يتم عرض مسائل العد مع حلولها التفصيلية وشروحات مفصلة.
مبدأ العد
لنبدأ بتقديم مبدأ العد باستخدام مثال.
يجب على الطالب أن يأخذ دورة واحدة في الفيزياء ، واحدة في العلوم وأخرى في الرياضيات. يجوز له اختيار واحدة من 3 دورات في الفيزياء (P1 ، P2 ، P3) ، وواحدة من دورتين في العلوم (S1 ، S2) وواحدة من دورتين في الرياضيات (M1 ، M2). ما عدد الطرق التي يمكن لهذا الطالب أن يختار بها الدورات الثلاث التي يجب أن يأخذها؟
دعنا نستخدم مخططًا شجريًا يوضح جميع الخيارات الممكنة. يُظهر العمود الأول الموجود على اليسار الخيارات الثلاثة الممكنة لدورة الفيزياء: P1 أو P2 أو P3. ثم يُظهر العمود الثاني الخيارين المحتملين لدورة العلوم ويظهر العمود الأخير الخيارين المحتملين لدورة الرياضيات. الطرق المختلفة التي يمكن من خلالها اختيار الدورات الثلاث هي:
(P1 S1 M1), (P1 S1 M2), (P1 S2 M1), (P1 S2 M2)
(P2 S1 M1), (P2 S1 M2), (P2 S2 M1), (P2 S2 M2)
(P3 S1 M1), (P3 S1 M2), (P3 S2 M1), (P3 S2 M2)
يمكن حساب العدد الإجمالي للخيارات على النحو التالي:
لنفترض أن n1 هو عدد اختيارات مقرر الفيزياء ، هنا n1 = 3. لنفترض أن n2 هو عدد اختيارات مقرر العلوم ، وهنا n2 = 2. لنفترض أن n3 هو عدد اختيارات مقرر الرياضيات ، وهنا n3 = 2 يتضح من مخطط الشجرة أعلاه أنه يمكن حساب العدد الإجمالي N للخيارات على النحو التالي:
N = n1 × n2 × n3
= 3 × 2 × 2 = 12
باستخدام المسئلة أعلاه ، يمكننا تعميم وكتابة صيغة متعلقة بالعد على النحو التالي:
"إذا كانت الأحداث E1 و E2 و E3 ... يمكن أن تحدث في n1 و n2 و n3 ... بطرق مختلفة على التوالي ، فإن عدد الطرق N التي يمكن أن تحدث بها جميع الأحداث يساوي
... N = n1 × n2 × n3
المسئلة 1
لشراء نظام كمبيوتر ، يمكن للزبون اختيار واحدة من 4 شاشات وواحدة من لوحتين للمفاتيح وواحدة من 4 أجهزة كمبيوتر وواحدة من 3 طابعات. حدد عدد الأنظمة الممكنة التي يمكن للعميل الاختيار من بينها.
عدد الخيارات
حل المسئلة 1
يمكن للزبون اختيار شاشة واحدة ولوحة مفاتيح واحدة وجهاز كمبيوتر وطابعة واحدة. يوضح الرسم البياني أدناه كل عنصر مع عدد الخيارات المتاحة للعميل.
باستخدام مبدأ العد المستخدم في المقدمة أعلاه ، يتم تحديد عدد جميع أنظمة الكمبيوتر الممكنة التي يمكن شراؤها
N = 4 × 2 × 4 × 3 = 96
المسئلة 2
في دولة معينة ، تتكون أرقام الهواتف من 9 أرقام. أول رقمين هما رمز المنطقة (03) وهما متماثلان في منطقة معينة. الأرقام السبعة الأخيرة هي الرقم المحلي ولا يمكن أن تبدأ بالرقم 0. كم عدد أرقام الهواتف المختلفة الممكنة ضمن رمز منطقة معين في هذه الدولة؟
حل المسئلة 2
يوضح الرسم البياني أدناه عدد الاختيارات لكل رقم. الرقم الأول من رمز المنطقة هو 0 ، ولا يوجد خيار هو في الواقع خيار واحد فقط. الرقم الثاني من رمز المنطقة هو 1 ، لا خيار أو خيار واحد فقط. يمكن أن يكون الرقم الأول من الكود المحلي أي رقم باستثناء 0 ، أي 9 اختيارات. يمكن أن تكون الأرقام الثاني والثالث والرابع والخامس والسادس والسابع من الكود المحلي أي رقم ، ومن ثم 10 خيارات لكل منها.
