椭圆的定义与方程
椭圆是平面上所有点 \( M(x,y) \) 的集合，使得从 \( M \) 到两个固定点 \( F_1 \) 和 \( F_2 \)（称为焦点）的距离之和等于一个常数。
\[ \overline{MF_1} + \overline{MF_2} = \sqrt{(x+c)^2+y^2} + \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a \]对于 \( a \ge b \ge 0 \)，通过平方消去根号并利用关系 \( a^2 = b^2 + c^2 \) 化简，得到以原点为中心的椭圆的标准方程：
\( \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \)
- 椭圆的宽度为 \( 2a \)，高度为 \( 2b \)。
- 点 \( O(0,0) \) 是椭圆的中心。
- 点 \( V_1(a,0) \) 和 \( V_2(-a,0) \) 是椭圆的顶点。
- 焦点位于 \( F_1(c,0) \) 和 \( F_2(-c,0) \)。
例 1
以 \( (0,0) \) 为中心的椭圆，其 \( x \) 轴截距为 \( (7,0) \) 和 \( (-7,0) \)，\( y \) 轴截距为 \( (0,4) \) 和 \( (0,-4) \)。求椭圆的方程及焦点 \( F_1 \) 和 \( F_2 \)。
查看解答
以原点为中心的椭圆的方程由下式给出：
\[ \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > 0, \; b > 0) \]令 \( y = 0 \) 求 \( x \) 轴截距：
\[ \dfrac{x^2}{a^2} = 1 \implies x = a \text{ 和 } x = -a \]由于 \( x \) 轴截距为 \( \pm 7 \)，因此 \( a = 7 \)。
令 \( x = 0 \) 求 \( y \) 轴截距：
\[ \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \implies y = b \text{ 和 } y = -b \]由于 \( y \) 轴截距为 \( \pm 4 \)，因此 \( b = 4 \)。
求焦点，利用参数 \( c \) 的关系 \( a^2 = b^2 + c^2 \)：
\[ 7^2 = 4^2 + c^2 \implies 49 = 16 + c^2 \implies c = \sqrt{49 - 16} = \sqrt{33} \]焦点的坐标为：
\[ F_1(\sqrt{33}, 0) \quad \text{和} \quad F_2(-\sqrt{33}, 0) \]椭圆的一般方程
我们可以推广，写出中心平移到 \( O(h,k) \) 的椭圆的方程如下：
\( \dfrac{(x-h)^2}{a^2} + \dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \)
其中焦点位于 \( F_1(c+h, k) \) 和 \( F_2(-c+h, k) \)，顶点位于 \( V_1(a+h, k) \) 和 \( V_2(-a+h, k) \)。
例 2
求由方程 \( (x - 1)^2 + 4(y - 2)^2 = 16 \) 给出的椭圆的中心、焦点和顶点，然后使用绘图计算器验证你的答案。
查看解答
将给定方程各项除以 16，改写为标准形式：
\[ \dfrac{(x - 1)^2}{16} + \dfrac{4(y - 2)^2}{16} = \dfrac{16}{16} \]化简并将分母写成平方形式：
\[ \dfrac{(x - 1)^2}{4^2} + \dfrac{(y - 2)^2}{2^2} = 1 \]与一般方程比较，确定参数：\( a = 4, \; b = 2, \; h = 1, \; k = 2 \)。
- 中心： \( O(h,k) = O(1,2) \)
- 参数 \( c \)： \( c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{16 - 4} = 2\sqrt{3} \)
- 焦点： \( F_1(2\sqrt{3}+1, 2) \) 和 \( F_2(-2\sqrt{3}+1, 2) \)
- 顶点： \( V_1(5,2) \) 和 \( V_2(-3,2) \)
椭圆方程的交互式教程
通过调整参数 \(a, b, h,\) 和 \(k\)，探索椭圆的方程及其性质。
本探索使用标准方程形式：
\( \dfrac{(x - h)^2}{a^2} + \dfrac{(y - k)^2}{b^2} = 1 \)
默认值：\( a = 4, \; b = 2, \; h = 2, \; k = 3 \)。点击 “绘制方程” 开始。
将鼠标悬停在图像或绘制的点上，可读取精确坐标。
练习与参考资料
练习： 通过代数计算证明方程 \( \dfrac{(x + 2)^2}{5} + 5(y - 3)^2 = 5 \) 表示一个椭圆。求其中心、焦点和顶点，然后使用上面的交互式应用验证你的答案。
如有需要，可下载免费方格纸进行离线练习。