带详细解答的示例
例 1：有理函数的定义域
求以下定义的函数 \( f \) 的定义域：
\[ f(x) = \dfrac{1}{x-1} \]解答：
\( x \) 可以取任何实数，但 1 除外，因为 \( x = 1 \) 会使分母等于零，而数学中不允许除以零。因此，区间记法下的定义域为：
\[ (-\infty, 1) \cup (1, +\infty) \]例 2：根式函数的定义域
求以下定义的函数 \( f \) 的定义域：
\[ f(x) = \sqrt{2x-8} \]解答：
定义函数 \( f \) 的表达式中含有平方根。为使函数取实值，根号下的表达式必须满足条件：
\[ 2x - 8 \geq 0 \]解此线性不等式：
\[ 2x \geq 8 \implies x \geq 4 \]区间记法下的定义域为：
\[ [4, +\infty) \]例 3：有理函数与根式函数的定义域
求以下定义的函数 \( f \) 的定义域：
\[ f(x) = \dfrac{\sqrt{-x}}{(x-3)(x+5)} \]解答：
1. 平方根下的表达式必须满足：
\[ -x \geq 0 \implies x \leq 0 \]2. 分母不能为零：
\[ (x-3)(x+5) \neq 0 \implies x \neq 3 \text{ 且 } x \neq -5 \]合并这些条件（\( x \leq 0 \) 且排除 \( x = -5 \)），\( f \) 的定义域为：
\[ (-\infty, -5) \cup (-5, 0] \]例 4：二次函数的值域
求以下定义的函数 \( f \) 的值域：
\[ f(x) = x^2 - 2 \]解答：
该函数的定义域是所有实数的集合。值域是当 \( x \) 变化时 \( f(x) \) 所取的值的集合。如果 \( x \) 是实数，则 \( x^2 \) 或为正或为零：
\[ x^2 \geq 0 \]两边减去 2：
\[ x^2 - 2 \geq -2 \]这表明 \( x^2 - 2 \) 取所有大于或等于 -2 的值。\( f \) 的值域为：
\[ [-2, +\infty) \]\( f \) 的图像也有助于理解值域。注意抛物线的最低点的 \( y \) 值为 -2。