باستخدام مبدأ العد ، يتم إعطاء العدد الإجمالي لأرقام الهواتف الممكنة بواسطة
يمكن للطالب اختيار واحد من 6 كتب رياضيات مختلفة وواحد من 3 كتب مختلفة في الكيمياء وواحد من 4 كتب علمية مختلفة. ما هو عدد الطرق المختلفة التي يمكن للطالب أن يختار بها كتابًا في الرياضيات ، وكتابًا في الكيمياء ، وكتابًا في العلوم؟
حل المسئلة 3
يتم إعطاء العدد الإجمالي للطرق المختلفة التي يمكن للطلاب من خلالها اختيار كتبه الثلاثة
N = 6 × 3 × 4 = 72
المسئلة 4
هناك 3 طرق مختلفة من المدينة "A" إلى المدينة "ب" وطريقان مختلفان من المدينة "B" إلى المدينة "C". ما هو عدد الطرق التي يمكن أن ينتقل بها شخص ما من المدينة "A" إلى المدينة "C" مروراً بالمدينة "B"؟
حل المسئلة 4
العدد الإجمالي N للطرق المختلفة التي يمكن لشخص ما أن ينتقل بها من المدينة "A" إلى المدينة "C" ، مروراً بالمدينة "B" هو
N = 3 × 2 = 6
المسئلة 5
يرتدي الرجل 3 بدلات مختلفة و 4 قمصان مختلفة و 5 أزواج مختلفة من الأحذية. كم عدد الطرق المختلفة التي يمكن أن يرتدي بها هذا الرجل بدلة وقميصًا وزوجًا من الأحذية؟
حل المسئلة 5
العدد الإجمالي N للطرق المختلفة التي يمكن أن يرتدي بها هذا الرجل إحدى بدلاته وأحد قمصانه وزوج من حذائه هو
N = 3 × 4 × 5 = 60
المسئلة 6
في الشركة ، تتكون بطاقات الهوية من 5 أرقام.
a) كم عدد بطاقات الهوية التي يمكن تكوينها إذا كان تكرار الرقم مسموحًا به؟
b) كم عدد بطاقات الهوية التي يمكن تكوينها في حالة عدم السماح بتكرار الرقم؟
حل المسئلة 6
a) في الرسم البياني أدناه ، يمكن أن يكون أي من الأرقام الخمسة من الرقم المراد تكوينه أيًا من الأرقام العشرة: 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9. رقم من العدد الذي سيتم تكوينه منذ السماح بتكرار الأرقام من 0 إلى 9. عندما يُسمح بالتكرار ، يُعطى العدد الإجمالي N لبطاقات الهوية من خلال العدد الإجمالي للأرقام المكونة من 5 أرقام التي يمكن تكوينها ويتم تقديمها بواسطة:
N = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100,000
b) في الرسم البياني أدناه ، يمكن أن يكون الرقم الأول من الرقم المراد تكوينه أيًا من الأرقام العشرة ، ومن ثم الخيارات العشرة. يمكن أن يكون الرقم الثاني أيًا من الأرقام العشرة باستثناء الرقم المستخدم في الموضع 1 نظرًا لعدم السماح بتكرار الأرقام ، ومن هنا جاءت الخيارات التسعة. يمكن أن يكون الرقم الثالث أيًا من الأرقام العشرة باستثناء الرقمين المستخدم بالفعل في الموضعين 1 و 2 نظرًا لأن التكرار غير مسموح به ، ومن ثم الخيارات الثمانية وما إلى ذلك.
يتم إعطاء عدد N من بطاقات الهوية بواسطة
N = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 30,240
المسئلة 7
في بعض البلدان ، تحتوي أرقام لوحات الترخيص على 3 أحرف من الأبجدية الإنجليزية من A إلى Z متبوعة 4 أرقام. كم عدد أرقام لوحات الترخيص المختلفة التي يمكن تشكيلها؟ (يمكن تكرار الحروف والأرقام).
