问题与解答
问题 1
确定由下式定义的一般二次函数图像的凹凸性： \[ f(x) = ax^2 + bx + c \]
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- 计算导数： \[ f'(x) = 2ax + b \] \[ f''(x) = 2a \]
-
\( f''(x) \) 的符号仅取决于 \( a \)：
- 若 \( a > 0 \)，图像凹向上。
- 若 \( a < 0 \)，图像凹向下。
问题 2
求函数 \[ f(x) = \sin x \] 凹向上的所有区间。
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- \[ f'(x) = \cos x, \qquad f''(x) = -\sin x \]
- 凹向上出现在 \[ f''(x) > 0 \quad \Longrightarrow \quad \sin x < 0 \] 时。
- 在一个周期 \( [0, 2\pi] \) 内，这发生在 \( (\pi, 2\pi) \) 上。
- 因此， \[ (\pi + 2\pi k,\; 2\pi + 2\pi k), \quad k \in \mathbb{Z} \]
问题 3
下图给出 \( f'(x) \) 在 \( x \in [a,g] \) 上的图像。在哪些区间上 \( f \) 递减且凹向下？并求所有拐点。
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- \( f \) 在 \( f'(x) < 0 \) 处递减。
- \( f \) 在 \( f'(x) \) 递减处凹向下。
- 递减且凹向下的区间： \[ (0,d) \quad \text{和} \quad (e,g) \]
- 拐点： \[ (c,f(c)),\ (d,f(d)),\ (e,f(e)),\ (f,f(f)) \]
问题 4
求 \[ f(x) = 4x^4 - x^3 + 2 \] 的所有拐点。
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- \[ f'(x) = 16x^3 - 3x^2 \] \[ f''(x) = 48x^2 - 6x = 6x(8x - 1) \]
- 变号发生在： \[ x = 0, \quad x = \frac{1}{8} \]
- 拐点： \[ (0,2), \quad \left(\frac{1}{8}, \frac{2047}{1024}\right) \]
问题 5
求 \[ f(x) = -x^3 + 3x^2 + 1 \] 的拐点。然后求 \[ g(x) = -(x-2)^3 + 3(x-2)^2 + 1 \] 的拐点。
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- \[ f'(x) = -3x^2 + 6x, \quad f''(x) = -6x + 6 \]
- \[ f''(x) = 0 \Rightarrow x = 1 \]
- \(f\) 的拐点： \[ (1,3) \]
- 由于 \( g(x) = f(x-2) \)，图像向右平移 2 个单位。
- \(g\) 的拐点： \[ (3,3) \]