أسئلة التدريب
-
بيعت في حفل موسيقي 120 تذكرة. تبلغ تكلفة تذكرة الطالب 8 دولارات، وتكلفة تذكرة البالغ 12 دولاراً. كانت الإيرادات الإجمالية 1160 دولاراً. كم عدد تذاكر كل نوع تم بيعها؟
عرض الحل خطوة بخطوة
ليكن \( x \) عدد تذاكر الطلاب و \( y \) عدد تذاكر البالغين. استخدم المعلومات المعطاة لكتابة المعادلات:
\[ x + y = 120 \quad \text{(1)} \] \[ 8x + 12y = 1160 \quad \text{(2)} \]من المعادلة (1)، اعزِل \( y \):
\[ y = 120 - x \]عوض بهذا التعبير في المعادلة (2):
\[ \begin{aligned} 8x + 12(120 - x) &= 1160 \\ 8x + 1440 - 12x &= 1160 \\ -4x &= -280 \\ x &= 70 \end{aligned} \]الآن، أوجد \( y \):
\[ y = 120 - 70 = 50 \]الإجابة: تم بيع 70 تذكرة للطلاب و 50 تذكرة للبالغين.
-
في مثلث، إحدى الزوايا تساوي ثلاثة أمثال أصغر زاوية. والزاوية الثالثة أكبر بمقدار \( 20^\circ \) من الزاوية الصغرى. أوجد جميع الزوايا.
عرض الحل خطوة بخطوة
لتكن الزاوية الصغرى \( x \). إذن الزاوية الثانية هي \( 3x \)، والزاوية الثالثة هي \( x + 20 \).
مجموع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي دائماً \( 180^\circ \):
\[ x + 3x + (x + 20) = 180 \]جمع الحدود المتشابهة وحل من أجل \( x \):
\[ \begin{aligned} 5x + 20 &= 180 \\ 5x &= 160 \\ x &= 32 \end{aligned} \]الآن أوجد كل زاوية:
- الزاوية الصغرى: \( x = 32^\circ \)
- الزاوية الثانية: \( 3x = 96^\circ \)
- الزاوية الثالثة: \( x + 20 = 52^\circ \)
-
بالنظر إلى الدالة \( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)، أوجد \( f(2) \) و \( f(-1) \).
عرض الحل خطوة بخطوة
لإيجاد \( f(2) \)، عوض عن \( x \) بـ \( 2 \) في الدالة:
\[ \begin{aligned} f(2) &= 2(2)^2 - 3(2) + 1 \\ &= 2(4) - 6 + 1 \\ &= 8 - 6 + 1 \\ &= 3 \end{aligned} \]لإيجاد \( f(-1) \)، عوض عن \( x \) بـ \( -1 \) في الدالة:
\[ \begin{aligned} f(-1) &= 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 \\ &= 2(1) + 3 + 1 \\ &= 6 \end{aligned} \] -
خزان مياه أسطواني الشكل نصف قطره 3 أمتار وارتفاعه 5 أمتار. ما كمية الماء التي يمكن أن يحتفظ بها (بالمتر المكعب)؟ استخدم \( \pi \approx 3.14 \).
عرض الحل خطوة بخطوة
قانون حجم الأسطوانة هو \( V = \pi r^2 h \).
\[ \begin{aligned} V &= 3.14 \times (3)^2 \times 5 \\ &= 3.14 \times 9 \times 5 \\ &= 3.14 \times 45 \\ &= 141.3 \; \text{m}^3 \end{aligned} \] -
ما هو احتمال الحصول على مجموع 9 عند رمي نردين ذوي ستة أوجه؟
عرض الحل خطوة بخطوة
يوجد \( 6 \times 6 = 36 \) نتيجة ممكنة إجمالاً عند رمي نردين.
