حل المعادلات: الأسئلة والحلول خطوة بخطوة - الصف التاسع

أمثلة توضيحية

راجع هذه الأمثلة التوضيحية لترى كيف تُطبق الخواص لعزل المتغيرات، التعامل مع الأقواس، والتخلص من الكسور.

1. معادلة بسيطة: حل المعادلة \( 2x + 1 = -5 \) وتحقق من الحل الناتج.

   عرض الحل خطوة بخطوة

   الفكرة الأساسية هي عزل \( x \) في أحد طرفي المعادلة. اطرح \( 1 \) من كلا الطرفين:

   \[ \begin{aligned} 2x + 1 - 1 &= -5 - 1 \\ 2x &= -6 \end{aligned} \]

   اقسِم كلا الطرفين على 2:

   \[ \begin{aligned} \dfrac{2x}{2} &= \dfrac{-6}{2} \\ x &= -3 \end{aligned} \]

   التحقق من الحل:
   الطرف الأيسر (LHS): \( 2(-3) + 1 = -6 + 1 = -5 \)
   الطرف الأيمن (RHS): \( -5 \)
   بما أن الطرف الأيسر = الطرف الأيمن، إذن \( x = -3 \) صحيح.

2. متغيرات في كلا الطرفين: حل المعادلة \( x - 2 - 3x = -7 - x \) وتحقق من الحل.

   عرض الحل خطوة بخطوة

   أولاً، اجمع الحدود المتشابهة في الطرف الأيسر (\( x \) و \( -3x \)):

   \[ -2x - 2 = -7 - x \]

   اضف \( 2 \) إلى كلا الطرفين لنقل الثوابت إلى اليمين:

   \[ -2x = -x - 5 \]

   اضف \( x \) إلى كلا الطرفين لنقل حدود المتغيرات إلى اليسار:

   \[ \begin{aligned} -2x + x &= -5 \\ -x &= -5 \end{aligned} \]

   اضرب أو اقسِم كلا الطرفين على \( -1 \):

   \[ x = 5 \]

   التحقق من الحل:
   الطرف الأيسر: \( 5 - 2 - 3(5) = 5 - 2 - 15 = -12 \)
   الطرف الأيمن: \( -7 - (5) = -12 \)
   بما أن الطرف الأيسر = الطرف الأيمن، إذن \( x = 5 \) صحيح.

3. معادلات تتضمن أقواس: حل المعادلة \( -2(x - 2) + 3 = 3(-x + 4) - 3 \).

   عرض الحل خطوة بخطوة

   استخدم قانون التوزيع، \( a(b+c) = ab + ac \)، لإزالة الأقواس في كلا الطرفين:

   \[ -2x + 4 + 3 = -3x + 12 - 3 \]

   جمع الحدود المتشابهة في كل طرف:

   \[ -2x + 7 = -3x + 9 \]

   اضف \( 3x \) إلى كلا الطرفين، واطرح \( 7 \) من كلا الطرفين لعزل \( x \):

   \[ \begin{aligned} -2x + 3x &= 9 - 7 \\ x &= 2 \end{aligned} \]

   التحقق من الحل:
   الطرف الأيسر: \( -2(2 - 2) + 3 = -2(0) + 3 = 3 \)
   الطرف الأيمن: \( 3(-2 + 4) - 3 = 3(2) - 3 = 6 - 3 = 3 \)
   بما أن الطرف الأيسر = الطرف الأيمن، إذن \( x = 2 \) صحيح.

4. معادلات تتضمن كسوراً: حل المعادلة \( \dfrac{x}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \).

   عرض الحل خطوة بخطوة

   للتخلص من الكسور، اضرب كلا الطرفين في المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للمقامين 3 و 2، وهو 6.

   \[ 6 \left( \dfrac{x}{3} - \dfrac{1}{2} \right) = 6 \left( \dfrac{1}{3} \right) \]

   وزع الرقم 6 على كل حد:

   \[ \begin{aligned} \dfrac{6x}{3} - \dfrac{6}{2} &= \dfrac{6}{3} \\ 2x - 3 &= 2 \end{aligned} \]

   اضف 3 إلى كلا الطرفين، ثم اقسِم على 2:

   \[ \begin{aligned} 2x &= 5 \\ x &= \dfrac{5}{2} \end{aligned} \]

   التحقق من الحل:
   الطرف الأيسر: \( \dfrac{1}{3} \left(\dfrac{5}{2}\right) - \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \)
   بما أن الطرف الأيسر = الطرف الأيمن، إذن \( x = \dfrac{5}{2} \) صحيح.

أسئلة التدريب

حل المعادلات التالية وتحقق من إجابتك بالتحقق من الحل.

