本文介绍了使用一阶导数解决切线问题及其解答。
在下文中，若适用，\( C \) 表示积分常数。
精选例题
例题 1
求曲线 \( y = x^3 - 3x \) 上所有切线平行于 x 轴（或水平切线）的点。
显示例题 1 解答
平行于 x 轴的直线的斜率等于 \( 0 \)。曲线 \( y = x^3 - 3x \) 的切线斜率由一阶导数 \( y' \) 给出：
\[ y' = 3x^2 - 3 \]我们寻找使 \( y' = 0 \) 的所有 \( x \) 值：
\[ 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = -1 \text{ 且 } x = 1 \]我们将这些 \( x \) 坐标代回原方程 \( y = x^3 - 3x \) 中，以求出对应的 \( y \) 坐标：
- 当 \( x = -1 \) 时：\( y = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2 \implies (-1, 2) \)
- 当 \( x = 1 \) 时：\( y = (1)^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2 \implies (1, -2) \)
切线平行于 x 轴的点是 \( (-1, 2) \) 和 \( (1, -2) \)。
例题 2
求常数 \( a \) 和 \( b \)，使得直线 \( y = -3x + 4 \) 在 \( x = 1 \) 处与曲线 \( y = ax^3 + bx \) 的图象相切。
显示例题 2 解答
为了求出 \( a \) 和 \( b \)，我们需要两个方程。首先，切点既位于曲线 \( y = ax^3 + bx \) 上，也位于在 \( x = 1 \) 处的切线 \( y = -3x + 4 \) 上。因此，它们在 \( x = 1 \) 处的 \( y \) 坐标相等：
\[ a(1)^3 + b(1) = -3(1) + 4 \implies a + b = 1 \]其次，切线的斜率为 \(-3\)，它必须等于 \( y = ax^3 + bx \) 在 \( x = 1 \) 处的一阶导数 \( y' \)：
\[ y' = 3ax^2 + b \]在 \( x = 1 \) 时：
\[ 3a(1)^2 + b = -3 \implies 3a + b = -3 \]我们求解这个方程组：
- \( a + b = 1 \)
- \( 3a + b = -3 \)
用第一个方程减去第二个方程得到 \( 2a = -4 \implies a = -2 \)。将 \( a = -2 \) 代入 \( -2 + b = 1 \) 得出 \( b = 3 \)。
结论：\( a = -2 \) 且 \( b = 3 \)。
例题 3
求关于 \( a \) 和 \( b \) 的条件，使得曲线 \( y = a e^x + bx \) 的图象没有平行于 x 轴的切线（水平切线）。
显示例题 3 解答
切线斜率由 \( y = a e^x + bx \) 的一阶导数 \( y' \) 给出：
\[ y' = a e^x + b \]要寻找具有水平切线的点，我们令 \( y' = 0 \)：
\[ a e^x + b = 0 \implies e^x = -\frac{b}{a} \]由于对所有实数 \( x \)，指数函数均满足 \( e^x > 0 \)，当 \( -\frac{b}{a} \le 0 \) 时，该方程没有实数解。因此，当 \( \frac{b}{a} \ge 0 \)（即 \( a \) 和 \( b \) 同号或 \( b = 0 \)）时，该图象没有水平切线。
练习题与解答
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求曲线 \( y = x^3 - 3x \) 上所有切线平行于直线 \( y = 9x + 4 \) 的点。
显示练习题 1 解答
令 \( y' = 3x^2 - 3 = 9 \implies 3x^2 = 12 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \)。
在 \( x = 2 \) 和 \( x = -2 \) 处计算 \( y \) 得出点 \( (2, 2) \) 和 \( (-2, -2) \)。
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求 \( a \) 和 \( b \)，使得直线 \( y = -2 \) 在 \( x = 1 \) 处与曲线 \( y = ax^2 + bx \) 的图象相切。
显示练习题 2 解答
利用 \( x = 1 \) 处的条件：\( a(1)^2 + b(1) = -2 \) 且 \( 2a(1) + b = 0 \)。
解该方程组得出 \( a = 2 \) 和 \( b = -4 \)。
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求关于 \( a \)、\( b \) 和 \( c \) 的条件，使得曲线 \( y = ax^3 + bx^2 + cx \) 的图象只有一条平行于 x 轴的切线（水平切线）。
显示练习题 3 解答
导数是 \( y' = 3ax^2 + 2bx + c = 0 \)。为了有且仅有一条水平切线，二次方程的判别式必须为零：
\[ \Delta = (2b)^2 - 4(3a)(c) = 0 \implies 4b^2 - 12ac = 0 \]