التركيبات التي تؤدي إلى مجموع 9 هي:
\( (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) \)
بما أن هناك 4 نتائج ناجحة من أصل 36 نتيجة ممكنة، فإن الاحتمال هو:
\[ \text{الاحتمال} = \dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9} \] -
حل من أجل \( x \): \( 2^{x+1} = 32 \)
عرض الحل خطوة بخطوة
أولاً، اكتب العدد 32 على أساس 2:
\[ 32 = 2^5 \]أعد كتابة المعادلة:
\[ 2^{x+1} = 2^5 \]بما أن الأساسات متساوية، يمكننا مساواة الأسس ببعضها البعض:
\[ \begin{aligned} x + 1 &= 5 \\ x &= 4 \end{aligned} \] -
سلم طوله 13 متراً يستند إلى حائط. تبعد قاعدته 5 أمتار عن الحائط. إلى أي ارتفاع يصل السلم على الحائط؟
عرض الحل خطوة بخطوة
يشكل السلم والقاعدة والحائط مثلثاً قائم الزاوية حيث يكون السلم هو الوتر. ليكن الارتفاع \( h \). طبق نظرية فيثاغورس (\( a^2 + b^2 = c^2 \)):
\[ \begin{aligned} h^2 + 5^2 &= 13^2 \\ h^2 + 25 &= 169 \\ h^2 &= 144 \\ h &= \sqrt{144} = 12 \end{aligned} \]الإجابة: يصل السلم إلى ارتفاع 12 متراً على الحائط.
-
تحتوي آلة بيع على عملات معدنية فئة 0.25 دولار و 1 دولار فقط. يوجد 50 عملة معدنية في المجمل بقيمة 35 دولاراً. كم عدد العملات من كل نوع؟
عرض الحل خطوة بخطوة
ليكن \( x \) عدد العملات فئة 0.25 دولار و \( y \) عدد العملات فئة 1 دولار. أنشئ نظام المعادلات:
\[ x + y = 50 \quad \text{(1)} \] \[ 0.25x + 1y = 35 \quad \text{(2)} \]من المعادلة (1)، نحصل على \( y = 50 - x \). عوض بهذا في المعادلة (2):
\[ \begin{aligned} 0.25x + (50 - x) &= 35 \\ -0.75x + 50 &= 35 \\ -0.75x &= -15 \\ x &= \dfrac{-15}{-0.75} = 20 \end{aligned} \]الآن أوجد \( y \):
\[ y = 50 - 20 = 30 \]الإجابة: توجد 20 عملة من فئة 0.25 دولار و 30 عملة من فئة 1 دولار.
-
مجموع ثلاثة أعداد فردية متتالية يساوي 123. ما هي هذه الأعداد؟
عرض الحل خطوة بخطوة
الفرق بين أي عددين فرديين متتاليين هو 2. ليكن العدد الأول \( x \). والعدد الثاني هو \( x + 2 \) والعدد الثالث هو \( x + 4 \). مجموعها يساوي 123:
\[ \begin{aligned} x + (x + 2) + (x + 4) &= 123 \\ 3x + 6 &= 123 \\ 3x &= 117 \\ x &= 39 \end{aligned} \]الأعداد هي \( x = 39 \) و \( x + 2 = 41 \) و \( x + 4 = 43 \).
الإجابة: الأعداد هي 39 و 41 و 43.
-
حديقة مستطيلة الشكل طولها يزيد بـ 4 أمتار عن عرضها. مساحتها 96 م2. أوجد أبعاد الحديقة.
عرض الحل خطوة بخطوة
ليكن العرض \( x \) متراً. إذن الطول هو \( x + 4 \) أمتار. المساحة هي الطول × العرض:
\[ x(x + 4) = 96 \]اكتب المعادلة التربيعية في صورتها القياسية:
\[ \begin{aligned} x^2 + 4x - 96 &= 0 \\ (x - 8)(x + 12) &= 0 \end{aligned} \]هذا يعطي الحلول \( x = 8 \) أو \( x = -12 \). بما أن العرض لا يمكن أن يكون سالباً، فإننا نرفض \(-12\).
الإجابة: العرض 8 أمتار، والطول هو \( 8 + 4 = 12 \) متراً.
-
ما هو العدد (أو الأعداد) الذي يساوي مربعه؟
عرض الحل خطوة بخطوة
ليكن \( x \) هو العدد. إذا كان يساوي مربعه، نكتب المعادلة:
\[ x = x^2 \]اكتبها في الصورة القياسية وحلل:
\[ \begin{aligned} x - x^2 &= 0 \\ x(1 - x) &= 0 \end{aligned} \]الإجابة: الحلول هي \( x = 0 \) و \( x = 1 \).
-
ما هو العدد (أو الأعداد) الذي يساوي نصف مربعه؟
عرض الحل خطوة بخطوة
ليكن \( x \) هو العدد. إنه يساوي نصف مربعه:
\[ x = \dfrac{1}{2}x^2 \]اجعلها تساوي صفراً وحلل:
\[ \begin{aligned} x - \dfrac{1}{2}x^2 &= 0 \\ x\left(1 - \dfrac{1}{2}x\right) &= 0 \end{aligned} \]الإجابة: الحلول هي \( x = 0 \) و \( x = 2 \).