1. \( 2x + 2 = 6 \)

   عرض الحل خطوة بخطوة

   اطرح 2 من كلا الطرفين:

   \[ \begin{aligned} 2x + 2 - 2 &= 6 - 2 \\ 2x &= 4 \end{aligned} \]

   اقسِم كلا الطرفين على 2:

   \[ \begin{aligned} \dfrac{2x}{2} &= \dfrac{4}{2} \\ x &= 2 \end{aligned} \]

   التحقق: الطرف الأيسر: \( 2(2) + 2 = 4 + 2 = 6 \). الطرفان متساويان.

2. \( 5y - 2 = 7y - 8 \)

   عرض الحل خطوة بخطوة

   اطرح \( 5y \) من كلا الطرفين:

   \[ \begin{aligned} 5y - 2 - 5y &= 7y - 8 - 5y \\ -2 &= 2y - 8 \end{aligned} \]

   اضف 8 إلى كلا الطرفين:

   \[ \begin{aligned} -2 + 8 &= 2y \\ 6 &= 2y \end{aligned} \]

   اقسِم على 2:

   \[ y = 3 \]

   التحقق: الطرف الأيسر: \( 5(3) - 2 = 13 \). الطرف الأيمن: \( 7(3) - 8 = 13 \). الطرفان متساويان.

3. \( -2x + 4 + 5x = 7 + 4x - 3 \)

   عرض الحل خطوة بخطوة

   جمع الحدود المتشابهة في كل طرف:

   \[ 3x + 4 = 4x + 4 \]

   اطرح \( 3x \) و 4 من كلا الطرفين:

   \[ \begin{aligned} 4 - 4 &= 4x - 3x \\ 0 &= x \end{aligned} \]

   التحقق: الطرف الأيسر: \( -2(0) + 4 + 5(0) = 4 \). الطرف الأيمن: \( 7 + 4(0) - 3 = 4 \). الطرفان متساويان.

4. \( 0.2d + 4 = -0.1d - 2 \)

   عرض الحل خطوة بخطوة

   اضف \( 0.1d \) إلى كلا الطرفين واطرح 4 من كلا الطرفين:

   \[ \begin{aligned} 0.2d + 0.1d &= -2 - 4 \\ 0.3d &= -6 \end{aligned} \]

   اقسِم كلا الطرفين على 0.3:

   \[ \begin{aligned} d &= \dfrac{-6}{0.3} \\ d &= -20 \end{aligned} \]

   التحقق: الطرف الأيسر: \( 0.2(-20) + 4 = -4 + 4 = 0 \). الطرف الأيمن: \( -0.1(-20) - 2 = 2 - 2 = 0 \). الطرفان متساويان.

5. \( -2(2x - 6) = -(x - 4) \)

   عرض الحل خطوة بخطوة

   انشر كلا الطرفين باستخدام قانون التوزيع:

   \[ -4x + 12 = -x + 4 \]

   اضف \( 4x \) إلى كلا الطرفين واطرح 4:

   \[ \begin{aligned} 12 - 4 &= -x + 4x \\ 8 &= 3x \end{aligned} \]

   اقسِم على 3:

   \[ x = \dfrac{8}{3} \]

   التحقق: الطرف الأيسر: \( -2\left(2\left(\frac{8}{3}\right) - 6\right) = -2\left(\frac{16}{3} - \frac{18}{3}\right) = -2\left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3} \).
   الطرف الأيمن: \( -\left(\frac{8}{3} - 4\right) = -\left(\frac{8}{3} - \frac{12}{3}\right) = -\left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3} \). الطرفان متساويان.

6. \( -(x + 2) + 4 = 2(x + 3) + x \)

   عرض الحل خطوة بخطوة

   انشر وجمع الحدود المتشابهة:

   \[ \begin{aligned} -x - 2 + 4 &= 2x + 6 + x \\ -x + 2 &= 3x + 6 \end{aligned} \]

   اضف \( x \) واطرح 6 من كلا الطرفين:

   \[ \begin{aligned} 2 - 6 &= 3x + x \\ -4 &= 4x \\ -1 &= x \end{aligned} \]

   التحقق: الطرف الأيسر: \( -(-1 + 2) + 4 = -1 + 4 = 3 \). الطرف الأيمن: \( 2(-1 + 3) + (-1) = 2(2) - 1 = 3 \). الطرفان متساويان.

7. \( \dfrac{x}{5} = -6 \)

   عرض الحل خطوة بخطوة

   اضرب كلا الطرفين في 5 لعزل \( x \):

   \[ \begin{aligned} 5 \left(\dfrac{x}{5}\right) &= 5(-6) \\ x &= -30 \end{aligned} \]

   التحقق: الطرف الأيسر: \( \dfrac{-30}{5} = -6 \). الطرفان متساويان.

