مسائل رياضيات النسب: الأسئلة والحلول خطوة بخطوة

تقدم هذه الصفحة مجموعة شاملة من مسائل النسب والتناسب للصف التاسع لمساعدة الطلاب على بناء أساس رياضي قوي. تعتبر النسب أداة أساسية تستخدم لمقارنة الكميات، القياس الهش للأشكال الهندسية، وحل السيناريوهات الجبرية الواقعية.

اقرأ كل مسألة بعناية وحاول إعداد المعادلات الجبرية بنفسك. ثم انقر فوق "عرض الحل خطوة بخطوة" للتحقق من منهجيتك والإجابة النهائية.

أسئلة التدريب

  1. يوجد 600 تلميذ في مدرسة. نسبة الأولاد إلى البنات في هذه المدرسة هي 3:5. كم عدد البنات وكم عدد الأولاد في هذه المدرسة؟

    عرض الحل خطوة بخطوة

    للحصول على نسبة أولاد إلى بنات تساوي 3:5، ليكن عدد الأولاد \( 3x \) وعدد البنات \( 5x \)، حيث \( x \) عامل مشترك.

    إجمالي عدد التلاميذ هو 600. لذلك، يمكننا إعداد المعادلة:

    \[ \begin{aligned} 3x + 5x &= 600 \\ 8x &= 600 \\ x &= 75 \end{aligned} \]

    الآن، عوض بـ \( x \) مرة أخرى في تعبيراتنا:

    • عدد الأولاد: \( 3x = 3 \times 75 = 225 \)
    • عدد البنات: \( 5x = 5 \times 75 = 375 \)

  2. توجد \( r \) من الكرات الزجاجية الحمراء، و \( b \) من الزرقاء، و \( w \) من البيضاء في كيس. اكتب نسبة عدد الكرات الزرقاء إلى العدد الإجمالي للكرات بدلالة \( r \) و \( b \) و \( w \).

    عرض الحل خطوة بخطوة

    أولاً، أوجد العدد الإجمالي للكرات في الكيس:

    \[ \text{المجموع} = r + b + w \]

    نسبة الكرات الزرقاء (\( b \)) إلى العدد الإجمالي للكرات هي:

    \[ \dfrac{b}{r + b + w} \]

  3. محيط مستطيل يساوي 280 متراً. نسبة طوله إلى عرضه هي 5:2. أوجد مساحة المستطيل.

    عرض الحل خطوة بخطوة

    بما أن نسبة الطول إلى العرض هي 5:2، ليكن الطول \( L = 5x \) والعرض \( W = 2x \).

    قانون المحيط هو \( 2(L + W) \). عوض بالقيم المعروفة:

    \[ \begin{aligned} 2(5x + 2x) &= 280 \\ 2(7x) &= 280 \\ 14x &= 280 \\ x &= \dfrac{280}{14} = 20 \end{aligned} \]

    الآن، احسب المساحة (\( A = L \times W \)):

    \[ \begin{aligned} A &= (5x) \times (2x) \\ A &= 10x^2 \\ A &= 10(20)^2 = 10(400) = 4000 \end{aligned} \]

    الإجابة: المساحة هي 4000 متر مربع.

  4. زوايا مثلث بنسبة 1:3:8. أوجد قياسات زوايا هذا المثلث الثلاث.

    عرض الحل خطوة بخطوة

    بما أن نسبة الزوايا الثلاث هي 1:3:8، يمكننا كتابة قياساتها على شكل \( x \) و \( 3x \) و \( 8x \).

    مجموع الزوايا الداخلية الثلاث لأي مثلث يساوي دائماً \( 180^\circ \). إذن:

    \[ \begin{aligned} x + 3x + 8x &= 180 \\ 12x &= 180 \\ x &= 15 \end{aligned} \]

    احسب قياس كل زاوية:

    • \( x = 15^\circ \)
    • \( 3x = 3 \times 15 = 45^\circ \)
    • \( 8x = 8 \times 15 = 120^\circ \)

  5. قياسا الزاويتين الحادتين لمثلث قائم الزاوية بنسبة 2:7. ما قياسا الزاويتين؟

    عرض الحل خطوة بخطوة

    في المثلث القائم الزاوية، الزاويتان الحادتان متتامتان، مما يعني أن مجموعهما يساوي \( 90^\circ \).