-
تسافر سيارة من A إلى B بسرعة 40 ميلاً في الساعة ثم تعود، باستخدام نفس الطريق، من B إلى A بسرعة 60 ميلاً في الساعة. ما هي السرعة المتوسطة لرحلة الذهاب والإياب؟
عرض الحل خطوة بخطوة
السرعة المتوسطة هي المسافة الكلية مقسومة على الزمن الكلي. لتكن \( x \) مسافة الاتجاه الواحد من A إلى B. مسافة الذهاب والإياب الكلية هي \( 2x \).
زمن الذهاب هو \( \dfrac{x}{40} \) وزمن العودة هو \( \dfrac{x}{60} \). الزمن الكلي \( T \) هو:
\[ T = \dfrac{x}{40} + \dfrac{x}{60} = \dfrac{3x + 2x}{120} = \dfrac{5x}{120} = \dfrac{x}{24} \]الآن احسب السرعة المتوسطة:
\[ \text{السرعة المتوسطة} = \dfrac{2x}{\left(\dfrac{x}{24}\right)} = 2x \cdot \dfrac{24}{x} = 48 \; \text{ميل/ساعة} \] -
يسافر توم بسرعة 60 ميلاً في الساعة في ذهابه إلى مدينة مجاورة و 50 ميلاً في الساعة في عودته باستخدام نفس الطريق. لقد قاد سيارته لمدة إجمالية قدرها 5 ساعات ذهاباً وإياباً. ما هي المسافة من منزل توم إلى المدينة التي زيارتها؟ (قرب إجابتك إلى أقرب ميل).
عرض الحل خطوة بخطوة
ليكن \( x \) المسافة إلى المدينة. الزمن المستغرق للذهاب هو \( \dfrac{x}{60} \) والزمن للعودة هو \( \dfrac{x}{50} \). الزمن الكلي هو 5 ساعات:
\[ \dfrac{x}{60} + \dfrac{x}{50} = 5 \]اضرب المعادلة بأكملها في المضاعف المشترك (300):
\[ \begin{aligned} 300 \left(\dfrac{x}{60}\right) + 300 \left(\dfrac{x}{50}\right) &= 300(5) \\ 5x + 6x &= 1500 \\ 11x &= 1500 \\ x &= \dfrac{1500}{11} \approx 136 \; \text{ميلاً} \end{aligned} \] -
في تمام الساعة 11:00 صباحاً، بدأ جون القيادة على طول طريق سريع بسرعة ثابتة تبلغ 50 ميلاً في الساعة. بعد ربع ساعة، بدأ جيمي القيادة على نفس الطريق السريع في نفس اتجاه جون بسرعة ثابتة تبلغ 65 ميلاً في الساعة. في أي وقت سيلاحق جيمي جون؟
عرض الحل خطوة بخطوة
ليكن \( t \) الوقت (بالساعات) الذي استغرقه جون في القيادة منذ الساعة 11:00 صباحاً. يبدأ جيمي بعد ربع ساعة (0.25 ساعة)، لذا فإن وقت قيادته هو \( t - 0.25 \).
عندما يلحق جيمي بجون، تكون مسافتاهما متساويتين:
\[ 50t = 65(t - 0.25) \]حل من أجل \( t \):
\[ \begin{aligned} 50t &= 65t - 16.25 \\ -15t &= -16.25 \\ t &= \dfrac{16.25}{15} = \dfrac{65}{60} \; \text{ساعات} \end{aligned} \]\( \dfrac{65}{60} \) ساعة تساوي بالضبط ساعة و 5 دقائق. بإضافة هذا إلى وقت البدء (11:00 صباحاً):
الإجابة: يلحق جيمي بجون في تمام الساعة 12:05 ظهراً.
-
أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة \( (-4, 5) \) والعمودي على المستقيم الذي معادلته \( 5x - 3y = 4 \).
عرض الحل خطوة بخطوة
أولاً، أوجد ميل المستقيم المعطى بتحويله إلى صيغة الميل والمقطع (\( y = mx + b \)):
\[ \begin{aligned} -3y &= -5x + 4 \\ y &= \dfrac{5}{3}x - \dfrac{4}{3} \end{aligned} \]ميل هذا المستقيم هو \( \dfrac{5}{3} \). للمستقيمات المتعمدة ميول مقلوبة سالبة، إذن ميل مستقيمنا الجديد هو \( m = -\dfrac{3}{5} \).
