示例与解答
示例
求圆与直线的交点：
\[ (x-2)^2 + (y+3)^2 = 4 \] \[ 2x + 2y = -1 \]查看解答
- 解线性方程求 \( y \)： \[ 2x + 2y = -1 \Rightarrow y = -x - \frac{1}{2} \]
- 代入圆的方程： \[ (x-2)^2 + \left(-x-\frac{1}{2} +3\right)^2 = 4 \]
- 展开并化简： \[ 2x^2 - 9x + \frac{25}{4} = 0 \]
- 解二次方程： \[ x = \frac{9 \pm \sqrt{31}}{4} \]
- 将每个 \(x\) 值代入 \(y = -x - \frac{1}{2}\)： \[ y = \frac{-11 \mp \sqrt{31}}{4} \]
- 因此，两个交点为： \[ \left(\frac{9+\sqrt{31}}{4},\frac{-11-\sqrt{31}}{4}\right), \qquad \left(\frac{9-\sqrt{31}}{4},\frac{-11+\sqrt{31}}{4}\right) \]
- 近似值： \[ (3.64,-4.14), \qquad (0.86,-1.36) \]
下图展示了圆、直线及其交点。
