本教程分步讲解 arccos(x) 函数的绘图与草图。详细考察这些函数的定义域、值域、关键坐标和变换。
在下文中，\( \arccos(x) \) 是 \( f(x) = \cos(x) \) 在 \( 0 \le x \le \pi \) 上的反函数。
下图展示了 \( f(x) = \cos(x) \)（\( 0 \le x \le \pi \)）及其反函数 \( \arccos(x) \) 的图像：
使用 3 个关键点可以构建 \( \arccos(x) \) 的值表：
| \( x \) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) |
| \( y = \arccos(x) \) | \(\pi\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(0\) |
用于绘制 \( \arccos(x) \) 的这 3 个关键点为：\[ (-1, \pi), \; \left(0, \frac{\pi}{2}\right), \; \text{和} \; (1, 0) \]
问题： 求 \( y = \arccos(x - 1) \) 的定义域和值域并绘制其图像。
解答：
\( y = \arccos(x - 1) \) 的图像是 \( \arccos(x) \) 的图像向右平移 \( 1 \) 个单位。
通过将反余弦内的参数设置在 \(-1\) 与 \(1\) 之间来求定义域： \[ -1 \le x - 1 \le 1 \] 解这个双重不等式得到定义域： \[ 0 \le x \le 2 \]
通过表格变换使用 3 个关键点：
| \( x - 1 \) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) |
| \( y = \arccos(x - 1) \) | \(\pi\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(0\) |
| \( x \) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
\( x \) 的值由 \( x - 1 \) 计算得出（例如，当 \( x - 1 = -1 \) 时，解出 \( x \) 得 \( x = 0 \)）。
问题： 求 \( y = 2\arccos(x + 1) \) 的定义域和值域并绘制其图像。
解答：
我们使用 3 个关键参考点计算变换，求出中间值和最终坐标：
| \( x + 1 \) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) |
| \( \arccos(x + 1) \) | \(\pi\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(0\) |
| \( y = 2\arccos(x + 1) \) | \(2\pi\) | \(\pi\) | \(0\) |
| \( x \) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) |
几何描述： 该图像是 \( \arccos(x) \) 的图像向左平移一个单位并垂直拉伸 2 倍。
问题： 求 \( y = -\arccos(x - 1) \) 的定义域和值域并绘制其图像。
解答：
我们跟踪关键点，包括垂直反射：
| \( x - 1 \) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) |
| \( \arccos(x - 1) \) | \(\pi\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(0\) |
| \( y = -\arccos(x - 1) \) | \(-\pi\) | \(-\dfrac{\pi}{2}\) | \(0\) |
| \( x \) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
几何描述： 该图像是 \( \arccos(x) \) 的图像向右平移一个单位并关于 \( x \) 轴反射。