باستخدام صيغة الميل والنقطة مع النقطة \( (-4, 5) \):
\[ \begin{aligned} y - 5 &= -\dfrac{3}{5}(x - (-4)) \\ y &= -\dfrac{3}{5}(x + 4) + 5 \\ y &= -\dfrac{3}{5}x - \dfrac{12}{5} + \dfrac{25}{5} \\ y &= -\dfrac{3}{5}x + \dfrac{13}{5} \end{aligned} \]اضرب في 5 للتحويل إلى الصورة القياسية:
\[ 5y = -3x + 13 \quad \Rightarrow \quad 3x + 5y = 13 \] -
حقل مستطيل الشكل مساحته 300 متر مربع ومحيطه 80 متراً. ما هو طول وعرض الحقل؟
عرض الحل خطوة بخطوة
ليكن \( L \) و \( W \) الطول والعرض. معادلتا المساحة والمحيط:
\[ L \cdot W = 300 \] \[ 2(L + W) = 80 \quad \Rightarrow \quad L + W = 40 \]من معادلة المحيط، \( W = 40 - L \). عوض بهذا في معادلة المساحة:
\[ \begin{aligned} L(40 - L) &= 300 \\ 40L - L^2 &= 300 \\ L^2 - 40L + 300 &= 0 \\ (L - 30)(L - 10) &= 0 \end{aligned} \]الحلول هي \( L = 30 \) أو \( L = 10 \). بافتراض أن الطول هو الضلع الأطول، فإن \( L = 30 \) متراً و \( W = 10 \) أمتار.
-
حديقة مستطيلة الشكل طولها 100 متر وعرضها 50 متراً. سيتم إنشاء حوض سباحة مربع الشكل داخل الحديقة. أوجد طول ضلع حوض السباحة إذا كانت المساحة المتبقية (غير المشغولة بالحوض) تساوي نصف مساحة الحديقة المستطيلة.
عرض الحل خطوة بخطوة
ليكن \( x \) ضلع حوض السباحة. مساحة الحوض هي \( x^2 \).
إذا كانت المساحة المتبقية نصف المساحة الكلية، فإن الحوض نفسه يجب أن يشغل النصف الآخر من المساحة الكلية. المساحة الكلية للحديقة هي \( 100 \times 50 = 5000 \).
\[ \begin{aligned} x^2 &= \dfrac{1}{2}(5000) \\ x^2 &= 2500 \\ x &= \sqrt{2500} = 50 \end{aligned} \]الإجابة: ضلع حوض السباحة هو 50 متراً.
-
ABC مثلث متطابق الأضلاع طول ضلعه يساوي 50 سم. BH عمودي على AC. MN يوازي AC. أوجد مساحة المثلث BMN إذا كان طول MN يساوي 12 سم.
عرض الحل خطوة بخطوة
بما أن \( \triangle ABC \) متطابق الأضلاع و \( BH \perp AC \)، فإن \( H \) هي منتصف \( AC \)، إذن \( HC = \dfrac{50}{2} = 25 \) سم.
