \qquad \) و) \( \dfrac{1}{2}x^2 + x + \dfrac{1}{2} \)عرض حل الفيديو
أوجد العامل المشترك الأكبر (GCF) أو استخدم طرقاً مثل التجميع أو فرق المربعين.
-
حل المعادلات التالية:
أ) \( -2(x + 2) - x = 3(x + 2) + 2 \qquad \) ب) \( \dfrac{x - 2}{3} = \dfrac{2x + 1}{2} \qquad \) ج) \( \dfrac{3x + 1}{4} - 2 = \dfrac{-x + 3}{2} \)عرض حل الفيديو
اعزل المتغير عن طريق إجراء عمليات عكسية على كلا طرفي المعادلة.
-
حل المعادلات التربيعية التالية:
أ) \( (x-1)(x+8) = 0 \)
ب) \( x(x-1) = 1 \)
ج) \( 2x^2 + 6x = 8 \)عرض حل الفيديو
للمعادلات التربيعية القياسية، اجعلها تساوي صفراً وحللها، أو استخدم الصيغة التربيعية.
-
حل المعادلات التالية:
أ) \( \sqrt{x} = 2 \)
ب) \( \sqrt{x - 2} = 4 \)
ج) \( \sqrt{\dfrac{x}{10}} = 2 \)عرض حل الفيديو
اعزل التعبير الجذري، ثم مربع كلا الطرفين للتخلص من الجذر التربيعي.
-
حل المتباينات التالية ومثل مجموعة الحل باستخدام الفترات، والرسومات البيانية على خط الأعداد، ورموز المتباينة:
أ) \( 3(x - 2) + 2x < -(x+2) \)
ب) \( \dfrac{x + 5}{3} \ge \dfrac{-x+2}{2} \)
ج) \( -(2x - 2) \le 3x + 12 \)عرض حل الفيديو
تذكر قلب إشارة المتباينة إذا قمت بالضرب أو القسمة على عدد سالب.
-
ما هي قيمة المعلم \( a \) التي تجعل النقطة ذات الإحداثيات \( (a, 3) \) تقع على المستقيم الذي معادلته \( 2x - 3y = 4 \)?
عرض حل الفيديو
عوض بالإحداثيات في المعادلة وحل من أجل المعلم المجهول.
-
ما هي نقطة تقاطع المستقيمين المعطاة معادلتيهما بـ \( 2x + y = 5 \) و \( 3x - 2y = 4 \)?
عرض حل الفيديو
استخدم طريقتي التعويض أو الحذف لحل نظام المعادلات الخطية.
-
ما هو ميل كل من المستقيمات المعطاة بالمعادلات التالية؟
أ) \( 4x = -2y + 4 \)
ب) \( 3y = -9 \)
ج) \( -5x = 10 \)عرض حل الفيديو
أعد كتابة كل معادلة على صورة الميل والمقطع (\(y = mx + b\)) لتحديد الميل (\(m\)).
-
أوجد مقطعي السينات والصادات، إن أمكن، للمستقيمات ذات المعادلات:
أ) \( -3x = 2y + 6 \)
ب) \( 2y = 8 \)
ج) \( -3x = 6 \)عرض حل الفيديو
اجعل \( x = 0 \) لإيجاد مقطع الصادات، واجعل \( y = 0 \) لإيجاد مقطع السينات.
-
أ) أوجد قيمة الوسيط \( s \) لكي يكون ميل المستقيم المار بالنقطتين \( (-2 , s) \) و \( (-4, 5) \) مساوياً لـ \( -1 \).
ب) أوجد معادلة المستقيم.عرض حل الفيديو
استخدم قانون الميل: \( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \).
-
أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة \( (-2, 4) \) والعمودي على المستقيم الذي معادلته \( -2y + 4x = -2 \).
عرض حل الفيديو
تذكر أن المستقيمات المتعامدة لها ميول مقلوبة سالبة.
-
أوجد معادلة المستقيم الموضح أدناه علماً بأن طول القطعة المستقيمة AB يساوي 3.1 وطول BC يساوي 6.2 والنقطة \( D \) تقع على المستقيم.
