الدرس التعليمي حول إيجاد الاحتمالية لحدث ما.
فيما يلي، S هو المساحة العينية للتجربة المطروحة، و E هو الحدث المراد دراسته. n(S) هو عدد العناصر في المساحة العينية S، و n(E) هو عدد العناصر في الحدث E.
يمكنك الاطلاع على الدروس والمعلومات المفصلة حول الاحتمالات والمساحة العينية والأحداث عن طريق الروابط التالية:
الاحتمال: يشرح هذا الرابط مفهوم الاحتمال وكيفية حسابه.
:المساحة العينيةيوضح هذا الرابط مفهوم المساحة العينية وأهميتها في تحليل الاحتمالات
الحدث:يشرح هذا الرابط مفهوم الحدث وكيفية تعريفه وتحليله في سياق الاحتمالات.
نأمل أن يساعدك هذا المصدر في فهم مفاهيم الاحتمالات وتطبيقها في حل المسائل المتعلقة بالاحتمالات.
الأسئلة وحلولها
السؤال 1
تم إلقاء النرد، احسب الاحتمالية في الحصول على رقم زوجي.
الحل للسؤال 1
دعنا أولاً نكتب المساحة العينية S للتجربة.
S = {1، 2، 3، 4، 5، 6}
وبالتالي، عدد العناصر في S هو: n(S) = 6
لنعتبر الحدث E "الحصول على رقم زوجي" ونكتبه.
E = {2، 4، 6}
وبالتالي، عدد العناصر في E هو: n(E) = 3
ثم نستخدم صيغة الاحتمالية الكلاسيكية.
P(E) = n(E) / n(S) = 3 / 6 = 1 / 2
السؤال 2
تم قذف عملتين، احسب الاحتمالية في الحصول على رأسين.
ملاحظة: لكل عملة نتيجتين محتملتين H (رؤوس) و T (ذيول).
الحل للسؤال 2
تم تحديد المساحة العينية S كما يلي.
S = {(H، T)، (H، H)، (T، H)، (T، T)}
وبالتالي، عدد العناصر في S هو: n(S) = 4
لنعتبر الحدث E "الحصول على رأسين".
E = {(H، H)}
وبالتالي، عدد العناصر في E هو: n(E) = 1
ثم نستخدم صيغة الاحتمالية الكلاسيكية.
P(E) = n(E) / n(S) = 1 / 4
السؤال 3
أيٌ من هذه الأرقام لا يمكن أن تكون احتمالية؟
a) -0.00001
b) 0.5
c) 1.001
d) 0
e) 1
f) 20%
الحل للسؤال 3
الاحتمالية تكون دائما أكبر من أو تساوي 0 وأصغر من أو تساوي 1، وبالتالي فقط a) و c) في الأعلى لا يمكن أن تمثل احتماليات: -0.00010 أقل من 0 و 1.001 أكبر من 1.
السؤال 4
رمي نردان ، أوجد احتمال أن يكون المجموع
a) يساوي 1
b) يساوي 4
c) أقل من 13
الحل للسؤال 4
a) The sample space S of two dice is shown below.
S = { (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) }
Let E be the event "sum equal to 1". There are no outcomes which correspond to a sum equal to 1, hence
P(E) = n(E) / n(S) = 0 / 36 = 0
b) Three possible outcomes give a sum equal to 4: E = {(1,3),(2,2),(3,1)}, hence.
P(E) = n(E) / n(S) = 3 / 36 = 1 / 12
c) All possible outcomes, E = S, give a sum less than 13, hence.
P(E) = n(E) / n(S) = 36 / 36 = 1
a)
يظهر أدناه عينة الفضاء S لاثنين من النرد:
S = { (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)
{(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)
لنعتبر الحدث ُ "المجموع(لاثنين من النرد) يساوي 1 "ز لا توجد نتائج تتوافق مع مجموع يساوي ١، وبالتالي
P(E) = n(E) / n(S) = 0 / 36 = 0
b)
ثلاثة نتائج ممكنة تعطي مجموع يساوي 4: E = {(1,3),(2,2),(3,1)}، بالتالي.
P(E) = n(E) / n(S) = 3 / 36 = 1 / 12
c)
جميع النتائج الممكنة، E = S، تعطي مجموع أقل من 13، بالتالي.
