解决微积分中的切线问题

首先介绍了切线问题及其解决方案，首先使用导数。

问题1

• 平行于 x 轴的线的斜率 = 0。\( y = x^3 - 3 x \) 图形的切线斜率由下式给出 一阶导数 \( y '\)。
  \( y ' = 3 x^2 - 3 \)
  
• 我们现在找到 \( x \) 中 \( y ' = 0\) 的所有值。
  \( 3 x^2 - 3 = 0\)
  
• 对 \( x \) 求解上述方程以获得解。
  \( x = - 1 \) 和 \( x = 1 \)
  
• 上面的x值是切线平行于x轴的点的x坐标。 使用 \( y = x^3 - 3 x \) 查找这些点的 y 坐标。
  对于 \( x = - 1 \) 、 \( y = 2\)
  对于 \( x = 1 \) 、 \( y = - 2\)
  
• 切线与 x 轴平行的点是：\( (-1 , 2) \) 和 \( (1 , -2) \)。 请参见下面带有切线的 \( y = x^3 - 3 x \) 图形。
  
  

问题 2

• 为了找到\(a\)和\(b\)，我们需要确定\(a\)和\(b\)中的两个代数方程。 切点位于图形 \( y = a x^3 + b x \) 上和图形 \( y = - 3 x + 4\) 处 \( x = 1 \) 处。 因此，\( y = a x^3 + b x \) 和 \( y = - 3 x + 4\) 在 \( x = 1 \) 处的 y 坐标相等，在替换 \( x = 1 \) 后 给出方程
  \( a \; (1)^3 + b \; (1) = - 3(1) + 4 \)
  
• 将上式在\(a\)和\(b\)中化简得到
  \(a+b=1\)
  
• 切线的斜率等于 \( -3 \)，也等于 \( y = a x^3 + 的一阶导数 \( y '\) b x \) 位于 \( x = 1\)
  \( y ' = 3 a x^2 + x = - 3 \) 在 \( x = 1 \) 处。
  
• 将 \( x = 1 \) 代入 \( 3 a x^2 + x = - 3 \) 以获得 \( a \) 和 \( b \) 中的第二个方程 ）
  \( 3 a + b = -3 \)
  
• 用任意方法求解上面得到的方程组 \( a + b = 1 \) 和 \( 3 a + b = - 3 \) 即可得到解：
  \(a = - 2 \) 和 \(b = 3 \)。
  
• 查看 \( y = a x^3 + b x \) 的图表，其中 \( a = - 2\) 和 \( b = 3 \)，以及 \( y = - 3 x + 4 \) 下面。
  
  

问题3

• 切线的斜率由 \( y = a \; e^x + b \; x \) 的一阶导数 \( y ' \) 给出。 因此
  \( y ' = a \; e^x + b \)
  
• 要找到 \( y\) 图形的切线水平的点的 x 坐标，请解 \(y ' = 0 \) 得到 x（斜率 水平线的长度等于零）
  \(a e^x + b = 0 \)
  
• 将上面的方程改写如下
  \( e^x = - b/a \)
  
• 上面的方程有 \( -a / b \gt 0 \) 的解。 因此，如果 \( - a/b \le 0 \)，则 \( y = a \; e^x + b \; x \) 的图没有水平切线

练习

上述练习的解答