عرض حل الفيديو
استخدم الأطوال المعطاة لحساب الارتفاع على المدى (الميل)، ثم استنتج المعادلة.
-
أي من المستقيمات التالية التي معطاة معادلاتها أدناه له ميل سالب؟
أ) \( 2x - 2y = 0 \)
ب) \( 3x + 6y = 9 \)
ج) \( -y = 9 \)
د) \( -y = -x + 3 \)عرض حل الفيديو
حول كل معادلة إلى صيغة \( y = mx + b \) للتحقق من إشارة \( m \).
-
في الشكل أدناه، مبنى يقع أعلى طابقه الأول عند النقطة C وأعلى طابقه الثاني عند النقطة D. زوايا الارتفاع من النقطة A، على مسافة 40 متراً على الأرض، إلى النقطتين C و D هي \( 14^\circ \) و \( 21^\circ \) على التوالي، والنقطة B تقع عند قاعدة المبنى. أوجد الارتفاع \( DC \) من الطابق الأول إلى الطابق الثاني.
عرض حل الفيديو
استخدم نسب الظل في المثلثين القائمين لإيجاد الارتفاعات الرأسية، ثم اطرح.
-
زادت عدد سكان بلدة صغيرة بمقدار 600 نسمة في سنة واحدة. يمثل هذا زيادة بنسبة 5% مقارنة بالسنة التي سبقتها. ما هو عدد سكان البلدة في السنة التي سبقت الزيادة؟
عرض حل الفيديو
قم بإعداد معادلة النسبة المئوية: \( 0.05 \times \text{الأصلي} = 600 \).
-
أوجد مساحة الشكل المظلل علماً بأن AE يوازي CD وهو قطر نصف الدائرة. BC يوازي ED وهو عمودي على AE. جميع الأطوال بالمليمتر.
عرض حل الفيديو
قم بتحليل الشكل المعقد إلى أشكال هندسية أبسط (مستطيلات، مثلثات، أنصاف دوائر) لحساب المساحة الكلية.
-
أوجد مساحة سداسي منتظم محيطه 18 سم.
عرض حل الفيديو
السداسي المنتظم يتكون من 6 مثلثات متطابقة الأضلاع. استخدم المحيط لإيجاد طول الضلع.
-
أوجد المساحة المظللة المحاطة بربع دائرة ومربع قطره 10 ملم.
عرض حل الفيديو
استخدم القطر لإيجاد طول ضلع المربع، وفسر الهندسة لحساب عمليات طرح المساحات.
-
حجم المنشور القائم يساوي \( 1500 \text{ cm}^3 \).
أ) أوجد طول \( L \) للمنشور.
ب) أوجد المساحة الكلية لسطح المنشور (الجانبية والقاعدتين).
ج) ما هي تكلفة صنع المنشور بمادة تكلف 200 دولار لكل متر مربع؟عرض حل الفيديو
احسب مساحة القاعدة أولاً، واقسيم الحجم على مساحة القاعدة لإيجاد الطول \( L \)، ثم احسب المساحة الكلية لسطح والتكلفة.
-
من بين 100 طالب، يدرس 70 طالباً الرياضيات (من بينهم من يدرس الفيزياء أيضاً)، ويدرس 50 طالباً الفيزياء (من بينهم من يدرس الرياضيات أيضاً). بافتراض أن كل طالب يدرس مادة واحدة على الأقل من المادتين:
أ) كم عدد الطلاب المسجلين في الرياضيات والفيزياء معاً؟
ب) كم عدد الطلاب المسجلين في الرياضيات فقط؟
ج) كم عدد الطلاب المسجلين في الفيزياء فقط؟عرض الحل خطوة بخطوة
ليكن M يمثل مجموعة الطلاب الذين يدرسون الرياضيات، و P يمثل مجموعة الطلاب الذين يدرسون الفيزياء.
