问题与解答
问题 1
下图给出偶函数 \(f\) 的图像：
假设 \(f\) 处处可导，图 A)、B)、C)、D) 中哪一个表示 \(f'(x)\)？
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给定函数为偶函数，因此
\[
f(x) = f(-x)
\]
对两边求导：
\[
\frac{d}{dx}f(x) = \frac{d}{dx}f(-x)
\]
使用链式法则，令 \(u = -x\)：
\[
\frac{d}{dx}f(-x) = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = f'(u) \cdot (-1) = -f'(-x)
\]
代回：
\[
f'(x) = -f'(-x) \quad \Rightarrow \quad f'(-x) = -f'(x)
\]
这证明偶函数的导数是奇函数。
分析图 A)–D)，只有 A) 和 B) 是奇函数。观察 \(f\)，它从左侧的最大值递减到原点，因此该区间内的导数必须为负。因此，正确的图像是 B)。
问题 2
下图给出奇函数 \(f\) 的图像：
假设 \(f\) 处处可导，图 A)、B)、C)、D) 中哪一个表示 \(f'(x)\)？
查看解答
给定函数为奇函数，因此
\[
f(x) = -f(-x)
\]
对两边求导：
\[
\frac{d}{dx}f(x) = - \frac{d}{dx} f(-x)
\]
使用链式法则（\(u=-x\)）：
\[
\frac{d}{dx}f(-x) = f'(u) \cdot \frac{du}{dx} = f'(-x) \cdot (-1) = -f'(-x)
\]
代回：
\[
f'(x) = -(-f'(-x)) = f'(-x)
\]
因此，奇函数的导数是偶函数。
分析图 A)–D)，只有 C) 和 D) 是偶函数。观察 \(f\) 在原点附近递增，因此导数必须为正。因此，正确的图像是 C)。