إيجاد المضاعف المشترك الأصغر والقاسم المشترك الأكبر للأعداد الصحيحة - أمثلة وأسئلة مع الإجابات (الصف الخامس)

تعرف على كيفية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) والقاسم المشترك الأكبر (GCF) للأعداد الصحيحة من خلال أمثلة خطوة بخطوة وأسئلة تدريبية مع الإجابات. استخدم حاسباتنا التفاعلية أدناه للتحقق من إجاباتك:

محتويات الصفحة

أ - إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لعددين

الطريقة 1:
المثال 1: أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 6 و 4 عن طريق سرد المضاعفات.
أوجد المضاعفات القليلة الأولى للعددين 6 و 4:
6: 6 , 12 , 18 , 24 , 30 ,...
4: 4 , 8 , 12 , 16 , 20 ,...
أصغر مضاعف مشترك بين 6 و 4 هو 12. إذن، المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للعددين 6 و 4 هو 12.
ملاحظة: هذه الطريقة تعمل بشكل أفضل للأعداد الصغيرة.


الطريقة 2:
أوجد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام التحليل إلى العوامل الأولية. يستخدم التحليل إلى العوامل الأولية الأعداد الأولية (2، 3، 5، 7، 11، ...) لتحليل عدد صحيح.
أمثلة على التحليل إلى العوامل الأولية:

\[4 = 2 \times 2\]

\[14 = 2 \times 7\]

\[16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2\]

\[20 = 2 \times 2 \times 5\]


المثال 2: أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 6 و 4 باستخدام التحليل إلى العوامل الأولية.
أوجد التحليل إلى العوامل الأولية لكل عدد:
\[6 = 2 \times 3\]

\[4 = 2 \times 2\]

ضرب الصيغ المحللة:
\[6 \times 4 = (\underline{2} \times 3) \times (\underline{2} \times 2)\]

بما أن العامل \(\underline{2}\) يُحسب مرتين، قم بإزالته من أحد الحدين للحصول على المضاعف المشترك الأصغر:
\[\text{LCM} = 3 \times (2 \times 2) = 12\]
.


المثال 3: أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 20 و 24 باستخدام التحليل إلى العوامل الأولية.

\[20 = 2 \times 2 \times 5\]

\[24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3\]

الناتج في صورة محللة هو \((\underline{2} \times \underline{2} \times 5) \times (\underline{2} \times \underline{2} \times 2 \times 3)\).
إزالة العوامل المكررة \(\underline{2} \times \underline{2}\) من أحد الحدين تعطي:
\[\text{LCM} = (5) \times (2 \times 2 \times 2 \times 3) = 120\]
.


المثال 4: أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 1240 و 5300 باستخدام التحليل إلى العوامل الأولية.

\[1240 = \underline{2} \times \underline{2} \times 2 \times \underline{5} \times 31\]

\[5300 = \underline{2} \times \underline{2} \times \underline{5} \times 5 \times 53\]

إزالة العوامل المكررة \(\underline{2} \times \underline{2} \times \underline{5}\) من أحد الحدين ينتج عنها:
\[\text{LCM} = (2 \times 31) \times (\underline{2} \times \underline{2} \times \underline{5} \times 5 \times 53) = 328,600\]
.


ب - إيجاد القاسم المشترك الأكبر (GCF) لعددين

المثال 5: أوجد القاسم المشترك الأكبر للعددين 6 و 4 باستخدام التحليل إلى العوامل الأولية.

\[6 = 2 \times 3\]

\[4 = 2 \times 2\]

العدد 2 هو أكبر عامل مشترك بين 6 و 4. إذن، \(\text{GCF} = 2\).

المثال 6: أوجد القاسم المشترك الأكبر للعددين 20 و 24 باستخدام التحليل إلى العوامل الأولية.
\[20 = \underline{2} \times \underline{2} \times 5\]

\[24 = \underline{2} \times \underline{2} \times 2 \times 3\]

القاسم المشترك الأكبر هو حاصل ضرب جميع العوامل المشتركة: \(\underline{2} \times \underline{2} = 4\).