- إجمالي عدد الطلاب: \( n(M \cup P) = 100 \)
- الطلاب الذين يدرسون الرياضيات: \( n(M) = 70 \)
- الطلاب الذين يدرسون الفيزياء: \( n(P) = 50 \)
أ) الطلاب الذين يدرسون المادتين معاً (\( n(M \cap P) \)):
استخدم قانون نظرية المجموعات:
\( n(M \cup P) = n(M) + n(P) - n(M \cap P) \)
\( 100 = 70 + 50 - n(M \cap P) \)
\( 100 = 120 - n(M \cap P) \)
\( n(M \cap P) = 20 \)ب) الطلاب الذين يدرسون الرياضيات فقط:
اطرح الطلاب الذين يدرسون المادتين معاً من إجمالي طلاب الرياضيات:
\( 70 - 20 = 50 \)ج) الطلاب الذين يدرسون الفيزياء فقط:
اطرح الطلاب الذين يدرسون المادتين معاً من إجمالي طلاب الفيزياء:
\( 50 - 20 = 30 \) -
في الشكل أدناه، BC يوازي DE. أوجد مساحة المثلث ADE إذا كانت مساحة المثلث ABC تساوي \( 30 \text{ cm}^2 \).
عرض الحل خطوة بخطوة
بما أن المستقيم BC يوازي المستقيم DE، فإن المثلث ABC والمثلث ADE هما مثلثان متشابهان.
عندما يتشابه مثلثان، فإن نسبة مساحتيهما تساوي مربع نسبة طولي ضلعيها المتناظرين. لتكن نسبة الأضلاع المتناظرة \( k = \dfrac{AD}{AB} = 9/3 = 3 \).
قانون المساحة الذي يربط بين المثلثين هو:
\( \text{Area}(ADE) = \text{Area}(ABC) \times \left( \dfrac{AD}{AB} \right)^2 \)\( \text{Area}(ADE) = 30 \times 3^2 = 270 \text{ cm}^2 \)
-
لتر واحد من الماء يزن 1 كيلوغرام و1 ديسيمتر مكعب (\( \text{dm}^3 \)) يساوي لترًا واحدًا. ما هو وزن الماء الموجود في حاوية على شكل منشور مستطيل قائم أبعادها 10 سم و20 سم و200 سم؟
عرض الحل خطوة بخطوة
الخطوة 1: أوجد الحجم بالسنتيمتر المكعب (\( \text{cm}^3 \)).
الحجم = الطول \(\times\) العرض \(\times\) الارتفاع
\( V = 10 \text{ cm} \times 20 \text{ cm} \times 200 \text{ cm} = 40,000 \text{ cm}^3 \)الخطوة 2: حول السنتيمترات المكعبة إلى ديسيمترات مكعبة (لترات).
نعلم أن \( 1 \text{ dm} = 10 \text{ cm} \)، إذن \( 1 \text{ dm}^3 = (10 \text{ cm})^3 = 1,000 \text{ cm}^3 \).
\( \text{الحجم باللترات} = \dfrac{40,000 \text{ cm}^3}{1,000 \text{ cm}^3/\text{L}} = 40 \text{ لترًا} \)الخطوة 3: احسب الوزن.
بما أن لترًا واحدًا يزن 1 كغ، فإن وزن الماء هو:
\( 40 \text{ لترًا} \times 1 \text{ kg/L} = 40 \text{ kg} \) -
سافرت ليندا بمتوسط سرعة 65 ميلاً في الساعة في طريقها إلى مدينة وبمتوسط سرعة 50 ميلاً في الساعة في طريق عودتها باستخدام نفس الطريق. قادت سيارتها إجمالاً لمدة 6 ساعات ذهاباً وإياباً. ما هي المسافة من منزل ليندا إلى المدينة التي زيارتها؟ (قرب إجابتك إلى أقرب ميل).
عرض حل الخطوة بخطوة
ليكن \( D \) مسافة الذهاب فقط إلى المدينة.