حل المسئلة 7
26 (جميع الحروف في الأبجدية) من الممكن أن يتم استخدام كل حرف من الأحرف الثلاثة لتشكيل رقم الترخيص. 10 اختيارات (0،1،2،3،4،5،6،7،8،9) ممكنة لكل من الأرقام الأربعة. العدد الإجمالي لأرقام الترخيص مُعطى بواسطة
باستخدام الأرقام 1 و 2 و 3 و 5 ، كم عدد الأرقام المكونة من 4 أرقام التي يمكن تكوينها إذا
a) يجب أن يكون الرقم الأول 1 ويسمح بتكرار الأرقام؟
b) يجب أن يكون الرقم الأول 1 ولا يسمح بتكرار الأرقام؟
c) يجب أن يكون الرقم قابلاً للقسمة على 2 ويسمح بالتكرار.
b) يجب أن يكون الرقم قابلاً للقسمة على 2 ولا يجوز التكرار؟
حل المسئلة 8
a) اختيار واحد للرقم الأول. 4 اختيارات للأرقام الثلاثة الأخيرة التي تشكل الرقم المكون من 4 أرقام حيث يُسمح بالتكرار. ومن ثم يتم إعطاء عدد N من الأرقام التي قد نشكلها
N = 1 × 4 × 4 × 4 = 64
b) اختيار واحد للرقم الأول. 3 اختيارات للرقم الثاني من الرقم المراد تكوينه لأن التكرار غير مسموح به. خياران للرقم الثالث من الرقم المراد تكوينه. اختيار واحد للرقم الرابع من الرقم المراد تكوينه. ومن ثم يتم إعطاء عدد N من الأرقام التي قد نشكلها
N = 1 × 3 × 2 × 1 = 6
c) لكي يكون الرقم الذي سيتم تكوينه قابلاً للقسمة على اثنين ، يجب أن يكون الرقم الأخير 2 ، ومن ثم اختيار واحد لهذا الرقم. 4 اختيارات لكل رقم من الأرقام الأخرى حيث أن التكرار مسموح به. ومن ثم يتم إعطاء عدد N من الأرقام التي قد نشكلها
N = 4 × 4 × 4 × 1 = 64
d) لكي يكون الرقم الذي سيتم تكوينه قابلاً للقسمة على اثنين ، يجب أن يكون الرقم الأخير 2 ، ومن ثم اختيار واحد لهذا الرقم. 3 اختيارات للرقم الأول ، وخياران للرقم الثاني واختيار واحد للرقم الثالث الذي يشكل الرقم. ومن ثم يتم إعطاء عدد N من الأرقام التي قد نشكلها
N = 3 × 2 × 1 × 1 = 6
المسئلة 9
يتم رمي عملة معدنية ثلاث مرات. ما هو العدد الإجمالي لجميع النتائج الممكنة؟
حل المسئلة 9
في المرة الأولى التي يتم فيها رمي العملة ، من الممكن أن تكون هناك نتائج مختلفة 2 (رأس ، ذيل). في المرة الثانية التي يتم فيها رمي العملة ، من الممكن أن يكون هناك 2 نتيجتان مختلفتان آخرتان ، وفي المرة الثالثة التي يتم فيها رمي العملة ، من الممكن 2 نتيجة مختلفة أخرى. ومن ثم فإن العدد الإجمالي للنتائج المحتملة يساوي
N = 2 × 2 × 2 = 8
المسئلة 10
رمي نردان. ما هو العدد الإجمالي لجميع النتائج الممكنة؟
حل المسئلة 10
ست نتائج محتملة للنرد الأول (1،2،3،4،5،6) و 6 نتائج محتملة أخرى للنرد الثاني. العدد الإجمالي للنتائج المختلفة هو
N = 6 × 6 = 36
المسئلة 11
يتم رمي عملة معدنية ورمي نرد. ما هو العدد الإجمالي لجميع النتائج الممكنة؟
حل المسئلة 11
نتيجتان محتملتان للعملة المعدنية (الرأس والذيل) و 6 نتيجة محتملة (1،2،3،4،5،6) للنرد. العدد الإجمالي للنتائج المختلفة هو