    بالنظر إلى النسبة 2:7، ليكن قياسا الزاويتين \( 2x \) و \( 7x \).

    \[ \begin{aligned} 2x + 7x &= 90 \\ 9x &= 90 \\ x &= 10 \end{aligned} \]

    قياسا الزاويتين الحادتين هما:

    • \( 2x = 2 \times 10 = 20^\circ \)
    • \( 7x = 7 \times 10 = 70^\circ \)

  6. جرة مليئة بالقروش (بنسات) والنيكل بنسبة 5 إلى 3. يوجد 30 قطعة نيكل في الجرة، فما هو إجمالي عدد القطع النقدية؟

    عرض الحل خطوة بخطوة

    نسبة القروش إلى النيكل البالغة 5:3 تعني أننا نستطيع كتابة عدد القروش كـ \( 5x \) وعدد قطع النيكل كـ \( 3x \).

    معطى أن عدد قطع النيكل هو 30:

    \[ 3x = 30 \quad \Rightarrow \quad x = 10 \]

    إجمالي عدد القطع النقدية في الجرة هو مجموع القروش والنيكل:

    \[ \text{إجمالي القطع} = 5x + 3x = 8x = 8(10) = 80 \]

    الإجابة: يوجد 80 قطعة نقدية في المجموع.

  7. حقل مستطيل مساحته 300 متر مربع ومحيطه 80 متراً. ما هي نسبة الطول إلى العرض لهذا الحقل؟

    عرض الحل خطوة بخطوة

    ليكن \( L \) الطول و \( W \) العرض، حيث \( L > W \). أنشئ معادلتي المساحة والمحيط:

    \[ L \times W = 300 \quad \text{(I)} \] \[ 2L + 2W = 80 \quad \Rightarrow \quad L + W = 40 \quad \text{(II)} \]

    من المعادلة (II)، اعزِل \( W \):

    \[ W = 40 - L \]

    عوض بهذا في المعادلة (I):

    \[ \begin{aligned} L(40 - L) &= 300 \\ 40L - L^2 &= 300 \\ L^2 - 40L + 300 &= 0 \\ (L - 10)(L - 30) &= 0 \end{aligned} \]

    الحلول هي \( L = 10 \) أو \( L = 30 \). بما أن الطول عادة هو الضلع الأطول (\( L > W \))، فنحن نختار \( L = 30 \) و \( W = 10 \).

    نسبة الطول إلى العرض هي:

    \[ \dfrac{L}{W} = \dfrac{30}{10} = \dfrac{3}{1} \]

    الإجابة: النسبة هي 3:1.

  8. عبر عن النسبة \( 3 \dfrac{2}{3} : 7 \dfrac{1}{3} \) في أبسط صورة.

    عرض الحل خطوة بخطوة

    أولاً، حول العددين الكسريين إلى كسور غير حقيقية:

    \[ 3 \dfrac{2}{3} = \dfrac{(3 \times 3) + 2}{3} = \dfrac{11}{3} \] \[ 7 \dfrac{1}{3} = \dfrac{(7 \times 3) + 1}{3} = \dfrac{22}{3} \]

    الآن، اكتب النسبة على شكل قسمة وحل:

    \[ \dfrac{11}{3} \div \dfrac{22}{3} = \dfrac{11}{3} \times \dfrac{3}{22} = \dfrac{11}{22} = \dfrac{1}{2} \]

    الإجابة: النسبة في أبسط صورة هي 1:2.

  9. طول ضلع المربع A يمثل ضعفي طول ضلع المربع B. ما هي نسبة مساحة المربع A إلى مساحة المربع B؟

    عرض الحل خطوة بخطوة

    ليكن \( y \) طول ضلع المربع B. بما أن ضلع المربع A أطول بمرتين، فإن طول ضلعه هو \( 2y \).

    احسب مساحة المربعين:

    \[ \text{مساحة A} = (2y)^2 = 4y^2 \] \[ \text{مساحة B} = y^2 \]

    نسبة مساحة المربع A إلى مساحة المربع B هي:

    \[ \dfrac{\text{مساحة A}}{\text{مساحة B}} = \dfrac{4y^2}{y^2} = \dfrac{4}{1} \]

    الإجابة: النسبة هي 4:1.

  10. طول ضلع المربع A يساوي نصف طول ضلع المربع B. ما هي نسبة محيط المربع A إلى محيط المربع B؟

    عرض الحل خطوة بخطوة

    ليكن \( x \) طول ضلع المربع A. بما أن هذا يمثل نصف طول المربع B، فإن طول ضلع المربع B هو \( 2x \).

