过三点的三维平面 – 分步解答 + 简化方程

给定三点 \[ A=(A_x,A_y,A_z),\quad B=(B_x,B_y,B_z),\quad C=(C_x,C_y,C_z) \] 定义向量

\[ \vec{AB}=\langle B_x-A_x,B_y-A_y,B_z-A_z\rangle \] \[ \vec{AC}=\langle C_x-A_x,C_y-A_y,C_z-A_z\rangle \]

向量 \( \vec{AB} \) 与 \( \vec{AC} \) 的叉积垂直于该平面，由下式给出：

\[ \vec{AB}\times\vec{AC}= \langle AB_y AC_z-AB_zAC_y,\; AB_z AC_x-AB_xAC_z,\; AB_x AC_y-AB_yAC_x \rangle \]

设 \(M=(x,y,z)\) 为平面上的任意一点，则

\[ \vec{AM}=\langle x-A_x,y-A_y,z-A_z\rangle \]

平面方程由下式得出

\[ \vec{AM}\cdot(\vec{AB}\times\vec{AC})=0 \]

展开为

\[ (x-A_x)a+(y-A_y)b+(z-A_z)c=0 \] 其中 \[ a=AB_yAC_z-AB_zAC_y \] \[ b=AB_zAC_x-AB_xAC_z \] \[ c=AB_x AC_y-AB_yAC_x \] \[ d=-A_xa-A_yb-A_zc \]

最终平面方程：

\[ ax+by+cz+d=0 \]