باستخدام قانون الزمن = المسافة / السرعة:
زمن الذهاب = \( \dfrac{D}{65} \)
زمن العودة = \( \dfrac{D}{50} \)إجمالي وقت القيادة هو 6 ساعات، لذا نقوم بإعداد المعادلة:
\( \dfrac{D}{65} + \dfrac{D}{50} = 6 \)أوجد مقاماً مشتركاً لـ 65 و 50. (المضاعف المشترك الأصغر هو 650).
اضرب بسط ومقام الكسر الأول في 10، والثاني في 13:
\( \dfrac{10D}{650} + \dfrac{13D}{650} = 6 \)\( \dfrac{23D}{650} = 6 \)
اضرب كلا الطرفين في 650:
\( 23D = 3900 \)اقسم على 23:
\( D = \dfrac{3900}{23} \approx 169.565 \text{ ميلًا} \)مقرباً إلى أقرب ميل، المسافة هي 170 ميلًا.
-
ما هو العدد الحقيقي الذي يساوي مربعه مجموع نصه وثالثه؟
عرض الحل خطوة بخطوة
ليكن العدد الحقيقي المجهول هو \( x \).
ترجم المسألة اللفظية إلى معادلة جبرية:
\( x^2 = \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} \)أوجد مقاماً مشتركاً لجمع الكسور في الطرف الأيمن:
\( x^2 = \dfrac{3x}{6} + \dfrac{2x}{6} \)
\( x^2 = \dfrac{5x}{6} \)انقل جميع الحدود إلى طرف واحد لجعل المعادلة التربيعية تساوي صفراً:
\( x^2 - \dfrac{5x}{6} = 0 \)أخرج \( x \) كعامل مشترك:
\( x\left(x - \dfrac{5}{6}\right) = 0 \)هذا يعطي حلين محتملين:
\( x = 0 \) أو \( x = \dfrac{5}{6} \)
كلا العددين 0 و 5/6 هما عددان حقيقيان يحققان الشرط. -
نسبة الأولاد إلى البنات في مدرسة تساوي 6:5. ما هي نسبة الأولاد إلى العدد الإجمالي للطلاب؟
عرض الحل خطوة بخطوة
نسبة الأولاد إلى البنات هي 6:5. هذا يعني أنه مقابل كل 6 أولاد، يوجد 5 بنات.
إجمالي عدد "الأجزاء" في النسبة هو مجموع أجزاء الأولاد وأجزاء البنات:
إجمالي الأجزاء = \( 6 + 5 = 11 \)نسبة الأولاد إلى العدد الإجمالي للطلاب هي ببساطة أجزاء الأولاد مقسومة على إجمالي الأجزاء:
النسبة = 6:11 -
يوجد 200 كرة في حاوية. للكرات أحد الألوان الثلاثة: الأحمر، الأزرق، والأخضر. نسبة الكرات الزرقاء إلى الحمراء هي 3:10، ونسبة الخضراء إلى الزرقاء هي 7:3. كم عدد الكرات من كل لون؟
عرض الحل خطوة بخطوة
لننظر إلى النسب المعطاة:
- الأزرق : الأحمر = 3 : 10
- الأخضر : الأزرق = 7 : 3
بما أن جزء "الأزرق" ممثل بالرقم 3 في كلا النسبتين، يمكننا دمجها بسهولة في نسبة متصلة واحدة للأخضر : الأزرق : الأحمر:
الأخضر : الأزرق : الأحمر = 7 : 3 : 10
اجمع إجمالي عدد الأجزاء في هذه النسبة المدمجة:
إجمالي الأجزاء = \( 7 + 3 + 10 = 20 \)اقسم إجمالي عدد الكرات (200) على إجمالي عدد الأجزاء لإيجاد قيمة الجزء الواحد:
قيمة الجزء الواحد = \( 200 / 20 = 10 \) كراتاضرب أرقام النسبة في قيمة الجزء الواحد لإيجاد كمية كل لون:
- الأخضر: \( 7 \times 10 = 70 \) كرة
- الأزرق: \( 3 \times 10 = 30 \) كرة
- الحمراء: \( 10 \times 10 = 100 \) كرة