بما أن \( MN \parallel HC \)، فإن المثلثين \( \triangle BMN \) و \( \triangle BHC \) متشابهان. نسبة الأضلاع المتناظرة هي:
\[ \dfrac{MN}{HC} = \dfrac{12}{25} \]نسبة مساحتي المثلثين المتشابهين تساوي مربع نسبة أضلاعهم:
\[ \dfrac{\text{Area } BMN}{\text{Area } BHC} = \left(\dfrac{12}{25}\right)^2 \]بعد ذلك، أوجد الارتفاع \( BH \) باستخدام نظرية فيثاغورس في \( \triangle BHC \):
\[ BH = \sqrt{50^2 - 25^2} = \sqrt{2500 - 625} = \sqrt{1875} = 25\sqrt{3} \]مساحة \( \triangle BHC \) هي:
\[ \text{Area } BHC = \dfrac{1}{2} \cdot HC \cdot BH = \dfrac{1}{2}(25)(25\sqrt{3}) = \dfrac{625\sqrt{3}}{2} \]أخيراً، أوجد مساحة \( \triangle BMN \):
\[ \text{Area } BMN = \left(\dfrac{144}{625}\right) \cdot \left(\dfrac{625\sqrt{3}}{2}\right) = 72\sqrt{3} \; \text{cm}^2 \] -
ارتفاع الماء في وعاء أسطواني نصف قطره \( r = 5 \) سم هو 10 سم. يحتاج بيتر إلى قياس حجم حجر ذي شكل معقد، لذلك يضع الحجر داخل الوعاء. يرتفع ارتفاع الماء إلى 13.2 سم. ما حجم الحجر بالسنتيمتر المكعب؟
عرض الحل خطوة بخطوة
أوجد الحجم الأولي للماء (\( V_1 \)):
\[ V_1 = \pi r^2 h_1 = \pi (5^2)(10) = 250\pi \; \text{cm}^3 \]أوجد الحجم الجديد بعد غمر الحجر (\( V_2 \)):
\[ V_2 = \pi r^2 h_2 = \pi (5^2)(13.2) = 330\pi \; \text{cm}^3 \]حجم الحجر هو الفرق بين الحجمين:
\[ V_{\text{stone}} = 330\pi - 250\pi = 80\pi \; \text{cm}^3 \]باستخدام \( \pi \approx 3.14159 \)، الحجم يساوي تقريباً \( 251.3 \; \text{cm}^3 \).
-
في الشكل أدناه، تقع جميع رؤوس المربع على الدائرة. مساحة المربع تساوي 400 سم2. ما هي مساحة الشكل الدائري؟
عرض الحل خطوة بخطوة
يمكن إيجاد ضلع المربع \( x \) باستخدام مساحته:
\[ x^2 = 400 \quad \Rightarrow \quad x = 20 \; \text{سم} \]قطر المربع \( D \) يساوي قطر الدائرة. استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد \( D \):
\[ D^2 = x^2 + x^2 = 400 + 400 = 800 \]مساحة الدائرة هي \( A = \pi r^2 \). بما أن \( r = \dfrac{D}{2} \)، فإن \( r^2 = \dfrac{D^2}{4} \):
\[ A = \pi \left(\dfrac{D^2}{4}\right) = \pi \left(\dfrac{800}{4}\right) = 200\pi \; \text{سم}^2 \]باستخدام \( \pi \approx 3.14 \)، المساحة تساوي تقريباً \( 628 \; \text{سم}^2 \).
-
الأعداد 2، 3، 5، و \( x \) لها متوسط يساوي 4. أوجد \( x \).
عرض الحل خطوة بخطوة
المتوسط هو مجموع الأعداد مقسوماً على عددهم. أنشئ المعادلة:
\[ \dfrac{2 + 3 + 5 + x}{4} = 4 \]حل من أجل \( x \):
\[ \begin{aligned} 10 + x &= 16 \\ x &= 6 \end{aligned} \] -
الأعداد \( x, y, z \) و \( w \) لها متوسط يساوي 25. متوسط الأعداد \( x, y \) و \( z \) يساوي 27. أوجد \( w \).
عرض الحل خطوة بخطوة
متوسط الأعداد الأربعة يعطينا مجموعها الكلي:
\[ \dfrac{x + y + z + w}{4} = 25 \quad \Rightarrow \quad x + y + z + w = 100 \]متوسط الأعداد الثلاثة يعطينا المجموع الجزئي:
\[ \dfrac{x + y + z}{3} = 27 \quad \Rightarrow \quad x + y + z = 81 \]عوض بهذا المجموع الجزئي في المعادلة الأولى:
\[ \begin{aligned} 81 + w &= 100 \\ w &= 19 \end{aligned} \] -
أوجد \( x, y, z \) بحيث تكون للأعداد 41، 46، \( x, y, z \) متوسط حسابي قدره 50 ومنوال قدره 45.
عرض الحل خطوة بخطوة
المتوسط الحسابي للأعداد الخمسة هو 50:
\[ \dfrac{41 + 46 + x + y + z}{5} = 50 \] \[ 87 + x + y + z = 250 \quad \Rightarrow \quad x + y + z = 163 \]المنوال هو القيمة الأكثر تكراراً. نظراً لعدم تكرار أي أعداد حتى الآن، يجب أن يكون اثنان على الأقل من المتغيرات المجهولة يساويان 45. لا يمكن أن يكون \( x = y = z = 45 \) لأن \( 45 \times 3 = 135 \)، وهو لا يساوي 163.
