مقدمة في الاحتمالية

احتمالية وقوع حدث

ترتبط الاحتماليات بالتجارب التي لا يتم معرفة نتيجتها مسبقًا أو لا يمكن التنبؤ بها. على سبيل المثال، إذا قمت برمي عملة، هل ستحصل على رأس أم على ذيل؟ إذا قمت برمي نرد، هل ستحصل على 1، 2، 3، 4، 5 أو 6؟
تقيس الاحتمالية "مدى احتمالية" حدوث حدث مرتبط بهذا النوع من التجارب. قيمة الاحتمالية هي عدد يتراوح بين 0 و 1 بما في ذلك الحدود. حدث لا يمكن أن يحدث له احتمالية (أن يحدث) تساوي 0، وحدث مؤكد أنه سيحدث له احتمالية تساوي 1 (انظر مقياس الاحتمالية أدناه).

لكي نحدد الاحتماليات بشكل كمي، نحتاج إلى تعريف "مساحة العينة" للتجربة و"الأحداث" التي قد تكون مرتبطة بهذه التجربة.

مساحة العينة والأحداث

مساحة العينة> هي مجموعة كل النتائج المحتملة في التجربة.

نحن نحدد حدثًا على أنه نتيجة معينة للتجربة. الحدث هو مجموعة فرعية من مساحة العينة.

المثال 4

يتم إلقاء نرد (انظر المثال 1 أعلاه لمساحة العينة). دعنا نعرف الحدث E كمجموعة النتائج الممكنة حيث يكون العدد على وجه النرد فرديًا. الحدث E يكون على النحو التالي
E = {2، 4، 6}

المثال 5

يتم إلقاء عملتين (انظر المثال 2 أعلاه لمساحة العينة). دعنا نعرف الحدث E كمجموعة النتائج الممكنة حيث يكون عدد الأشكال التي ظهرت على شكل رأسين مساويًا لـ اثنين. الحدث E يكون على النحو التالي
E = {(HT)، (TH)}

المثال 6

يتم إلقاء زوجين من النرد (انظر المثال 3 أعلاه لمساحة العينة). دعنا نعرف الحدث E كمجموعة النتائج الممكنة حيث يكون مجموع الأعداد على وجوه النرد مساويًا لأربعة. الحدث E يكون على النحو التالي
E = {(1،3)، (2،2)، (3،1)}

كيفية حساب الاحتمالات؟

1 - صيغة الاحتمال الكلاسيكي

تستند هذه الصيغة إلى حقيقة أن جميع النتائج متساوية الاحتمال.
صيغة الاحتمال الكلاسيكية.

المثال 7

يتم إلقاء النرد، احسب الاحتمالية للحصول على الرقم 3.
الحدث المطلوب هو "الحصول على الرقم 3"، لذلك E = {3}.
مجال العينة S مكون من S = {1،2،3،4،5،6}.
عدد النتائج الممكنة في E هو 1 وعدد النتائج الممكنة في S هو 6. لذا فإن الاحتمالية للحصول على الرقم 3 هي
P(E) = 1 / 6.

المثال 8

يتم إلقاء النرد، احسب الاحتمالية للحصول على رقم زوجي.
الحدث المطلوب هو "الحصول على رقم زوجي"، لذلك E = {2،4،6}، وهي الأعداد الزوجية على النرد.
مجال العينة S مكون من S = {1،2،3،4،5،6}.
عدد النتائج الممكنة في E هو 3 وعدد النتائج الممكنة في S هو 6. لذا فإن الاحتمالية للحصول على رقم زوجي هي
P(E) = 3 / 6 = 1 / 2.

2 - صيغة الاحتمال التجريبي

تستخدم البيانات الفعلية عن الحالات الحالية لتحديد مدى احتمال حدوث النتائج في المستقبل. دعنا نوضح ذلك باستخدام مثال.
تم سؤال 30 شخصًا عن الألوان التي يحبونها وهذه هي النتائج:

اللون	(عدد)التكرار
أحمر	10
أزرق	15
أخضر	5

إذا تم اختيار شخص عشوائي من المجموعة المذكورة أعلاه، فما هي احتمالية أن يحب هذا الشخص اللون الأحمر؟ لنعتبر الحدث E هو "يحب اللون الأحمر". بالتالي، صيغة الاحتمال التجريبي

مثال 9

الجدول أدناه يوضح توزيع الطلاب حسب المراحل الدراسية في مدرسة.

المرحلة	التكرار (عدد)
1	50
2	30
3	40
4	42
5	38
6	50

إذا تم اختيار طالب عشوائي من هذه المدرسة، فما هي الاحتمالية بأن يكون هذا الطالب في المرحلة الثالثة؟
دع الحدث E يكون "الطالب من المرحلة الثالثة". وبالتالي،
تطبيق صيغة الاحتمال التجريبي ، مثال 8