    احسب محيط المربعين (المحيط = 4 × الضلع):

    \[ \text{محيط A} = 4x \] \[ \text{محيط B} = 4(2x) = 8x \]

    نسبة محيط المربع A إلى محيط المربع B هي:

    \[ \dfrac{\text{محيط A}}{\text{محيط B}} = \dfrac{4x}{8x} = \dfrac{1}{2} \]

    الإجابة: النسبة هي 1:2.

  11. في بداية الأسبوع، كان لدى متجر كتب كتب علوم وفن بنسبة 2:5. بحلول نهاية الأسبوع، تم بيع 20% من كل نوع من الكتب وبقي 2240 كتاباً من النوعين دون بيع. كم عدد الكتب من كل نوع في بداية الأسبوع؟

    عرض الحل خطوة بخطوة

    ليكن \( S \) و \( A \) العدد الأولي لكتب العلوم والفن على التوالي.

    بما أن النسبة هي 2:5، يمكننا كتابة \( S = 2x \) و \( A = 5x \). هذا يعني أن المخزون الأولي الإجمالي كان \( 7x \).

    إذا تم بيع 20% من الكتب، فهذا يعني أن 80% من الكتب لم تُباع. إجمالي عدد الكتب التي لم تُباع هو 2240:

    \[ \begin{aligned} 0.80(7x) &= 2240 \\ 5.6x &= 2240 \\ x &= \dfrac{2240}{5.6} = 400 \end{aligned} \]

    الآن، احسب الكميات الأولية:

    • كتب العلوم: \( S = 2(400) = 800 \)
    • كتب الفن: \( A = 5(400) = 2000 \)

  12. في بداية الشهر، كان لدى متجر أجهزة تلفزيون مقاس 20 بوصة و40 بوصة بنسبة 4:5. بحلول نهاية الشهر، تم بيع 200 تلفزيون مقاس 20 بوصة و500 تلفزيون مقاس 40 بوصة وأصبحت نسبة أجهزة التلفزيون مقاس 20 بوصة إلى 40 بوصة 1:1. كم عدد أجهزة التلفزيون من كل نوع في بداية الشهر؟

    عرض الحل خطوة بخطوة

    ليكن العدد الأولي لأجهزة التلفزيون مقاس 20 بوصة \( 4x \) وأجهزة التلفزيون مقاس 40 بوصة \( 5x \)، مما يعكس نسبة 4:5.

    بعد بيع الكميات الخاصة بكل منها، تصبح الكميات الجديدة \( 4x - 200 \) و \( 5x - 500 \). بما أن النسبة الجديدة هي 1:1، فإن الكميات متساوية:

    \[ \begin{aligned} 4x - 200 &= 5x - 500 \\ 500 - 200 &= 5x - 4x \\ 300 &= x \end{aligned} \]

    عوض بـ \( x = 300 \) مرة أخرى في التعبيرات الأولية:

    • أجهزة تلفزيون 20 بوصة: \( 4(300) = 1200 \)
    • أجهزة تلفزيون 40 بوصة: \( 5(300) = 1500 \)

  13. نسبة العرض إلى الارتفاع لشاشة تلفزيون هي نسبة قياس الطول الأفقي إلى قياس الارتفاع الرأسي. أوجد الطول الأفقي والارتفاع الرأسي لشاشة تلفزيون بنسبة عرض إلى ارتفاع 4:3 وقطر يبلغ 50 بوصة.

    عرض الحل خطوة بخطوة

    ليكن الطول الأفقي \( H = 4x \) والارتفاع الرأسي \( V = 3x \).

    تشكل الشاشة مثلثاً قائم الزاوية مع القطر باعتباره الوتر. نطبق نظرية فيثاغورس (\( a^2 + b^2 = c^2 \)):

    \[ \begin{aligned} H^2 + V^2 &= 50^2 \\ (4x)^2 + (3x)^2 &= 2500 \\ 16x^2 + 9x^2 &= 2500 \\ 25x^2 &= 2500 \\ x^2 &= 100 \\ x &= 10 \end{aligned} \]

    احسب الأبعاد الفعلية:

    • الطول الأفقي: \( H = 4(10) = 40 \) بوصة
    • الطول الرأسي: \( V = 3(10) = 30 \) بوصة

المراجع وروابط مفيدة

الصفحة الرئيسية