المثال 7: أوجد القاسم المشترك الأكبر للعددين 1240 و 5300 باستخدام التحليل إلى العوامل الأولية.

\[1240 = \underline{2} \times \underline{2} \times 2 \times \underline{5} \times 31\]

\[5300 = \underline{2} \times \underline{2} \times \underline{5} \times 5 \times 53\]

القاسم المشترك الأكبر يُعطى بواسطة \(\underline{2} \times \underline{2} \times \underline{5} = 20\).


ج - العلاقة بين المضاعف المشترك الأصغر والقاسم المشترك الأكبر لعددين

يوضح الجدول أدناه أن حاصل ضرب أي عددين صحيحين يساوي حاصل ضرب المضاعف المشترك الأصغر والقاسم المشترك الأكبر لهما.

\((m , n)\) \(\text{LCM}(m,n)\) \(\text{GCF}(m,n)\) \(\text{LCM}(m,n) \times \text{GCF}(m,n)\) \(m \times n\)
\((4 , 6)\) 12 2 \(12 \times 2 = 24\) \(4 \times 6 = 24\)
\((20 , 24)\) 120 4 \(120 \times 4 = 480\) \(20 \times 24 = 480\)

الخاصية الرئيسية: لأي عددين صحيحين \(m\) و \(n\):

\(m \times n = \text{LCM}(m,n) \times \text{GCF}(m,n)\)


الأسئلة والحلول خطوة بخطوة

أوجد المضاعف المشترك الأصغر والقاسم المشترك الأكبر لكل زوج من الأعداد وتأكد من أن حاصل ضربهما يساوي حاصل ضرب المضاعف المشترك الأصغر والقاسم المشترك الأكبر.

  1. السؤال A: 21 و 14

    عرض الحل خطوة بخطوة

    الشرح:

    • التحليل إلى العوامل الأولية: \(21 = 3 \times 7\) و \(14 = 2 \times 7\).
    • القاسم المشترك الأكبر (GCF): العامل المشترك هو 7. إذن، \(\text{GCF} = 7\).
    • المضاعف المشترك الأصغر (LCM): \(2 \times 3 \times 7 = 42\). إذن، \(\text{LCM} = 42\).
    • التحقق: \(\text{GCF} \times \text{LCM} = 7 \times 42 = 294\) و \(21 \times 14 = 294\).

    الإجابة: \(\text{GCF} = 7\)، \(\text{LCM} = 42\)

  2. السؤال B: 45 و 55

    عرض الحل خطوة بخطوة

    الشرح:

    • التحليل إلى العوامل الأولية: \(45 = 3^2 \times 5\) و \(55 = 5 \times 11\).
    • القاسم المشترك الأكبر (GCF): العامل المشترك هو 5. إذن، \(\text{GCF} = 5\).
    • المضاعف المشترك الأصغر (LCM): \(3^2 \times 5 \times 11 = 9 \times 5 \times 11 = 495\). إذن، \(\text{LCM} = 495\).
    • التحقق: \(\text{GCF} \times \text{LCM} = 5 \times 495 = 2475\) و \(45 \times 55 = 2475\).

    الإجابة: \(\text{GCF} = 5\)، \(\text{LCM} = 495\)

  3. السؤال C: 120 و 248

    عرض الحل خطوة بخطوة

    الشرح:

    • التحليل إلى العوامل الأولية: \(120 = 2^3 \times 3 \times 5\) و \(248 = 2^3 \times 31\).
    • القاسم المشترك الأكبر (GCF): العامل المشترك هو \(2^3 = 8\). إذن، \(\text{GCF} = 8\).
    • المضاعف المشترك الأصغر (LCM): \(2^3 \times 3 \times 5 \times 31 = 3720\). إذن، \(\text{LCM} = 3720\).
    • التحقق: \(\text{GCF} \times \text{LCM} = 8 \times 3720 = 29760\) و \(120 \times 248 = 29760\).

    الإجابة: \(\text{GCF} = 8\)، \(\text{LCM} = 3720\)


المزيد من المراجع والروابط