لذلك، يجب أن يكون اثنان من المتغيرات 45 (لنقل \( x = y = 45 \)):
\[ 45 + 45 + z = 163 \quad \Rightarrow \quad 90 + z = 163 \quad \Rightarrow \quad z = 73 \]الإجابة: القيم هي 45 و 45 و 73.
-
\( A \) ثابت. أوجد \( A \) بحيث يكون للمعادلة \( 2x + 1 = 2A + 3(x + A) \) حل عند \( x = 2 \).
عرض الحل خطوة بخطوة
عوض بـ \( x = 2 \) في المعادلة المعطاة:
\[ \begin{aligned} 2(2) + 1 &= 2A + 3(2 + A) \\ 4 + 1 &= 2A + 6 + 3A \\ 5 &= 5A + 6 \\ 5A &= -1 \\ A &= -\dfrac{1}{5} \end{aligned} \] -
اللتر الواحد يساوي 1 ديسيمتر مكعب (\( \text{dm}^3 \))، ووزن 1 لتر من الماء يساوي 1 كيلوغرام. ما هو وزن الماء الموجود في وعاء أسطواني نصف قطره يساوي 50 سنتيمتراً وارتفاعه يساوي متراً واحداً؟
عرض الحل خطوة بخطوة
أولاً، حول جميع الوحدات إلى الديسيمتر (dm) لحساب اللترات بسهولة، بما أن 10 سم = 1 dm:
- نصف القطر \( r = 50 \) سم = 5 dm
- الارتفاع \( h = 1 \) م = 100 سم = 10 dm
أوجد حجم الأسطوانة:
\[ V = \pi r^2 h = 3.14 \times (5)^2 \times 10 = 3.14 \times 250 = 785 \; \text{dm}^3 \]بما أن 1 \( \text{dm}^3 \) يزن 1 كغ، فالوزن الكلي هو 785 كغ.
-
في الشكل أدناه، المثلث ABC هو مثلث قائم الزاوية ومتطابق الساقين. AM عمودي على BC و MN عمودي على AC. أوجد نسبة مساحة المثلث MNC إلى مساحة المثلث ABC.
عرض الحل خطوة بخطوة
بما أن \( \triangle ABC \) مثلث قائم الزاوية ومتطابق الساقين، فإن الارتفاع \( AM \) المرسوم إلى الوتر يقسم المثلث إلى مثلثين أصغر ومتطابقين وقائمي الزاوية ومتطابقي الساقين: \( \triangle ABM \) و \( \triangle ACM \).
لذلك، مساحة \( \triangle ACM \) تساوي نصف مساحة \( \triangle ABC \) بالضبط.
وبالمثل، في المثلث القائم ومتطابق الساقين \( \triangle ACM \)، يقسيمه الارتفاع \( MN \) إلى مثلثين أصغر ومتطابقين وقائمي الزاوية ومتطابقي الساقين: \( \triangle AMN \) و \( \triangle CMN \).
وهكذا، مساحة \( \triangle MNC \) تساوي نصف مساحة \( \triangle ACM \) بالضبط.
وبالتالي، مساحة \( \triangle MNC \) هي \( \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \) من مساحة \( \triangle ABC \).
الإجابة: النسبة هي 1:4.
-
يمكن للمضخة A ملء خزان مياه في 4 ساعات. يمكن للمضخة B ملء نفس الخزان في 6 ساعات. يتم تشغيل كلا المضختين في تمام الساعة 8:00 صباحاً لملء نفس الخزان الفارغ. بعد ساعة، تتعطل المضخة B وتستغرق ساعة واحدة للإصلاح قبل إعادة تشغيلها مرة أخرى. متى سيتم امتلاء الخزان؟ (قرب إجابتك إلى أقرب دقيقة).
عرض الحل خطوة بخطوة
معدل ملء المضخة A هو \( \dfrac{1}{4} \) خزان في الساعة. معدل المضخة B هو \( \dfrac{1}{6} \) خزان في الساعة.
ليكن \( t \) الزمن الإجمالي (بالساعات) الذي تعمل فيه المضخة A. ونظراً لأن المضخة B تعطلت لمدة ساعة واحدة بالضبط، فإنها تعمل لمدة \( t - 1 \) ساعة.
