矩形尺寸：求长与宽

公式与求解方法

已知矩形的周长 \( P = 2L + 2W \) 和面积 \( A = L \times W \)，我们可以求出其长 \(L\) 和宽 \(W\)。

分步推导

1. 由周长公式：\( \displaystyle L + W = \frac{P}{2} \)
2. 令 \( S = \frac{P}{2} \)，则 \( W = S - L \)。
3. 代入面积方程：\( \displaystyle L \times (S - L) = A \)
4. 化简为二次方程：\( \displaystyle L^2 - S\,L + A = 0 \)
5. 用二次公式求解 \(L\)： \[ L = \frac{S \pm \sqrt{S^2 - 4A}}{2} \]
6. 则宽为 \( W = S - L \)。对角线由勾股定理求得：\( d = \sqrt{L^2 + W^2} \)。

存在条件

具有给定面积 \(A\) 和周长 \(P\) 的矩形仅当判别式 \( \; S^2 - 4A \; \) 非负时才存在： \[ \left(\frac{P}{2}\right)^2 - 4A \ge 0 \quad \text{或等价于} \quad P^2 \ge 16A \]

若不满足此条件，则不存在具有这些尺寸的实数矩形。

示例

对于 \(P = 14\) 和 \(A = 12\)（默认值）：

• \(S = \frac{P}{2} = 7\)
• 判别式：\(7^2 - 4 \times 12 = 49 - 48 = 1\)
• \(\sqrt{\Delta} = 1\)
• 长 = \(\frac{7 + 1}{2} = 4\)，宽 = \(\frac{7 - 1}{2} = 3\)
• 验证：周长 = \(2(4+3) = 14\) ✓，面积 = \(4 \times 3 = 12\) ✓
• 对角线 = \(\sqrt{4^2 + 3^2} = 5\)

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