8. \( -\dfrac{x}{3} = \dfrac{1}{2} \)

   عرض الحل خطوة بخطوة

   اضرب كلا الطرفين في -3 للتخلص من الكسر والإشارة السالبة:

   \[ \begin{aligned} (-3) \left(-\dfrac{x}{3}\right) &= (-3) \left(\dfrac{1}{2}\right) \\ x &= -\dfrac{3}{2} \end{aligned} \]

   التحقق: الطرف الأيسر: \( -\dfrac{(-3/2)}{3} = \dfrac{3/2}{3} = \dfrac{1}{2} \). الطرفان متساويان.

9. \( -\dfrac{x}{4} = \dfrac{1}{2} - x \)

   عرض الحل خطوة بخطوة

   اضرب المعادلة بأكملها في 4 للتخلص من الكسور:

   \[ \begin{aligned} 4 \left(-\dfrac{x}{4}\right) &= 4 \left(\dfrac{1}{2} - x\right) \\ -x &= 2 - 4x \end{aligned} \]

   اضف \( 4x \) إلى كلا الطرفين:

   \[ \begin{aligned} 3x &= 2 \\ x &= \dfrac{2}{3} \end{aligned} \]

   التحقق: الطرف الأيسر: \( -\dfrac{2/3}{4} = -\dfrac{2}{12} = -\dfrac{1}{6} \).
   الطرف الأيمن: \( \dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{6} - \dfrac{4}{6} = -\dfrac{1}{6} \). الطرفان متساويان.

10. \( -\dfrac{x - 3}{7} = \dfrac{1}{2}(-2x + 6) \)

    عرض الحل خطوة بخطوة

    اضرب كلا الطرفين في المضاعف المشترك الأصغر لـ 7 و 2 (وهو 14) للتخلص من الكسور:

    \[ \begin{aligned} 14 \left( -\dfrac{x - 3}{7} \right) &= 14 \left( \dfrac{1}{2}(-2x + 6) \right) \\ -2(x - 3) &= 7(-2x + 6) \end{aligned} \]

    انشر باستخدام قانون التوزيع:

    \[ -2x + 6 = -14x + 42 \]

    اضف \( 14x \) واطرح 6 من كلا الطرفين:

    \[ \begin{aligned} 12x &= 36 \\ x &= 3 \end{aligned} \]

    التحقق: الطرف الأيسر: \( -\dfrac{3 - 3}{7} = 0 \). الطرف الأيمن: \( \dfrac{1}{2}(-2(3) + 6) = 0 \). الطرفان متساويان.

11. \( -\dfrac{1}{2} - x + 5 = \dfrac{1}{5} + 2(x - 2) \)

    عرض الحل خطوة بخطوة

    أولاً، تخلص من الكسور بضرب كل حد في المضاعف المشترك الأصغر لـ 2 و 5 (وهو 10):

    \[ 10 \left(-\dfrac{1}{2} - x + 5\right) = 10 \left(\dfrac{1}{5} + 2(x - 2)\right) \]

    وزع الرقم 10 بعناية:

    \[ -5 - 10x + 50 = 2 + 20(x - 2) \]

    جمع الحدود الثابتة على اليسار وانشر الأقواس على اليمين:

    \[ \begin{aligned} -10x + 45 &= 2 + 20x - 40 \\ -10x + 45 &= 20x - 38 \end{aligned} \]

    اضف \( 10x \) واضف 38 إلى كلا الطرفين:

    \[ \begin{aligned} 45 + 38 &= 20x + 10x \\ 83 &= 30x \\ x &= \dfrac{83}{30} \end{aligned} \]

    التحقق: الطرف الأيسر: \( -\dfrac{1}{2} - \dfrac{83}{30} + 5 = -\dfrac{15}{30} - \dfrac{83}{30} + \dfrac{150}{30} = \dfrac{52}{30} = \dfrac{26}{15} \).
    الطرف الأيمن: \( \dfrac{1}{5} + 2\left(\dfrac{83}{30} - \dfrac{60}{30}\right) = \dfrac{3}{15} + 2\left(\dfrac{23}{30}\right) = \dfrac{3}{15} + \dfrac{46}{30} = \dfrac{3}{15} + \dfrac{23}{15} = \dfrac{26}{15} \). الطرفان متساويان.

المراجع وروابط مفيدة

• حل المعادلات، أنظمة المعادلات، والمتراجحات
• إيجاد المضاعف المشترك الأصغر
• رياضيات المرحلة المتوسطة (الصفوف 6، 7، 8، 9) - أسئلة ومسائل مجانية
• رياضيات المرحلة الثانوية (الصفوف 10، 11 و 12) - أسئلة ومسائل مجانية
• رياضيات المرحلة الابتدائية (الصفوف 4 و 5) - أسئلة ومسائل مجانية