基本关系：
\[ P = 2x + 2y \qquad (1) \qquad L^2 = x^2 + y^2 \qquad (2) \]
由 (1) 解出 y：\[y = \frac{P - 2x}{2}\] 代入 (2)：\[ L^2 = x^2 + \left(\frac{P - 2x}{2}\right)^2 \]
乘以 4：\[4L^2 = 4x^2 + (P - 2x)^2\] 并整理得 \[8x^2 - 4Px + P^2 - 4L^2 = 0\]
判别式 \(\Delta = 128L^2 - 16P^2\)
完整存在条件： \[
\frac{P}{2\sqrt{2}} \le L < \frac{P}{2}
\]
（\(\Delta \ge 0\) 给出 \(L \ge P/(2\sqrt{2})\)；边长需为正要求 \(L < P/2\)）
已知 \(P = 5\) ，\(L = 2\) ：
检查条件：\(P/(2\sqrt{2}) \approx 1.768 \le 2 < 2.5 = P/2\) ✓
\[ \Delta = 128\cdot 2^2 - 16\cdot 5^2 = 512 - 400 = 112 \] \[ x = \frac{4P + \sqrt{\Delta}}{16} \quad\text{（取较大根以保持 y 为正）} \] \[ x = \frac{20 + \sqrt{112}}{16} \approx \frac{20 + 10.583}{16} \approx 1.911 \] \[ y = \frac{P - 2x}{2} = \frac{5 - 2\cdot 1.911}{2} \approx \frac{5 - 3.822}{2} \approx 0.589 \]
→ 长 ≈ 1.911，宽 ≈ 0.589（两者均为正 → 有效矩形）