学习如何将任意函数表示为偶函数与奇函数之和。以下以问题的形式提供分步例题，详细解答隐藏在可折叠下拉框中，您可以独立练习。
证明任意函数 \( f(x) \) 都可以表示为偶函数与奇函数之和。
我们可以将 \( f(x) \) 写成： \[ f(x) = \frac{1}{2} f(x) + \frac{1}{2} f(x) + \frac{1}{2} f(-x) - \frac{1}{2} f(-x) = \frac{1}{2} \big(f(x) + f(-x)\big) + \frac{1}{2} \big(f(x) - f(-x)\big) \]
令 \[ g(x) = \frac{1}{2} \big(f(x) + f(-x)\big) \] 验证 \( g(x) \) 为偶函数： \[ g(-x) = \frac{1}{2} \big(f(-x) + f(x)\big) = g(x) \]
令 \[ h(x) = \frac{1}{2} \big(f(x) - f(-x)\big) \] 验证 \( h(x) \) 为奇函数： \[ h(-x) = \frac{1}{2} \big(f(-x) - f(x)\big) = -h(x) \]
因此， \[ f(x) = g(x) + h(x) \] 其中 \( g(x) \) 为偶函数，\( h(x) \) 为奇函数。
将 \[ f(x) = 2x^4 - 5x^3 + 2x^2 + x - 4 \] 表示为偶函数与奇函数之和。
由于 \( f(x) \) 是多项式，可以分离其偶部和奇部： \[ f(x) = (2x^4 + 2x^2 - 4) + (-5x^3 + x) \] 其中 \( 2x^4 + 2x^2 - 4 \) 为偶函数，\( -5x^3 + x \) 为奇函数。
将 \[ f(x) = \frac{1}{x-1} \] 表示为偶函数与奇函数之和，并验证你的答案。
由问题 1，任意函数 \( f(x) \) 都可表示为： \[ f(x) = \frac{1}{2} \big(f(x) + f(-x)\big) + \frac{1}{2} \big(f(x) - f(-x)\big) \]
此处， \[ g(x) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{x-1} + \frac{1}{-x-1}\right) = \frac{1}{x^2 - 1} \] \[ h(x) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{-x-1}\right) = \frac{x}{x^2 - 1} \]
验证： \[ g(x) + h(x) = \frac{1}{x^2 - 1} + \frac{x}{x^2 - 1} = \frac{1+x}{x^2-1} = \frac{1+x}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x-1} = f(x) \]