圆环体体积与表面积计算器（Material Design）| 几何工具

可视化交互式圆环体计算器，含完整推导。输入内半径 \( r_1 \) 和外半径 \( r_2 \)。

圆环体的几何性质

圆环体（环）是由一个小圆（直径 \( d \)）沿一个大圆（半径 \( R \)，即从管中心到环中心的距离）旋转生成的。

图 1：圆环体 – 内半径 \( r_1 \)，外半径 \( r_2 \)

由图可知：\( r_2 = R + d/2 \)，\( r_1 = R - d/2 \)。相加得 \( r_1 + r_2 = 2R \)，相减得 \( r_2 - r_1 = d \)。

图 2：圆环体的截面 – 内半径（\( r_1 \)）和外半径（\( r_2 \)）

想象将圆环体切开并展开成圆柱体（图 3）。圆柱体的直径为 \( d = r_2 - r_1 \)，长度等于大圆的周长：\( 2\pi R = \pi (r_1 + r_2) \)。

图 3：圆环体“展开” – 直径为 \( d \)、长度为 \( 2\pi R \) 的圆柱体

圆柱体体积 = 底面积 × 高 = \( \pi (d/2)^2 \times (2\pi R) \)。代入 \( d = r_2 - r_1 \) 和 \( R = (r_1+r_2)/2 \)：

\[ V = \pi \left( \frac{r_2 - r_1}{2} \right)^2 \times 2\pi \left( \frac{r_1 + r_2}{2} \right) = \frac{1}{4}\pi^2 (r_2 - r_1)^2 (r_1 + r_2) \]

圆柱体侧面积 = 底面周长 × 高 = \( (\pi d) \times (2\pi R) \)。代入 \( d \) 和 \( R \)：

\[ A_L = \pi (r_2 - r_1) \times \pi (r_1 + r_2) = \pi^2 (r_2 - r_1)(r_1 + r_2) \]

✅ 计算器使用的最终公式 ✅
\( V = \frac{\pi^2}{4}(r_2-r_1)^2(r_1+r_2) \) | \( A_L = \pi^2 (r_2^2-r_1^2) \)