卫星对地球覆盖计算器

数学公式

球冠的面积由下式给出：

\[ A_{cap} = 2\pi R h \]

球冠面积与地球总表面积的比值 \( f \) 为：

\[ f = \frac{2\pi R h}{4\pi R^2} = \frac{1}{2} \frac{h}{R} \]

由几何关系，\( \cos(\alpha) = \dfrac{R-h}{R} = 1 - \dfrac{h}{R} \)，因此：

\[ \frac{h}{R} = 1 - \cos(\alpha) \]

代入 \( f \) 的表达式中：

\[ f = \frac{1}{2} (1 - \cos(\alpha)) \quad \text{(I)} \]

由三角形 \( OAS \)，各角满足：

\[ \alpha + \gamma + \theta + 90^{\circ} = 180^{\circ} \implies \theta = 90^{\circ} - \alpha - \gamma \]

在三角形 \( OAS \) 中使用正弦定理：

\[ \frac{\sin(\gamma+90^{\circ})}{R+H} = \frac{\sin(\theta)}{R} \]

由于 \( \sin(\gamma+90^{\circ}) = \cos(\gamma) \) 且 \( \sin(\theta) = \sin(90^{\circ}-\alpha-\gamma) = \cos(\alpha+\gamma) \)：

\[ \frac{\cos(\gamma)}{R+H} = \frac{\cos(\alpha+\gamma)}{R} \]

交叉相乘：

\[ R \cos(\gamma) = (R+H) \cos(\alpha+\gamma) \]

因此：

\[ \cos(\alpha+\gamma) = \frac{R}{R+H} \cos(\gamma) \]

取反余弦：

\[ \alpha + \gamma = \arccos\left(\frac{R}{R+H} \cos(\gamma)\right) \]

最后，求解 \( \alpha \)：

\[ \alpha = \arccos\left(\frac{R}{R+H} \cos(\gamma)\right) - \gamma \quad \text{(III)} \]

计算器使用公式 (I) 和 (III) 计算覆盖率 \( f \times 100\% \) 以及地心处的半角 \( \alpha \)。