معاً، يقومان بملء خزان كامل واحد:
\[ \dfrac{t}{4} + \dfrac{t - 1}{6} = 1 \]اضرب المعادلة في 12 للتخلص من الكسور:
\[ \begin{aligned} 3t + 2(t - 1) &= 12 \\ 3t + 2t - 2 &= 12 \\ 5t &= 14 \\ t &= 2.8 \; \text{ساعات} \end{aligned} \]حول 2.8 ساعة إلى ساعات ودقائق:
\[ 0.8 \times 60 = 48 \; \text{دقيقة} \]الزمن الإجمالي هو ساعتان و 48 دقيقة. ابتداءً من الساعة 8:00 صباحاً، سيكون الخزان ممتلئاً في تمام الساعة 10:48 صباحاً.
-
هل المستقيمان اللذان معادلاتهما \( 2x + y = 2 \) و \( x - 2y = 0 \) متوازيان أم متعامدان أم غير ذلك؟
عرض الحل خطوة بخطوة
حول كل معادلة إلى صيغة الميل والمقطع (\( y = mx + b \)):
\[ 2x + y = 2 \quad \Rightarrow \quad y = -2x + 2 \quad (\text{الميل } m_1 = -2) \] \[ x - 2y = 0 \quad \Rightarrow \quad y = \dfrac{1}{2}x \quad (\text{الميل } m_2 = \dfrac{1}{2}) \]الميلان مقلوبان سالبان لبعضهما البعض، لأن حاصل ضربهما يساوي \(-1\):
\[ m_1 \times m_2 = -2 \times \dfrac{1}{2} = -1 \]الإجابة: المستقيمان متعامدان.
-
نصف دائرة مساحتها \( 50\pi \) سم2 مرسومة داخل مستطيل. يتطابق قطر نصف الدائرة مع طول المستطيل. أوجد مساحة المستطيل.
عرض الحل خطوة بخطوة
ليكن \( R \) نصف قطر نصف الدائرة. مساحة نصف الدائرة هي نصف مساحة الدائرة الكاملة:
\[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2}\pi R^2 &= 50\pi \\ R^2 &= 100 \\ R &= 10 \; \text{سم} \end{aligned} \]بما أن قطر نصف الدائرة يتطابق مع طول المستطيل، فإن الطول \( L = 2R = 20 \) سم.
وبما أن نصف الدائرة مرسوم داخل المستطيل، فإن نصف قطرها يلامس العرض العلوي للمستطيل، إذن العرض \( W = R = 10 \) سم.
احسب مساحة المستطيل:
\[ \text{المساحة} = L \times W = 20 \times 10 = 200 \; \text{سم}^2 \] -
مثلث مساحته 200 سم2. ضلِعاه يبلغان 26 سم و 40 سم على التوالي. أوجد القيمة الدقيقة للضلع الثالث.
عرض الحل خطوة بخطوة
ليكن \( a = 26 \) و \( b = 40 \) و \( \alpha \) الزاوية المحصورة بينهما. قانون مساحة المثلث هو:
\[ A = \dfrac{1}{2} a b \sin(\alpha) \]عوض بالقيم المعطاة لإيجاد \( \sin(\alpha) \):
\[ \begin{aligned} 200 &= \dfrac{1}{2}(26)(40)\sin(\alpha) \\ 200 &= 520\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) &= \dfrac{200}{520} = \dfrac{5}{13} \end{aligned} \]باستخدام المتطابقة \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \)، أوجد \( \cos(\alpha) \). نظراً لأن الزاوية في المثلث قد تكون حادة أو منفرجة، فهناك قيمتان ممكنتان لـ \( \cos(\alpha) \):
\[ \cos(\alpha) = \pm\sqrt{1 - \left(\dfrac{5}{13}\right)^2} = \pm\sqrt{\dfrac{144}{169}} = \pm\dfrac{12}{13} \]الآن، طبق قانون جيب التمام لإيجاد الضلع الثالث \( c \):
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\alpha) \] \[ c^2 = 26^2 + 40^2 - 2(26)(40)\left(\pm\dfrac{12}{13}\right) \] \[ c^2 = 676 + 1600 \mp 2080\left(\dfrac{12}{13}\right) \] \[ c^2 = 2276 \mp 1920 \]احسب الاحتمالين لـ \( c^2 \):
\[ \begin{aligned} c_1^2 &= 2276 - 1920 = 356 \\ c_2^2 &= 2276 + 1920 = 4196 \end{aligned} \]الإجابة: القيمتان الدقيقتان الممكنتان للضلع الثالث هما \( 2\sqrt{89} \) سم و \( 2\sqrt{1049} \) سم.