P(E) = n(E) / n(S) = 36 / 36 = 1
السؤال 5
يتم قذف النرد ورمي العملة، احسب الاحتمالية التي يظهر فيها النرد رقمًا فرديًا وتظهر العملة وجهًا.
الحل للسؤال 5
لنعتبر H يمثل الوجه و T يمثل الظهر للعملة. المساحة العينية S للتجربة الموصوفة في السؤال 5 هي على النحو التالي:
S = { (1,H),(2,H),(3,H),(4,H),(5,H),(6,H)
{(1,T),(2,T),(3,T),(4,T),(5,T),(6,T)
بالتالي، عدد العناصر في المساحة العينية S هو: n(S) = 12
لنعتبر E الحدث "النرد يظهر رقمًا فرديًا والعملة تظهر وجهًا". يمكن وصف الحدث E على النحو التالي
E = {(1,H),(3,H),(5,H)}
بالتالي، عدد العناصر في E هو: n(E) = 3
الاحتمالية P(E) معطاة بواسطة
P(E) = n(E) / n(S) = 3 / 12 = 1 / 4
السؤال 6
يتم سحب البطاقة عشوائيًا من مجموعة أوراق اللعب. أوجد احتمال الحصول على 3 من الماس (diamond).
الحل للسؤال 6
يتم عرض مساحة العينة S للتجربة أدناه
دع E يكون الحدث "الحصول عل 3 من الماس ".
يوضح فحص مساحة العينة أن هناك "3 من الماس" بحيث أن n (E) = 1 و n (S) = 52.
ومن ثم يتم إعطاء احتمال وقوع الحدث E بواسطة
الفوسفور (E) = 1/52
السؤال 7
يتم سحب البطاقة عشوائيًا من مجموعة أوراق اللعب. أوجد احتمال الحصول على ملكة.
الحل للسؤال 7
يظهر أعلاه عينة الفضاء S للتجربة في السؤال 7 (انظر السؤال 6)
دع E يكون حدث "الحصول ع لى ملكة". يوضح فحص مساحة العينة أن هناك 4 "ملكات" بحيث أن n (E) = 4 n (S) = 52. ومن ثم فإن احتمال وقوع الحدث E يُعطى بواسطة
الفوسفور (E) = 4/52 = 1/13
السؤال 8
جرة تحتوي على 3 كرات حمراء و 7 كرات خضراء و 10 كرات بيضاء. إذا سحبت كرة من لالجرة عشوائياً ، فما احتمال أن تكون هذه الكرة بيضاء؟
الحل للسؤال 8
نقوم أولاً ببناء جدول الترددات الذي يعطي توزيعات ألوان الكورات على النحو التالي
لون
عدد
أحمر
3
أخضر
7
أبيض
10
المجموع
20
نستخدم الآن معادلة التجريبية للاحتمال
عدد االئجمالئ/ عدد لون الأبيض = P(E)
1/2 = 10/20
السؤال 9
تتوزع مجموعات الدم المكونة من 200 شخص على النحو التالي: 50 من فصيلة الدم A ، و 65 من فصيلة الدم B ، و 70 من فصيلة الدم O و 15 من فصيلة الدم AB . إذا تم اختيار شخص من هذه المجموعة بشكل عشوائي ، فما هو احتمال أن يكون هذا الشخص لديه فصيلة دم O؟
الحل للسؤال 9
نقوم ببناء جدول الترددات لفصائل الدم على النحو التالي
فصيلة الدم
التردد (عدد)
A(ا)
50
B(ب)
65
O(اؤ)
70
AB(اب)
15
نستخدم الصيغة التجريبية للاحتمال
إجمالي الترددات/ تردد فصيلة الدم = P(E)
إجمالي الترددات/ تردد فصيلة الدم "اؤ" = P(E)
0.35 = 200 / 70
تمارين
اجب على الأسئلة التالية
a) يتم إلقاء النرد، احسب الاحتمالية للحصول على رقم أكبر من 4.
b) يتم إلقاء عملتين، احسب الاحتمالية للحصول على رأس واحد فقط.
c) يتم إلقاء نردين، احسب الاحتمالية للحصول على مجموع يساوي 5.
d) يتم سحب بطاقة عشوائية من رزمة البطاقات، احسب الاحتمالية للحصول على بطاقة الملكة القلب.
إجابات على التمارين المذكورة أعلاه
a) 2 / 6 = 1 / 3
b) 2 / 4 = 1 / 2
c) 4 / 36 = 1 / 9
d) 1 / 52
